资源简介

2025-2026学年广东省广州奥林匹克中学高二上学期 10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线 = 2025的倾斜角为( )
π π π
A. B. C. 0 D.
3 4 2
2.若圆 : ( + 2)21 + ( 3)
2 = 4关于点(1,2)对称的圆 2的方程为( )
A. ( 4)2 + ( 1)2 = 4 B. 2 + ( 1)2 = 4
C. ( + 4)2 + ( + 1)2 = 4 D. 2 + ( + 1)2 = 4
1
3.若 /\!/ ，且 = (2, , 1)为直线 的一个方向向量， = (1, , 2)为平面 的一个法向量，则 的值为
2
( )．
A. 4 B. 6 C. 8 D. 8
4.已知直线 1：2 + 1 = 0， 2：( 1) + = 0，则“ = 2”是“ 1// 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知三棱锥 ，点 ， 分别为 ， 的中点，且 = ， = ， = ，用 ， ， 表示
，则 等于( )
1 1 1 1
A. ( + ) B. ( + ) C. ( ) D. ( + )
2 2 2 2
6.若点 (2,3)在圆 ： 2 + 2 + 2 2 + = 0外，则 的取值范围是( )
A. ( 11,+∞) B. ( 11,2) C. ( 8,2) D. ( 8,+∞)
1
7.设点 (2, 3), ( 3, 2)，若点 ( , )在线段 上(含端点)，则 的取值范围是( )
1
3 3
A. ( ∞, 4] ∪ [ , +∞) B. [ 4, ]
4 4
3 1 4
C. [ , 4] D. [ , ]
4 4 3
第 1 页，共 8 页
8.射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两条平行直线都在无穷远处相交.莱
莫恩( )定理指出：过 的三个顶点 , , 作它的外接圆的切线分别和边 , , 相交于点
, , ，则三点 , , 在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩( )线.在平面直角坐标系 中
若三角形三个顶点的坐标为 (0,1), (2,0)， (0, 4)，则该三角形的莱莫恩( )线方程为( )
A. 2 + 3 8 = 0 B. 2 + 3 + 8 = 0 C. 2 3 8 = 0 D. 2 3 + 8 = 0
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中真命题有( )
A. 直线 = 2在 轴上的截距为 2
B. 经过定点 (0,2)的直线都可以用方程 = + 2表示
C. 直线 = 3 + 2过定点(3,2)
D. 已知直线3 + 4 + 9 = 0与直线6 + + 24 = 0平行，则平行线间的距离是1

10.如图，在平行六面体 1 1 1 1中，| | = | | = | 1| = 1且∠ 1 = ∠ 1 = ∠ =
π
， 为 1 1与 1 1的交点，设 3 = ,
= , 1 = ,则下列结论正确的是( )
1 1
A. 1 = + + B. = + 2 2

√ 6C. | 1| = √ 6 D. cos< , 1 >= 3
11.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 ， 1的中点， 为线段 1 上的动
点，则( )
A. 存在点 ，使得直线 ⊥ 1 B. 存在点 ，使得 //平面 1 1
√ 6
C. 点 到直线 1 1距离的最小值为√ 2 D. 三棱锥 1 的体积为 3
第 2 页，共 8 页
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = (2, 2,1)与 = (1, 1,0)，则 在 方向上的投影向量为 ．
13.已知圆 的圆心为(1, 4)，且与直线 : + 1 = 0相切，则圆 被直线3 4 9 = 0截得的弦长
为 ．
14.已知点 ( 1, 2), ( 1, 0)，点 关于直线 + 1 = 0的对称点为点 ，在 中，| | =
√ 2| |，则 面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量 = ( 1,2,3)， = (1, 2, 1)．
(1)求 与 的夹角余弦值．
(2)若 ⊥ ( + )，求实数 的值．
16.(本小题15分)
已知 的三个顶点分别为 (0,4)， ( 2,6)， ( 8,0)，求：
(1)边 所在直线的方程；
(2) 边上的垂直平分线所在直线的方程；
(3) 的面积．
17.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， , 分别为棱 1, 1的中点．
(1)求证： //平面 1 ；
(2)求平面 1 与平面 1 成角的正弦值；
(3)求点 到平面 1 的距离．
18.(本小题17分)
第 3 页，共 8 页
如图，贵阳红枫湖湖面上有 ， ， 三个小岛(面积大小忽略不计)， 岛在 岛的北偏东45 方向距 岛4√ 2
千米处， 岛在 岛的正东方向距 岛2千米处．以 为坐标原点， 的正东方向为 轴的正方向，1千米为一
个单位长度，建立平面直角坐标系，圆 经过 ， ， 三点．
(1)求圆 的方程；
(2)若圆 区域内有未知暗礁，现有一船 在 岛的南偏西30 方向距 岛4千米处，正沿着北偏东60 方向行
驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = 2， = 3， = = 4， ， ， ， 在同一个球面上，球心为 ．
(ⅰ)求 与平面 所成角的正弦值；
(ⅱ) 为 的中点，线段 上是否存在点 ，使得 ， ， ， 四点共面？若存在，求出点 的位置；若不
存在，说明理由．
第 4 页，共 8 页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(2, 2,0)
13.4
14.2√ 2
8 4√ 21
15.【详解】(1)由题设cos , = = = ．
| || | √ 14×√ 6 21
(2)由 + = ( 1 + , 2 2 , 3 )，又 ⊥ ( + )，
7
所以 ( + ) = 1 + 4(1 ) + 3(3 ) = 0，则 = ．
4
4 0
16.【详解】(1)由两点式得边 所在直线方程为 = ，即 + 4 = 0．
6 4 2 0
4 0 1
(2)因为 = = ， 的中点 ( 4,2)， 0 ( 8) 2
所以 边上的垂直平分线所在直线方程为 2 = 2( + 4)，即2 + + 6 = 0．
| 8+0 4| 12
(3)点 到边 的距离为 = = = 6√ 2，| | = √ 4 + 4 = 2√ 2，
√ 2 √ 2
1 1
= × | | × = × 2√ 2 × 6√ 2 = 12． 2 2
17.【详解】(1)以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
第 5 页，共 8 页
则 (2,2,0), (2,0,1), 1(0,0,2), (2,0,0), (0,2,1)，
则 = (0, 2,1), 1 = (2,0, 2), = ( 2,2,1)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，

则{ 1
= 2 2 = 0
，取 = 2，则 = (2,1,2)，
= 2 + 2 + = 0
由于 = 0 + ( 2) + 2 = 0，故 ⊥ ，
又 平面 1 ，故 //平面 1
(2)由(1)知平面 1 的法向量 = (2,1,2)，平面 1 的一个法向量 = (0,1,0)，
1
设平面 1 与平面 1 所成角为 ，则cos = |cos , | = | | = ， | || | 3
π 2√ 2
由于 ∈ [0, ]，故sin = √ 1 cos2 = ；
2 3
(3)由于 1 = (0,0,2)，平面 1 的法向量 = (2,1,2)，
| 1 | 4
点 到平面 1 的距离 = = ． | | 3
18.【详解】(1)依题意，因 岛在 岛的北偏东45 方向距 岛4√ 2千米处，则点 (4,4)，
又 岛在 岛的正东方向距 岛2千米处，则 (2,0)，
设过 ， ， 三点的圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0，
= 0 = 2
则{42 + 42 + 4 + 4 + = 0，解得{ = 6,
22 + 2 + = 0 = 0
所以圆 的方程为 2 + 2 2 6 = 0．
(2)因船 在 岛的南偏西30 方向距 岛4千米处，则 ( 2, 2√ 3)，
而船 沿着北偏东60 方向行驶，
√ 3
则船 的航线所在直线 的斜率为 ，直线 的方程为 √ 3 4 = 0，
3
第 6 页，共 8 页
由(1)知，圆 的圆心为 (1,3)，半径 = √ 10，
|1 3√ 3 4| 3+3√ 3
则圆心 到直线 的距离 = = > √ 10，则 > ，
√ 12
2 2
+(√ 3)
所以该船没有触礁的危险．
19.【详解】(1)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)( )在四边形 中，因为 ⊥ ， = 2， = 4，
= √ 2 2 = √ 42 22 = 2√ 3，又 ⊥平面 ，
故以 为原点， , 所在直线分别为 轴， 轴，过点 且平行于 的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由(1)知 ⊥平面 ， 平面 ，故 ⊥ ，
因为 ， ， ， 在同一个球面上，且∠ ,∠ 为直角，
即可得 的中点到 , , , 的距离均相等，
故 为外接球直径，则球心 为 的中点，
结合 // ，则∠ = ∠ = 30 ， = 3，
3√ 3 3
则 (0,2,0)， (0,0,0)， (2√ 3, 0,4)， ( , , 0)， (√ 3, 1,2)， (2√ 3, 0,0)，
2 2
所以
√ 3 5
= ( , , 2)， = ( 2√ 3, 2, 4)， = (0, 2,0)，
2 2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 2√ 3 + 2 4 = 0，即{ ，令 = 2，得 = 0, = √ 3，
= 0 2 = 0
所以 = (2,0, √ 3)，
设 与平面 所成角为 ，
第 7 页，共 8 页

3√ 3 3√ 231
则sin = |cos , | = | | = | | = ．
| | | | √ 7 √ 11 77
( )因为 分别为 的中点，所以 (√ 3, 0,2)，
√ 3 3所以 = ( √ 3, 1,2)， = ( √ 3, 0,2)，由( )知 = ( , , 4)，
2 2
设 = (0 ≤ ≤ 1)，
则
√ 3 3 √ 3 3
= + = + = (0,0,4) + ( , , 4) = ( , , 4(1 ))，
2 2 2 2
因为 ， ， ， 四点共面，所以存在实数 ， ，使得 = + ，
√ 3 3
即( , , 4(1 )) = ( √ 3, 1,2) + ( √ 3, 0,2) = ( √ 3 √ 3 , , 2 + 2 )，
2 2
√ 3 = √ 3 √ 3
2 4
所以 3 = ，解得 = ． 52
{ 4(1 ) = 2 + 2
4
所以存在点 ，满足 = ，使得 ， ， ， 四点共面．
5
第 8 页，共 8 页

展开更多......

收起↑