资源简介

2025-2026学年广东省封开县广信中学高二上学期第一次教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知正三角形边长为，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为( )
A. B. C. D.
2.已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
3.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
5.正四棱台的上下底面的边长分别为，，侧棱长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
6.若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A. B.
C. D.
7.已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在直三棱柱中，，，，是直线上一动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，正方体的棱长为，是棱上的动点含端点则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值 B.
C. 存在某个点，使直线与平面所成角为 D. 二面角的平面角的大小为
10.多选下列四个结论正确的是( )
A. 任意向量，，若，则或或
B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
C. 空间中任意向量，，都满足
D. 若，，则
11.在边长为的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则( )
A. B. 直线与平面所成角为
C. 四面体的体积为 D. 二面角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间的一组基底为，且满足，则 ．
13.在长方体中，，则 ．
14.在如图所示的五面体中，，，均与平面垂直，，，记该五面体的体积为，的面积为，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，求证：
平面；
平面．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，底面
证明：平面平面
若，是中点，求与平面所成角的正切值
18.本小题分
已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．
求证：；
求点到平面的距离；
19.本小题分
在棱长均为的正三棱柱中，为棱的中点，为棱的动点，连接、、．
证明：；
线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由；
平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，分别是，的中点，
所以．
又因为平面，
平面，
所以平面．
因为平面，平面，
所以，
因为四边形是矩形，
所以．
又，平面，
所以平面．

16.因为侧面底面，且交线为，又面，，所以平面，又平面，所以侧面是正三角形，是的中点，所以又，所以平面．
取的中点，的中点，连接，，依题意知，，且，所以平面，又，所以平面，因此，，所以就是二面角的平面角．
由知平面，因为，所以平面，从而．
在直角三角形中，设，则，所以，．
所以，二面角的余弦值为．

17.证明：因为，
所以，又底面，
所以，又，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
如图所示：
作，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
则即为与平面所成的角，
设，则，
所以，又，
所以，
所以与平面所成角的正切值为．

18.点在底面上的射影是与的交点，
平面，
平面，
，
四边形为菱形，
，
，平面，
平面，
平面，
；
由题意，得、与都是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，解得，
故点到平面的距离为．

19.连接、，由题意可得四边形、四边形都是边长为的正方形，
则，又为棱的中点，则，
又，故；
取中点，连接，，过点作于点，连接、，
由为正三角形，则，又底面，
平面，故，
又，、平面，
故平面，又、平面，故、，
又，，、平面，
故平面，又平面，故，
故即为二面角的平面角，则，
又正三棱柱的棱长均为，则，则，故，
由，故，
则，
即有，
则，故存在，且．
设直线与的延长线分别交于点，则平面，
又平面，则有平面平面，，
即，，三点共线，由为棱的中点，则，，
设，，
则，，设的面积为，则，
又，于是，，
令，，函数在上单调递减，
则，，即，
所以．

第9页，共9页

展开更多......

收起↑