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辽宁省普通高中2025~2026学年上学期10月月考调研试题（1）
高一数学
命题范围：【（人教B版）必修一整册、必修二4.1及之前】指数与指数函数及之前
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题，的否定是 （ ）
A．， B．， C．， D．，
2．已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
3．“成立”是“成立”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知函数（且）是奇函数，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是 （ ）
A．或 B．或
C． D．
6．已知函数，且，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，关于的方程有个不等的实数根，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则正确的是 （ ）
A．的值域为
B．的解集为
C．的图象与的图象关于轴对称
D．函数是偶函数
11．定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则 （ ）
A． B．在上单调递增
C．当时， D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，若，则 ．
13．函数满足，若，则 ．
14．记号表示，中取较小的数，如，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知集合或，全集．
（1）求，；
（2）求，．
16．（本小题满分15分）
已知
（1）若在上单调，求实数的取值范围；
（2）若，求的最小值．
17．（本小题满分15分）
已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制（单位：）．假设汽油的价格是元/，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时元．
（1）求这次行车总费用关于的表达式；
（2）当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）求证：函数的图象关于点中心对称；
（3）若对，，且，恒有成立，求实数的取值范围．
19．（本小题满分17分）
若函数对任意的，都有成立，则称为上的“平缓”函数．
（1）判断是否为上的“平缓”函数，请说明理由；
（2）是否存在实数，使为上的“平缓”函数，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）设是上的“平缓”函数（其中不是常值函数），且，若对任意的都有，求的最小值．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C D C B A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 CD AC ABD
1．A
由全称命题的否定为存在量词命题，即可得答案．
【详解】因为命题，，
所以其否定为：，．
故选：A
2．C
【解析】先解不等式得集合，可得集合在实数内的补集，然后根据二次函数的值域得集合，最后求与集合的交集即可．
【详解】由已知可得，∴，
易知，∴，
故选：C
3．B
分别求解绝对值不等式和分式不等式，再根据充要条件的要求判断即得．
【详解】由 ，即得；
由，解得：．
因为由“”推不出“”，而由“”可以推出“”
故可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件．
故选：B．
4．C
根据函数的奇偶性求出a的值，可得的解析式，继而代入求值，即得答案．
【详解】由题意知函数（且）的定义域为，
因为是奇函数，则，即，
得，即，
故，解得或（舍去），
故，故，
故选：C
5．D
根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可．
【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧，
根据图象可得，即，
解得．
故选：D．
6．C
先证明，则可转化为，即，再判断出函数的单调性，根据函数的单调性解不等式即可．
【详解】函数，
，，，
而，即，
，
∵，且函数在上单调递增，
∴函数在上单调递增，
又函数在上单调递增，
在上单调递增，
，即，
所以实数a的取值范围是．
故选：C．
7．B
根据题意，推得函数的周期为 ，令，得到且，进而求得，，再由，即可求解．
【详解】由为奇函数，则，即
又由为偶函数，可得，即，
可得，即，所以
所以函数是以为周期的周期函数，
因为且
令，可得且，
又因为，即，即
因为时，，可得，解得，
再令，可得，即，所以，可得，
所以，则．
故选：B．
8．A
【解析】令，利用图象可得知，关于的二次方程的两根、，然后利用二次函数的零点分布得出关于实数的不等式组，解出即可．
【详解】令，由，得，
设关于的二次方程的两根分别为、，
如下图所示：
由于关于的方程有个不等的实数根，
则，，设，
则，解得．
因此，实数的取值范围是．
故选：A．
9．CD
按照指数幂的运算进行化简．
【详解】因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B错误；
因为，所以选项C正确；
因为，所以选项D正确．
故答案为：CD．
10．AC
A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断．
【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确；
对于B，因，由得，即，
∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误；
对于C，由， 可得，

由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确；
对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，
且，故为奇函数，故D错误．
故选：AC．
11．ABD
根据赋值法、函数单调性的定义、放缩法（累乘法）对选项进行分析，从而确定正确答案．
【详解】对于A，由，取，
得，故A正确；
对于B，任取，则，依题意，，而，
则，即，即在上是增函数．
于是，对于，任取，因，则，
即，即函数在上单调递增，故B正确；
对于C，由，取，因，故，
即，故C不正确；
对于D，由，取，可得，，
整理得，，
因，所以且，故，即，
，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
根据集合相等的概念，结合集合中元素的互异性求值．
【详解】根据集合中元素的互异性，可得．
因为，所以或．
由或，这与矛盾，故舍去；
由或．
又因为，所以．
故答案为：
13．
根据题意，推得，得到，得出函数是周期为6的周期函数，再由，求得，结合周期性，即可求解．
【详解】由，可得，
所以，
所以，
可得，所以函数是周期为6的周期函数，
又由，所以，则，
所以．
故答案为：．
14．
根据已知定义，结合奇函数的性质，求出函数的解析式并画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可．
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以有，
当时，由，
所以，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以当时，，
因此函数的图象如下图所示：
因为对任意，都有，
所以将函数的图象向右平移后，图象在的非下方，
因此有且，解得，且，
因此实数的取值范围是，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
（1），或；
（2），．
（1）利用交集和并集的概念计算即可；
（2）利用补集与并集的概念计算即可．
【详解】（1）因为或，
所以，
或；
（2）由题意可知，又，
所以．
16．（本小题满分15分）
（1） （2）
（1）分类讨论参数值，结合一次函数，二次函数的单调性求解；
（2）分类讨论参数值，结合一次函数，二次函数的单调性求解．
【详解】（1）当时，在上单调递减，符合题意；
当时，的图象对称轴是，注意到，
而在上单调，则，解得；
当时，注意到对称轴，满足在上单调；
综上，．
（2）①当时，在上单调递减，，
②当时，的图象开口方向向上，且对称轴为，
（ⅰ）当，即时，对称轴，
则在上递减，在上递增，
；
（ⅱ）当，即时，在上递减，
；
③当时，的图象开口方向向下，且对称轴，在轴的左侧，
则在上单调递减，故；
综上所述，．
17．（本小题满分15分）
（1）， （2）当时，总费用最低，为元
（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式．
（2）利用单调性的定义判断函数的单调性，然后利用单调性求解最小值即得结果．
【详解】（1）由题意卡车行驶的时间为：，
所以卡车这次行车的油费为：元，司机的工资为：元．
所以这次行车总费用为：，．
（2）由（1）知，，
令，，设，
则，
因为，故，所以 ，
所以在上单调递增，
所以当时，总费用最低，为元．
18．（本小题满分17分）
（1）在定义域内单调递增，证明见解析
（2）证明见解析
（3）．
（1）利用定义法判断并证明的单调性；
（2）利用图像关于点成中心对称图形的充要条件证明；
（3）根据单调性和对称性可得，结合恒成立问题可得，运算求解即可．
【详解】（1）函数在定义域内单调递增，证明如下：
，任取，，令，
则，，，
故，
即，所以在定义域内单调递增．
（2）证明：因为的定义域为，
，，
有，
所以的图象关于点对称．
（3）因为，即，
由（1）可知：在定义域内单调递增，则，
由（2）可知：，即，
可得，即，
由，得，
即，解得，
所以实数的取值范围为．
19．（本小题满分17分）
（1）是,理由详见解析； （2）存在， （3）最小值为．
（1）任取，可得的不等式，结合题意可判函数为“平缓”函数；
（2）假设存在实数，使得为上的“平缓”函数，则满足对任意实数，都有成立，代入已知可得k的不等式，解不等式可得；
（3）不妨令，运用绝对值不等式的性质以及新定义，即可得到结论．
【详解】（1）任取，可得
因为，所以，即，
则，
所以，则为上的“平缓”函数，
（2）假设存在实数，使得为上的“平缓”函数，
则满足对任意实数，都有成立，
故
，
由于，当时，显然成立；
当时，由可得：，
由于，当且仅当，同号时取等号，，，
所以，由于，则，
故要使，则，解得：，
综上，存在实数，使为上的“平缓”函数，且的取值范围为
（3）不妨令，由“平缓”函数性质，有成立，
若时，则；
若，
综上，对任意，恒成立，
而对任意的，都成立，则
∴，即的最小值为．

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