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辽宁省普通高中2025~2026学年上学期10月月考调研试题（3）
高一数学
命题范围：【（人教B版）必修一整册、必修二4.1及之前】指数与指数函数及之前
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
4．已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．某校开展文化艺术节，高一年级共有49人参加，其中有33人参加书画活动，有25人参加阅读活动，有22人参加音乐类活动，同时参加书画活动和阅读活动有14人，同时参加书画活动和音乐类活动有12人，同时参加阅读活动和音乐类活动的有8人，则3个活动都参加的学生有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
8．已知函数，则在区间（ ）上一定存在零点．
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C．“”的必要不充分条件是“”
D．集合中的元素个数为8
10．下列选项正确的是（ ）
A．命题“”否定是“”．
B．若函数在定义域上为奇函数，则．
C．函数的最小值为6
D．函数与是相同的函数．
11．已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线 对称，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，则 （用区间的形式表示）．
13．已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是 ．
14．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
（1）比较和的大小．
（2）比较和的大小．
（3）已知，求实数的取值范围．
16．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
17．（本小题满分15分）
已知集合，．
（1）当时，求和；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）．
（1）若，求这三个不等式的解集的交集；
（2）若，解（iii）这个不等式；
（3）存在使不等式（i）和（ii）同时成立的，且这些使不等式（iii）不成立，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数，．
（1）当时，求的解集；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A C D B C B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 BCD BD BD
1．B
求解，即可求解．
【详解】由，
解得，
所以．
故选：B
2．A
根据题意，分别求得命题对应的的范围，得到是的充分不必要条件，进而得到答案．
【详解】由命题，，可得，即，
又由命题，即，解得或，
所以是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件．
故选：A．
3．C
由题可得，，，根据基本不等式可得，当且仅当时，取等号．对进行变形，结合二次函数性质及即可求解．
【详解】由得，，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以．
故选：C．
4．D
利用函数的奇偶性计算即可．
【详解】化简可得，令，
易知，所以为奇函数，
则．
故选：D
5．B
先对不等式变形为，再根据不等式）的整数解恰有4个，对进行限制即可得出答案．
【详解】由，得，因为不等式）的整数解恰有4个，则或，所以或．
故选：B．
6．C
利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求．
【详解】正实数，满足，
．
当且仅当且，即，时取等号，
存在，使不等式有解，
，解可得或，即，
故选：C．
7．B
先设3个活动都参加的学生有人，再根据题意分别求出只参加书画活动和阅读活动，而不参加音乐类活动的人数；只参加书画活动和音乐类活动，而不参加阅读活动的人数；只参加阅读活动和音乐类活动，而不参加书画活动的人数．再求出参加书画活动的人数；只参加阅读活动的人数；只参加音乐类活动的人数．根据参加书画活动的人数加上只参加阅读活动的人数加上只参加音乐类活动的人数的和为49，列出关于的方程求解即可．
【详解】设3个活动都参加的学生有人，
同时参加书画活动和阅读活动的人数有14人，
只参加书画活动和阅读活动，而不参加音乐类活动的人数有人，
同时参加书画活动和音乐类活动的人数有12人，
只参加书画活动和音乐类活动，而不参加阅读活动的人数有人，
同时参加阅读活动和音乐类活动的人数有8人，
只参加阅读活动和音乐类活动，而不参加书画活动的人数有人，
高一年级共有49人参加，其中有33人参加书画活动，有25人参加阅读活动，
有22人参加音乐类活动，
参加书画活动的人数为33人，
参加阅读活动但不参加书画活动的人为人，
只参加音乐类活动的人数为，
参加书画活动的人数加上只参加阅读活动的人数加上只参加音乐类活动的人数的和为49人，
，
，
3个活动都参加的学生有3人．
故选：B．
8．C
按照和两种情况讨论，结合题意可设，，进而结合零点存在性定理分析判断即可．
【详解】由，
当时，函数开口向上，且，则函数必然有两个零点，
可设，要使在上存在零点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在零点；
要使在上存在零点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在零点；
要使在上存在零点，
则或，
即或，则，
所以在上一定存在零点；
要使在上存在零点，
则或，
即或，而的取值不确定，
所以在上不一定存在零点．
同理，当时，函数开口向下，且，
要使在上存在零点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在零点；
要使在上存在零点，
则，即，
而的取值不确定，则在上不一定存在零点；
要使在上存在零点，
则或，
即或，则，
所以在上一定存在零点；
要使在上存在零点，
则或，
即或，而的取值不确定，
所以在上不一定存在零点．
综上所述，函数在一定存在零点．
故选：C．
9．BCD
利用充分条件、必要条件的定义与集合的表示方法一一分析选项即可．
【详解】对于A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误；
对于B，若“方程有一个正根和一个负根”，则，
所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，
故．B正确；
对于C，因为，但或，
所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，易知，共有8个元素，所以D正确．
故选：BCD
10．BD
由命题否定定义判断A选项，由奇函数的定义列出等式求出的值即可判断B选项，由基本不等式判断C选项，由函数的定义判断D选项．
【详解】A选项，命题“”否定是“”．故A选项错误．
B选项，若函数定义域为，则，即．当时，，，函数为奇函数，∴．
若函数定义域为，则，．当时，，，函数为奇函数，∴．
∴，B选项正确．
C选项，，当且仅当，即时取等号，而方程无解，故函数取不到最小值6，C选项错误．
D选项，由，即，且，
由，即，
故与的定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数，D选项正确．
故选：BD．
11．BD
根据题意，结合函数的性质，所以，可判定A错误；再由函数是以4为周期的周期函数，得到，可判定B正确；结合与周期性，可判定C错误，求得，进而可判定D正确．
【详解】由题意知，得，
的图象关于直线对称，则，
所以，所以，所以A错误；
又由，因为关于点中心对称，
所以，所以，
又因为，则，
所以，
所以是以4为周期的周期函数，又，即，
所以，所以B正确；
由，所以C错误；
因为，
所以，
所以，所以D正确．
故选：BD．
12．
通过解不等式和指数函数的性质分别求出集合，再进行集合间的运算即可．
【详解】由可解得，故，
由可得，故，则，
所以．
故答案为：．
13．
分，，，四种情况，进行讨论，结合函数单调性进行求解，得到答案．
【详解】当时，，由得，
故，，
由于在上单调递减，且，
故，所以；
当时，，由得，
故，，
由于在上单调递增，且，
故，所以；
当时，，由得，
故对恒成立，故满足要求；
当时，，同理可得满足要求；
综上，．
故答案为：
14．
参数分离，构造齐次式，结合均值不等式可得结果．
【详解】因为，，
所以且，
所以由不等式恒成立得出：
即
恒成立，
所以等价于求解的最小值，
因为，
当且仅当
即时，等号成立，
所以的最小值为，，
所以的取值范围是：，
故答案为：．
15．（1）；（2）；（3）
（1）采用作差法可直接比较出大小；
（2）采用作差法可直接比较出大小；
（3）将不等式转化为，解一元二次不等式可求得结果．
【详解】（1），
；
（2），
；
（3）由得，
，解得或，
即实数的取值范围为．
16．（1）是奇函数，证明见解析；
（2）．
（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可；
（2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围．
【详解】（1）是奇函数，证明如下，
的定义域为，关于原点对称，
，
是奇函数；
（2）是增函数，
是上的减函数，
原不等式可化为，
即对一切成立，
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则有，解得，
综上所述，实数的取值范围是．
17．（1）
（2）
（1）利用集合的交并补运算即可求解；
（2）根据充分不必要条件得 ，分或两种情况即可求解．
【详解】（1）当时，，，
；
，；
（2），，
由“”是“”的充分不必要条件，
，
当时，，
当时，
，．
实数的取值范围为．
18．（1）
（2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为
（3）
（1）当时，解出三个不等式，利用交集的定义可得出三个不等式解集的交集；
（2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，利用一次不等式或二次不等式的解法可得出原不等式的解集；
（3）设不等式、、的解集分别为、、，求出集合，考虑时实数的取值范围，可得出当时，实数的取值范围，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围．
【详解】（1）设不等式、、的解集分别为、、，
当时，，
由可得，解得，即，
（iii）中的不等式即为，即，
解得或，即，
所以，．
（2）（iii）中的不等式即为，
当时，原不等式即为，解得；
当时，，解原不等式可得；
当时，因为，即，
解原不等式可得或．
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
（3）解不等式，可得，
则，且，
下面考虑当时，实数的取值范围，
则或，解得或，
所以，当时，，
因为满足不等式，则，
即，所以，或，解得或，
所以，或，
当时，，此时，，
由题意可得，所以，，可得，
解得或，此时，；
当时，，此时，，
由题意可得，则，该不等式组无解，
综上所述，实数的取值范围是．
19．（1）
（2）
（3）
【详解】（1）当时，可得，
不等式可得；
当时，不等式为，解得；
当时，不等式为，可得；
综上可知，的解集为；
（2）依题意可知；
当时，图象的对称轴为，
当时，图象的对称轴为，
若函数在上是增函数，可得，解得；
因此实数的取值范围为．
（3）依题意可知方程有三个不相等的实数根，
又因为，由（2）中结论可得当时，函数在上是增函数，
此时方程不可能有三个不相等的实数根，不合题意；
当时，可知；
所以可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，关于方程可能有三个不相等的实数根，
即可得，
因为，所以，
设，
因为存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，；
又在上单调递增，所以；
因此可知时，满足题意，
所以实数的取值范围为．

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