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丰台区 2025-2026 学年度第一学期期中练习
高二数学 考试时间：120 分钟
第 I 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
（1）直线 3x y + 2 = 0的倾斜角为

（A） （B） （C） （D）
6 3 3 6
（2）准线为 x = 2的抛物线的标准方程为
（A） x2 = 4y 2 （B） x = 8y 2 （C） y = 4x （D） y2 = 8x
（3）圆心为 ( 2,2) 且经过原点的圆的方程是
（A） (x 2)2 + (y + 2)2 = 4 2 2 （B） (x + 2) + (y 2) = 4
（C） (x 2)2 + (y + 2)2 = 8 2 2 （D） (x + 2) + (y 2) = 8
（4）△ABC的三个顶点是 A(3,0),B(1,1),C(0,2) ，则边BC上的高所在直线的方程为
（A） x + y 3 = 0 （B） x+ y 1= 0
（C） x y 3 = 0 （D） x y 1= 0
2
（5）设 F ， F 分别是双曲线 x2
y
1 2 =1的左、右焦点， P是该双曲线上的一点，且
3
5 PF1 = 3 PF2 ，则△PF1F2 的面积等于
（A）6 （B）10 （C）12 （D）15
y = kx + 2 x2 2（6）P为直线 上任意一点，过 P总能作圆 + y = 2的切线，则 k的最大值
为
2 2
（A）1 （B） （C） （D） 1
2 2
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2 2
2 3 2 3 x y
（7）已知直线 l : y = k (x 1)，“ k = 或 k = ”是“直线 l与双曲线 =1
3 3 4 4
有且仅有一个公共点”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（ ）已知圆C : x28 + y2 = 4上恰有两个点到直线 l : y = x+b的距离等于 1，则b的取值
范围是
（A） ( 3,3) （B） ( 3 2,3 2)
（C） ( 3, 1) (1,3) （D） ( 3 2, 2) ( 2,3 2)
x2 y2
（9）根据椭圆的光学性质可以得到如下结论：如图， F1,F2 是椭圆C : + =1的两
20 15
个焦点，P为椭圆C上任意一点，l为椭圆C在点P处的切线，光线F1P经过直线
l反射后一定经过另一个焦点 F2 ．过F2 作 l的垂线，垂足为H ，则点H 的轨迹方
程为
x2 + y2 2 2（A） = 4 （B） x + y =10
2 2
（C） x + y =16 2 2 （D） x + y = 20
2 2
（10）已知 A是圆C : x + y =1上的一个动点，且直线mx+ y 2m = 0与直线
x my 6 = 0交于点P，则对于任意实数m， | PA |的取值范围是
（A） (1,7] （B）[1,7] （C） (2,6] （D）[2,6]
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第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
x2
（11）已知椭圆C : + y2 =1(a 0) 的一个焦点为 (1,0) ，则椭圆的离心率为 ．
a2
（12）已知两直线 l1 : 3x + 4y 2 = 0和 l2 : ax +8y +16 = 0，若 l1‖ l2 ，则 l1与 l2 间的
距离为 ．
（ ）已知点 A(0,3) ，点 在圆C : x2 + y213 P + 2x = 0上，则 | AP |的最大值为 ；若
AP与圆C相切，则切线 AP的方程为 ．
（ 214）已知点M (1,4)不在抛物线C : y = 2px(p 0) 上，抛物线C的焦点为F . 若对
于抛物线上的一点P， | PM | + | PF |的最小值为 4，则 p的值等于 ．
（15）已知曲线C : ax2 + y2 + xy =1（a为常数），给出下列四个结论：
① 曲线C关于坐标原点对称；
② 当a =1时，曲线C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③ 设P为曲线C上的一个动点，则存在a 0 ，使得 |OP |有最大值（其中O为
坐标原点）；
④ 记曲线C在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为 S ，则对任意a 1，
1
都有 S ．
2 a
其中所有正确结论的序号为 ．
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三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
求满足下列条件的直线的方程：

（Ⅰ）经过点 A(0,1)，倾斜角为 ；
3
（Ⅱ）经过点B(2,1)和C(4,3)；
（Ⅲ）经过点D(3,2)，且与直线2x+ y 1= 0平行.
（17）（本小题 14 分）
已知圆心为C的圆经过 A(1,1)，B(3,3)两点，且圆心C在直线 l : x 2y 1= 0上.
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）求直线 x y 4 = 0被圆C所截得的弦长.
（18）（本小题 14 分）
在平面直角坐标系 xOy中，抛物线C：y2 = 2px (p 0) 上一点M (1, y0 ) 与焦点间
的距离为2 .
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若直线 y = 2x 4与抛物线C相交于 A,B两点，求△AOB的面积.
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（19）（本小题 15 分）
在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E的两个焦点分别是F1( 1,0)，F2 (1,0) ，并且经
3
过点P(1, )．
2
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）直线 l : y = kx 2与椭圆E交于不同的两点 A,B .
（ i ）求 k的取值范围；
（ ii）若OA ⊥OB，求 k的值.
（20）（本小题 14 分）
x2 y2 3
已知椭圆E : + =1(a b 0) 的离心率为 ，A,C分别是椭圆E的上、下
a2 b2 2
顶点，B,D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形 ABCD的面积为 4．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设 P为第一象限内椭圆 E上的动点．直线 PA与直线 BC交于点M ，直线PD与
直线 x = 2交于点N . 求证：MN‖CD .
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（21）（本小题 15 分）
a1,1 a1,2 a1,n

a2,1 a2,2 a2,n已 知 m 行 n 列 (m,n≥2) 的 数 表 A m n = 的 分 量

am,1 am,2 am,n
ai, j (1≤i≤m,1≤j≤n)都是非零整数．若数表 Am n满足如下两个性质，则称数表 Am n为
规范表：
ai+1,1 ai+1,2 ai+1,n
①对任意 i 1,2, ,m 1 ， ， ，…， 中有n 1个 1，1个1；
ai,1 ai ,2 ai,n
②存在 k 1,2, ,m ，使得a ， ak ,2，…，ak ,1 k ,n 都是正整数．
1 2 3 4 2 5

（Ⅰ）分别判断数表B = 1 2 3 ，C = 4 2 5 是否为规范表（直接写

1 2 3 4 2 5
出结论）；
（Ⅱ）若n = 5，是否存在规范表 A (m≥2)满足a1,1 = a1,2 = a1,3 = am n 1,4 = a1,5 = 1？若
存在，请写出一个；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若n = 2026，是否存在规范表 Am n (m≥2)满足a1,1 = a1,2 = = a1,n = 1？若存
在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）
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丰台区2025-2026学年度第一学期期中练习
高二数学 参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C A A A D D A
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二．填空题（每小题 5 分，共 25 分）
2
（11） ； （12）2 ； （13） 10 +1； x = 0 或 4x 3y +9 = 0；
2
（14） 2； （15）①②④．
（注：15 题给出的序号中，有多个序号符合题目要求. 全部选对得 5 分，只选
对 2 个得 4 分，只选对 1 个得 3 分，不选或有错选得 0 分．)
三．解答题（共 85 分）
（16）（本小题 13 分）

解：（Ⅰ）因为直线过点 A(0,1)，斜率 k = tan = 3 ， ………………1 分
3
代入直线的点斜式方程得： y 1= 3(x 0) . ………………3 分
所以直线的方程为 3x y +1= 0 . ………………4 分
（Ⅱ）因为直线经过点B(2,1)和C(4,3)，
3 1
所以直线的斜率 k = =1. ………………5 分
4 2
代入直线的点斜式方程得： y 1=1 (x 2) . ………………7 分
所以直线的方程为 x y 1= 0 . ……………9 分
（Ⅲ）因为所求直线与直线2x+ y 1= 0平行，
所以设所求直线的方程为2x+ y +m = 0 (m 1) . ……11 分
因为直线经过点D(3,2)，
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所以2 3+ 2+m = 0，即m = 8 . ………………12 分
所以直线的方程为2x+ y 8 = 0 . ………………13 分
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）法一：
2 2 2
设圆C的方程为 (x a) + (y b) = r ， ………………1 分
(1 a)2 + (1 b)2 = r 2 ,
2
依题意得， (3 a) + (3 b)
2 = r2 , ………………4 分
a 2b 1= 0,

2
解得a = 3, b =1, r = 4 . ………………7 分
2 2
所以圆C的方程为 (x 3) + (y 1) = 4 . ………………8 分
法二：
设线段 AB的垂直平分线为直线m，
则C既在直线m上，又在直线 l上.
1+ 3 1+ 3
因为 AB的中点为 ( , ) 即 (2,2)， ………………1 分
2 2
3 1
直线 AB的斜率为 =1， ………………2 分
3 1
所以直线m的斜率为 1. ………………3 分
所以直线m的方程为 y 2 = (x 2)，
即 x+ y 4 = 0 . ………………4 分
x + y 4 = 0 x = 3
联立 ，解得 . ………………6 分
x 2y 1= 0 y =1
所以点C坐标为 (3,1) .
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又因为圆的半径为 CA = (3 1)2 + (1 1)2 = 2， ………7 分
2 2
所以圆C的方程为 (x 3) + (y 1) = 4 . ………………8 分
（Ⅱ） 因为圆心C(3,1) 到直线 x y 4 = 0 的距离
3 1 4
d = = 2 ， ………………11 分
12 + ( 1)2
设直线 x y 4 = 0与圆C交于M ,N两点，
由垂径定理得，弦长 MN = 2 r 2 d 2 = 2 2 . …………14 分
（18）（本小题 14 分）
p p
解：（Ⅰ）依题意得，抛物线C的焦点F 坐标为 ( ,0)，准线方程为 x = .
2 2
p
由抛物线的定义可知， MF =1+ = 2 . ………………2 分
2
解得 p = 2 . ………………3 分
所以抛物线C的方程为 y2 = 4x . ………………4 分
（Ⅱ）设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
则 AB = (x x )2 2 1 2 + (y1 y2 )
= (x1 x
2 2
2 ) + [(2x1 4) (2x2 4)]
= 5 x1 x2 . ………………5 分
y = 2x 4
由 得 x2 5x+ 4 = 0 . ………………6 分
y2 = 4x
则 x1 + x2 = 5, x1x2 = 4 . ………………8 分
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所以 AB = 5 x1 x2
= 5 (x + x 2 1 2 ) 4x1x2
= 3 5 . ………………10 分
又因为原点O到直线 y = 2x 4的距离
4 4 5
d = = ， ………………12 分
22 + ( 1)2 5
1
所以△AOB的面积 S = AB d = 6 . ………………14 分
2
（19）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）因为椭圆E的焦点在 x轴上，
x2 y2
所以设椭圆E的标准方程为 + =1(a b 0) . ……1 分
a2 b2
由椭圆的定义可得：c =1， ………………2 分
3 3
2a = PF1 + PF
2
2 = [1 ( 1)] + ( )
2 + = 4 ， ………3 分
2 2
所以a = 2，b2 = a2 c2 = 3 . ………………4 分
x2 y2
所以椭圆E的标准方程为 + =1. ……………5 分
4 3
（Ⅱ）（ i ）设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) .
y = kx 2

联立 x2 y2 ，
+ =1
4 3
整理得 (3+ 4k 2 )x2 16kx + 4 = 0 . ………………7 分
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2 2
依题意得， = ( 16k) 4 4(3+ 4k ) 0 . ………8 分
1 1
解得， k 或 k .
2 2
1 1
所以， k的取值范围为 ( , ) ( ,+ ) . ………9 分
2 2
16k 4
（ ii）由（ i ）知， x1 + x2 = , x1x2 = . ………11 分
3+ 4k 2 3+ 4k 2
y1y2 = (kx1 2)(kx
2
.
2 2) = k x1x2 2k(x1 + x2)+ 4
因为OA ⊥OB，

所以OA OB = x1x2 + y y = 0， ………………12 分 1 2
2
即 (1+ k )x x 2k(x + x )+ 4 = 0 . ………………13 分 1 2 1 2
4(1+ k 2 ) 32k 2
所以 + 4 = 0 .
3+ 4k 2 3+ 4k 2
2 3
解得 k = .
3
2 3
所以 k的值为 . ………………15 分
3
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（20）（本小题 14 分）

a2 = b
2 + c2

c 3
解：（Ⅰ）依题意得， = 且a b 0 . ………………2 分
a 2
1
2a 2b = 4 2
解得a = 2, b =1 . ………………3 分
x2
所以椭圆E的方程为 + y2 =1. ………………4 分
4
x2
（Ⅱ）设P(x0 , y0 ) , 其中
0 + y20 =1, x0 0, y0 0 . …………5 分
4
因为 A(0,1) ,B( 2,0) ,C(0, 1) ,D(2,0) ,
y0
所以直线PD的方程为 y = (x 2) . ………………6 分
x0 2
4y0
令 x = 2，则 y = .
x0 2
4y
所以N ( 2,
0 ) . ………………7 分
x0 2
0 ( 1) 1
因为直线BC的方程为 y = x 1= x 1 , ……8 分
2 0 2
y0 1
又直线PA的方程为 y = x +1， ………………9 分
x0
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1 4xx = 0
y = x 1 2 x0 + 2y0 2
联立 ，解得 .
y 1
x 2y + 2y = 0 x +1 y = 0 0
x0 x0 + 2y0 2
4x0 x0 2y0 + 2
所以M ( , ) . ………………10 分
x0 + 2y0 2 x0 + 2y0 2
所以直线MN的斜率
x0 2y0 + 2 4y+ 0
x + 2y 2 x 2 x2 + 2x y +8y2
k = 0 0 0 0 0 0 0
4y
= 0
4
MN . 4x0 2x
2
0 + 4x0 y0 8y +8+ 2 0
x0 + 2y0 2
x2
又因为 0 + y2 =1， 0
4
x2 + 2x 20 0 y0 + (8 2x0 ) 4y0 4
所以 kMN =
2x20 + 4x0 y0 8y0 +8
x2 + 2x y 4y + 4
= 0 0 0 0
2x20 + 4x0 y0 8y0 +8
1
= . ………………12 分
2
0 ( 1) 1
因为直线CD的斜率 kCD = = ， ………………13 分
2 0 2
所以 kMN = kCD .
又因为直线MN与直线CD显然不重合，
所以MN‖CD . ………………14 分
第 7 页 共 9 页
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）B是规范表，C不是规范表． ………………4 分
（Ⅱ）不存在. 用反证法.
假设存在规范表 A a = a = a = a = a = 1m n (m 2)满足 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 ，
令 i = ai,1 ai,2ai,3 ai,4ai,5 ，则 1 = 1；
4
另一方面，根据性质①： i+1 = ( 1) i = 1(i =1,2, ,m 1)，
即对任意 i {1, 2, ,m}， i 0；
又由条件②，存在 k {1, 2, ,m}，使 k = ak ,1 ak ,2ak ,3 ak ,4ak ,5 0，
矛盾，所以假设不成立，即不存在符合题意的规范表. ………9 分
（Ⅲ）存在符合题意的规范表 Am n .
①构造：
考虑满足如下条件的数表 A(n+1) n，
其中 (a1,1 ,a1,2 , ,a1,n ) = ( 1, 1, , 1)，
并且当1 j n时，相邻两列 (a j ,1 ,a j ,2 , ,a j，n )
与 (a j+1，1 ,a j+1,2 , ,a j+1，n )
a j+1,i 1, i = j
满足 = 对 i {1, 2, ,2026}成立，
a j ,i 1, i j
则数表 A(n+1) n为符合题意的规范表；
②估值：
以下证明，当n为偶数且 a1,1 = a1,2 = = a1,n = 1时，
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规范表 Am n满足m n +1 .
事实上，用 fi (i =1,2, ,m)表示规范表第 i行中 1的个数，
其中 f1 = n为偶数，
n 1令 i = ai ,1 ai ,2 ai ,n，则 i+1 = ( 1) = ， i i
从而 2i+1 0, 2i 0,据此可知 f2i+1为偶数， f2i为奇数.
设 A mm n为规范表，则 为奇数.
另一方面，由条件①知相邻两行有n 1个分量符号相反，
据此可知第 i行与第 i + 2行至多有 2 个分量符号相反，
即 fi+2 fi 2 ，
所以， n = fm f1 = fm fm 2 + fm 2 fm 4 + + f3 f1 ，
fm f + f f + + f f m 2 m 2 m 4 3 1 m 1 2
m 1
= m 1
共 项 2
2
这表明m n +1 . 综合①②所述，m的最小值是n +1.
因为n = 2026，
所以m的最小值是 2027 . ………………15 分
第 9 页 共 9 页

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