资源简介

2025-2026学年数学九年级上册期中测试卷 （1-4章）
一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．某学习小组的6名同学在第一次数学测试中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、90分，则下列结论正确的是（　　）
A．中位数是90分 B．众数是94分
C．平均数是91分 D．极差是20
3．若是方程的一个根，则m的值为（ ）
A． B． C．2 D．6
4．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（ ）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
6．如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A． B． C． D．
8．不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）．
A． B． C． D．
9．如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．随直线的变化而变化
10．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．）
11．方程的根为 ．
12．如图，四边形是的内接四边形，是它的一个外角，若，则的度数是 ．
13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
14．有甲、乙两组数据，若甲组数据1，2，3，7，8的方差是，乙组数据1，2，3，3，4的方差是，则 ．（填“”“”或“”）
15．已知圆锥的侧面积是，底面半径是3，则母线长为 ．
16．如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为 （结果保留）．
17．若a，b是关于x的方程的两个实数根，则 ．
18．如图，已知中，，点E是边上的动点，以为直径作，连接交于点D，则的最小值
三、解答题（本题共9小题，共84分．．）
19．（8分）解方程：
(1)； (2)．
20．（8分）如图，在中，，证明．

21．（8分）已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m是方程的一个实数根，求m的值.
22．（8分）为保护环境，增强居民环保意识，某校积极参加即将到来的6月5日的“世界环境日”宣传活动，七年级（1）班所有同学在同一天调查了各自家庭丢弃塑料袋的情况，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次共调查多少户居民？计算并请将图（1）的条形统计图补充完整；
(2)这组数据的居民丢弃塑料袋个数的中位数是 个，众数是 个；
(3)该校所在的居民区约有3000户居民，估计该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是多少？
23．（8分）已知如图，中，，平分．
(1)尺规作图：以上一点为圆心（不含端点、），作与相切，与相交（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，与相离，求半径的取值范围．
24.（8分）定义：关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．
(1)【概念感知】的“友好”方程是______；
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
25．（12分）随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
(1)该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率；
(2)该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？
26．（12分）如图，在中，，厘米，厘米．点从点开始沿边向点以1厘米秒的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以2厘米秒的速度移动（到达点即停止运动）．
(1)如果、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于的三分之一？
(2)如果、两点分别从、两点同时出发，而且动点从点出发，沿移动（到达点即停止运动），动点从出发，沿移动（到达点即停止运动），几秒钟后，、相距6厘米？
27．（12分）阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形中，．
求证：过点可作一个圆．
证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆．如图1，若点在圆外，设与圆相交于点，连接，则______，而已知，所以，而是的外角，，出现矛盾，故假设不成立，因此点在过三点的圆上．
如图2，若点在圆内，（请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：
(1)材料中划线部分的结论是______，依据是______；
(2)请将图2的证明过程补全；
(3)如图3，在四边形中，，，，则的大小为______
(4)如图4，已知正方形的边长为6，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线相交于点．当点从运动到时，点也随之运动，求经过的路径长．
参考答案
一﹑单项选择题
1．C
【详解】解：．，含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．，化简后为：，不含二次项，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．，是一元二次方程，故本选项符合题意；
．，还有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．C
【详解】A、这组数据按从小到大排列为：80分、90分、90分、94分、94分、98分，所以这组数据的中位数为92分，所以A选项错误；
B、这组数据的众数是90分和94分，所以B选项错误；
C、这组数据的平均分：（分），所以C选项正确；
D、极差是，所以D选项错误．
故选：C．
3．D
【详解】解：把代入方程，得，
，
，
，
故选：D．
4．C
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，，
解得：，且，
故选：C．
5．C
【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离为5，
∴点P到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点P在上．
故选：C．
6．A
【详解】解：∵，
∴= ，
故选A．
7．C
【详解】解：根据题意得，每个队参加场比赛，共有场比赛，
∴，
故选C．
8．A
【详解】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种，
∴两次摸出的都是红球的概率是．
故选A．
9．C
【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、，
的周长为，，
，
，，
，
，
，，
，
剪下的三角形的周长为，
故选：C．
10．D
【详解】解：①当时，，
∴6是集合中的元素，则，
②当，且时，
，
即，
，
解得或，
③当，且时，
，
即，
解得，
综上所述，n的值为6，1，，0．
故选D．
二﹑填空题
11．
【详解】解：，
∴，
即．
故答案为：．
12．
【详解】解：∵，
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴
故答案为：
13．9
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：9．
14．
【详解】解：甲组数据的平均数为，
故，
乙组数据的平均数为，
故，
∴，
故答案为：．
15．5
【详解】解：∵圆锥的侧面积是，底面半径是3，
∴圆锥的母线长为；
故答案为：5．
16．
【详解】解：连接，
∵为的内切圆，与三边的切点分别为、、，
∴，，
∵，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
设，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
即，
∴的面积，
故答案为：．
17．2020
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2020．
18．
【详解】解：如图，连接，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴动点在以中点为圆心，2为半径的圆上运动，
∵，
当点在同一条直线上时，的值最小，
∵，，
∴由勾股定理得，，
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：
，
解得：，；
（2）解
，
或
解得：，．
20．解：∵，
∴，
即，
∴．
21．证明：(1)=(m+3)2－4(m+1)
=m2+2m+5
=(m+1)2+4>0
∴原方程总有两个不相等的实数根.
(2)m2+m(m+3)+m+1=0
2m2+4m+1=0
∴
22．（1）解：（户），
丢弃塑料袋3个的人数为（户），
补全图形如图：
；
（2）解：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的中位数是4；
4出现了20次，出现次数最多，则众数是4；
故答案为：4；4；
（3）解：该校所在的居民区约有3000户居民，则该居民区每天丢弃的塑料袋总数大约是
（个）.
23．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，当与相切时，设与的切点为点F，与的切点为点E，过点O作交于点G，则，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴与相切，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴当与相离时，半径的取值范围为．
24.（1）解：的“友好”方程是；
故答案为：；
（2）解：是．理由如下：
把代入方程得，
即，
关于的一元二次方程的“友好”方程为，
把代入得，
所以是方程的一个解，
即为的“友好”方程的一个解．
25．（1）设增长率为x，
则可列方程为，
解得（舍）
增长率为
（2）设降价a元，
则可列方程，
化简得，
解得，
因为销量要尽可能大，所以降价30元，故应定价为70元；
26．（1）解：设秒后，的面积等于的三分之一，根据题意得：
，
解得：或4．
答：2秒或4秒后，的面积等于的三分之一．
（2）解：设秒时，、相距6厘米，根据题意得：
，
解得：（舍去）或．
答：秒时，、相距6厘米．
27．（1）解：材料中划线部分的结论是：，
依据：圆内接四边形对角互补，
故答案为：，圆内接四边形对角互补；
（2）证明：假设过点四点不能作一个圆，过、三点作圆，如图2，
若点在圆内，设延长与圆相交于点，连接，则，
∵，
∴，
∴是的外角，
∴，出现矛盾，故假设不成立，
∴点在过三点的圆上；
（3）解：∵，
∴过四边形的四个顶点能作一个圆，如图：
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：32；
（4）解：连接如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四点共圆，
∴，
∴点在上，
当运动到点时，为的中点，
∴，
∴点经过的路径为．

展开更多......

收起↑