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2025-2026学年数学九年级上册期中测试卷（第1-4章）
一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。）
1．已知的半径为4，点在内，则的长可能为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）
A．（x﹣1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x﹣1）2=16 D．（x+1）2=16
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有名同学，他们的成绩分别是：，，，，，这名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　)
A．8 B．12 C．16 D．20
6．如图，的半径为3，P是延长线上一点，，切于点A，那么的切线的长为（ ）
A．3 B． C．6 D．
7．对于函数， 下列结论错误的是（ ）
A．图像顶点是
B．图像开口向下
C．图像关于直线对称
D．函数最小值为
8．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．5
9．古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为
A． B．
C． D．
10．如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　）
A． B．4 C． D．
二﹑填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分．）
11．已知的一个根是2，则另一根为 ．
12．为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146
学生人数（名） 5 2 1 2
则这组数据的众数是
13．如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是 ．

14．如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，的周长为24，则的长为 ．
15．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，且∠BOD＝110°，则∠BCD为 ．
16．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 米．
17．“让孩子变聪明的方法，不是补课，不是增加作业量，而是阅读、阅读、再阅读”. 某学校坚持开展阅读活动，学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字，则该校人均阅读量年均增长率为 ．
18．如图所示，在中，，，，将绕顶点按顺时针方向旋转至的位置，三点共线，则线段扫过的区域（阴影部分）面积为 ．

三、解答题（本题共9小题，共84分．）
19．（8分)解下列方程：
(1)； (2)．
20．（8分)某校七年级社会实践，安排三辆车，编号分别为，，．小温与小州都可以从这三辆车中任意选择一辆搭乘．
(1)求小温没有搭乘车的概率．
(2)若小温没有搭乘车，请用画树状图或列表的方法，求出小温与小州不同车的概率．
21．（8分)2025年山西中考体育总分为分，为测试同学们的体育成绩情况，某校从九年级同学中任意选取人，随机分成甲、乙两个小组进行“一分钟跳绳”测试，根据测试成绩绘制出下面的统计表和统计图．已知甲组的平均成绩为分．
甲组成绩统计表：
成绩 12 13 14 15
人数 1 9 5 5
请根据上面的信息，解答下列问题：
(1)_______，甲组成绩的中位数是_______，乙组成绩的众数是_______；
(2)参考下面甲组成绩方差的计算过程，求乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？
22．（8分)已知关于的一元二次方程．
(1)求证：对于任意实数，该方程总有实数根；
(2)若，是此方程的两个根，且，求的值．
23．（8分)如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求面积．
24．（8分)某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现因货源稀缺，采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．
（1）当销售单价为13元，每天可售出多少件？每天销售利润为多少？
（2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
25．（12分)如图，在中，，以为直径的交于点D，过D作，垂足为E，的延长线交的延长线于点F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求长．
26．（12分)阅读下列材料，完成问题：
材料1：对于一元二次方程，若它有两个实数根和，根与系数的关系（韦达定理）为：，．
材料2：已知一元二次方程（m、n为常数），定义其“关联函数”为且该方程的两个实数根为，．
根据以上内容，解答下列问题：
(1)一元二次方程的两个实数根为，，则__________，__________．
(2)若方程的一个根为1，且关联函数的图象过点，求、的值．
(3)设关联函数的图象与轴的交点为，请直接写出点的坐标；若方程的两根满足，求的取值范围．
27．（12分)新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．

(1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示
(2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角．
(3)如图3，在（2）的条件下，若，求：线段的最大值．
参考答案
一﹑单项选择题
1．A
【详解】解：的半径为4，
A.，点A在内，故选项A符合题意；
B. ，点A在上，故选项B不符合题意；
C.，点A在外，故选项C不符合题意；
D.，点A在外，故选项C不符合题意．
故选：A．
2．A
【详解】移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4.
3．D
【详解】解：∵，
∴方程没有实数根．
故选：D．
4．C
【详解】解：数据，，，，，从大到小的排列顺序为：，，，，，，
中位数是第个，个数据的平均数即．
出现的次数最多，出现了次，
众数为；
故选：C．
5．C
【详解】解：根据垂径定理，得，
根据勾股定理，得，
故．
故选：C．
6．B
【详解】解：∵切于A点，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选B．
7．D
【详解】解：在函数中，
顶点坐标为；A选项正确，不符合题意；
，图像开口方向向下；B选项正确，不符合题意；
图像关于直线对称；C选项正确，不符合题意；
函数的最大值为；D选项错误，符合题意；
故选：D．
8．A
先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可
【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长，
∴该圆锥的底面圆的半径为；
故选：A
9．B
【详解】解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺．
∴可列方程为：．
故选：B．
10．C
【详解】解：如图，连接，
∵菱形的边长为4，，为边上的中点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，
如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，
∴，
∴，
∴，
即线段长度的最大值是，
故选：C．
二﹑填空题
11．
【详解】解：设另一根为，
则，
解得：，
故答案为：．
12．141
【详解】解：由表格中的数据可知，跳绳数量为141个的学生人数最多，即这组数据的众数是141，
故答案为：141．
13．
【详解】解：由题意得：
一个阴影小三角形的面积为：，
则阴影部分面积为：，
正方形网格的面积为：，
所以飞镖击中阴影部分的概率为：，
故填：．
14．9
【详解】解：∵的内切圆与、、分别相切于点D、E、F，且，
∴，，，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∴，
∴，
故答案为：9．
15．
【详解】解：∵∠A＝∠BOD，∠BOD＝110°，
∴∠A＝55°，
∵∠BCD+∠A＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣55°＝125°，
故答案为125°．
16．20
【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，
，
设半径为米，则米，
∵跨度为24米，，
∴米，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴这个弧形石拱桥设计的半径为米，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题：设该校人均阅读量年均增长率为，根据“学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字” ，列式，即可作答．
【详解】解：设该校人均阅读量年均增长率为，
∵学生人均阅读量从年的万字，增加到年的万字
∴
解得，负值已舍去
则该校人均阅读量年均增长率为
故答案为：
18．
【分析】在中可得，，，由旋转的性质可得，由，计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，
，
，
由旋转的性质可知：，
，
故答案为： ．
三、解答题
19．（1）解：开平方得：，
解得：．
（2）解：移项得：，
配方得：，
即，
解得：．
20．（1）解：小温没有搭乘车的概率为；
（2）解：列表如下：
小温 小州
由表可知，共有6种等可能结果，其中小温和小州搭不同车的结果有4种，
小温和小州搭不同车的概率为．
21．（1）解：（人，
把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则中位教是（分，
乙组成绩13分出现的次数最多，出现了9次，
则乙组成绩的众数是13分．
故答案为：3；13.5；13；
（2）解：乙组的平均数是（分），
乙组的方差是：
；
，
乙组的成绩更加稳定．
22．（1）证明：∵，
∴对于任意实数，该方程总有实数根；
（2）解：根据题意得，，，
∵，
∴，
∴．
23．（1）证明：连接，如图：
为的中点，
，
，分别为半径，的中点，，
，
在和中，
，
．
（2）解：过点作于点，如图：
，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
．
答：的面积为．
24．解：（1）200﹣20×（13﹣10）＝140（件），
利润＝（13﹣8）×140＝700（元），
答：当销售单价为13元，每天可售出140件，每天销售利润为700元；
（2）设销售单价应定为x元/件，则每天可售出[200﹣20（x﹣10）]件，
根据题意得：（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
∵要使顾客得到实惠，
∴x2＝16不合题意．
答：销售单价应定为12元/件．
25．（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在直角中，，
∴，
解得．
26．（1）解：由题意，，，对于，
，，
故，．
（2）方程的一个根为1，
将代入，
得，即，
由于函数的图象过点，将点代入函数，
得，即
联立，解得，
故，．
（3）函数图象与轴相交时，横坐标为0，将代入可得，，
；
对于，根据韦达定理有，
，
由完全平方公式可得，，
由于的两根满足，
结合完全平方公式可得，，
即，
由于方程有两根，
，
即，
解得．
27．（1）解：∵是中的好望角，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴是中的好望角．
（3）解：记圆心为，连接，连接，

∵平分，平分，
∴平分，
∴是的好望角，而，
∴，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴为直径时，最大，此时，
∴的最大值为．

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