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2025-2026学年数学九年级上册期中测试卷（第21章 第24章）
一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．方程x2－3x＝0的根是（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3
4．要得到抛物线，可以将抛物线：（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
5．关于的一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．如图，把含的三角板绕点A逆时针旋转得到，使得点、A、三点共线，则旋转角的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．已知抛物线，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（ ）
x 0 1 2 3
y 0 3 4 3 m
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．当时，随的增大而减小 D．
8．某校组织一次篮球联赛，邀请了个球队参加比赛，每两队之间赛一场，计划安排15场比赛．可列方程（ ）
A． B． C． D．
9．如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
11．若是方程的两根，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
12．二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ．
14．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ．
15．如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ．
16．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ．
三、解答题（本题共7小题，共72分．）
17．（8分）解方程：
(1)； (2)．
18．（10分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）
(1)请画出关于原点对称的图形，并写出三点的坐标．
(2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的．
19．（10分）已知抛物线经过点，且对称轴为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与轴的交点坐标．
20．（10分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围．
21．（10分）如图，为的直径，为上一点，为的中点，过作的切线交的延长线于，交的延长线于，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
22．（12分）阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______；
(2)基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：；
(3)能力提升
如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值．
23．（12分）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值；
(3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标．
参考答案
一﹑单项选择题
1．B
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、最高次为3次，不符合题意．
故选B．
2．D
【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B． 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C． 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D
3．C
【详解】解：x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0，
解得：x1=0，x2=3．
故选C．
4．D
【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线；
故选D．
5．B
【详解】解：一元二次方程的根的判别式
∵
∴，即
所以原方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．D
【详解】解：根据题意得，
∵点、A、三点共线，
∴，
故选：D．
7．C
【详解】解：∵当，时的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线，
而时的函数值为，
∴函数图象的开口向下，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，
由对称性可得和时的函数值相等，可得，
∴C不符合题意；
故选C
8．D
【详解】解：设有支球队参加比赛，
根据比赛的总场次数 参赛队伍数（参赛队伍数），
列出一元二次方程为，
故选：D．
9．C
【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为，
∵圆锥的底面周长为，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，
∴圆锥的侧面积为：．
故选：C．
10．A
【详解】解：观察函数图象可得：或时，抛物线在直线上方，
∴关于x的不等式的解集为或，
故选：A．
11．A
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故选A．
12．D
【详解】∵，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故A不符合题意；
∵，
∴，
故B不符合题意；
∵时，
y=a-b+c，
∴2a-2b+2c，
∵，
∴，
∴-b-2b+2c，
∴3b-2c，
故C不符合题意；
∵时，
y=a-b+c，
∵，
∴，
∴3a+c，
故D符合题意；
故选D．
二﹑填空题
13．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是，
故答案为：．
14．
【详解】解：由题意得
故答案为：
15．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为,
∴图象与x轴的另一交点为，
∵抛物线开口向上，
∴当时，即，
故答案为：．
16．4
【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，

由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴投掷距离为；
故答案为：4．
三、解答题
17．（1）解：，
，
则，
或，
解得，；
（2）解：，
，
则，即，
，
，．
18．（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
19．（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为．
∴
∴．
．
（2）令，
．
解得：，．
抛物线与轴的交点坐标是，．
20．（1）解：由题意知，抛物线顶点为，
设抛物线的表达式为，
将代入得：，
解得，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：当时，，
解得或，
结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为．
21．（1）证明：如图，连接，
为切线，
，
为中点，，
，，
∴为的垂直平分线，
，
，
，即，
，
又为的半径，
为的切线；
（2）解：为切线，
，
由（1）得，，
在中，有，
设的半径为，则
在中，有，即，
解得，
即的半径为3
22．（1）解：由题意得，，
，，，，
∵是等边三角形，
，
，即，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接 、，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点C、O、、在一条直线上，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴,
∴．
23．（1）解：抛物线与x轴相交于两点，
则，解得：，
∴抛物线的关系式为．
（2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，，
∴点．
设直线的关系为，
将点B，点C的坐标分别代入得：
，解得：，
∴．
如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，
设点P的横坐标为m，则，
∴，
∴
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，的最大值为．
（3）解： 如图2，当时，轴，
∴点C与点M关于对称轴直线对称，
∴点．
如图3，当，过点M作轴，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则点，
∴，解得：（不合题意，舍去），，
∴点．
综上所述，点M的坐标为或．

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