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第5章《一元一次方程》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次方程的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．下列各式中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．将方程 中分母化为整数，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．有下列变形：
①方程去分母，得；
②方程两边同除以，得；
③方程移项、合并同类项，得；
④方程两边同乘6，得．
其中错误的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．方程与方程的解之和等于，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（ ）
A． B． C． D．
7．李白是我国唐代著名诗人，“李白斗酒诗百篇”，“诗”与“酒”都与李白有着不解之缘．后人有《李白醉酒》的数学诗（见下图）来描述李白饮酒作诗的豪放情景（ 处的大意为：先遇店后见花，如此三次）．则诗中李白的壶中原来有酒（ ）
A．1斗 B．斗 C．斗 D．斗
8．已知关于x的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（ ）
A．12 B．46 C． D．
9．我国古代的“洛书”(图1)，是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，则其中x的值为(　　)
A．1 B．3 C．4 D．6
10．如图，把8张形状大小一样的小长方形卡片（长为a，宽为b）不重叠地放在一个大长方形中，未覆盖部分恰好被分割成两个长方形（阴影部分），若左下方与右上方阴影部分面积的差为2ab，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若的相反数为5，则m的值为 ．
12．若关于的方程的解是，则代数式的值为 ．
13．某车间有名工人生产螺栓和螺母，螺栓与螺母个数比为，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，刚好配套，求有多少人生产螺栓．设有x名工人生产螺栓，其余人生产螺母，依题意列方程为 ．
14．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为 ．
15．定义新运算“”，其规则为，则方程的解为 ．
16．已知，数轴上、、三点对应的数分别为，4，，从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，设运动时间为，当点P到A、B两点的距离比为时，则的值为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．对于任意有理数，，我们规定：．例如：．
(1)计算： ．
(2)若，则的值为 ．
19．已知关于的方程．
(1)当为何值时，该方程与的解相同？
(2)佳佳同学在解这个方程，去分母时忘记给右边的乘分母的最小公倍数，最终解得，求这个方程正确的解．
20．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值．
21．某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量 不超过12吨的部分 超过12 吨但不超过18吨的部分 超过18吨的部分
收费标准（元／吨） a 2
某用户 12月份用水8吨，交水费 12元．
(1)求a的值；
(2)小明家 12月份交水费50元，求小明家 12月份用水量．
22．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___；
(2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______；
(3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值．
23．2025年元旦期间，某商场打出促销广告，如下表所示：
优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元
优惠办法 没有优惠，照原价付款 全部按照九折优惠 其中500元按九折优惠，超过500元部分按照八折优惠
(1)若甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款____________元；若乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为____________元．
(2)若甲购物一次性付款466元，则所购物品的原价是____________元．
(3)若乙分两次购物，两次购物的原价之和是1000元，且第二次所购物品的原价高于第一次，两次实际付款共884元，则乙两次购物时，所购物品的原价分别是多少元？
24．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，相传大禹治水时，有只神龟从洛水中跳出来，背上负有洛书，洛书便是最早的幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．其对角线、横行、纵列的数字之和均相等，这个和叫作幻和．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为．
(1)①如图2，设该三阶幻方中间的数字是x(其中x为正整数)，请用含x的代数式将图中的幻方填充完整；
②如图3也是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，求x的值．
(2)如图4，这是一个类似于幻方的“幻圆”，将，2，，0，1，，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等．现已完成了部分填数．
①求“幻圆”的幻和；
②求的值．
25．已知如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，点也是数轴上的点，如果点到点的距离是点到点的距离的倍，即，则可称点是的偶点，回答下列问题：
（1）当在点，之间，点表示的数为______；
（2）当为数轴上一点，点表示的数为________；
【深入思考】
（3）如图，、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一个动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的偶点？
参考答案
一、选择题
1．B
【详解】解：方程①：，右边为分式，不是整式方程，不符合一元一次方程的定义；
方程②：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程③：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程④：，含项，次数为2，不符合一元一次方程的定义；
方程⑤：，是整式方程，仅含未知数x且次数为1，符合一元一次方程的定义；
方程⑥：，含两个未知数x和y，不符合一元一次方程的定义；
综上，符合条件的一元一次方程为②、③、⑤，共3个，
故选：B．
2．C
【详解】解：A．∵，
∴，
即，故该选项正确，不符合题意；
B．∵，，
∴，故该选项正确，不符合题意；
C．∵，
∴①当时，a为任意实数；②当时，，故该选项错误，符合题意；
D．∵，
∴，即，故该选项正确，不符合题意．
故选C．
3．C
【详解】解：分母化为整数时，
分子分母同乘10得，分子分母同乘10得，
即化为
故选：C．
4．B
【详解】解：①方程去分母，得，变形正确，不符合题意；
②方程两边同除以，得，原变形错误，符合题意；
③方程移项、合并同类项，得，原变形错误，符合题意；
④方程两边同乘6，得，原变形错误，符合题意．
其中错误的有②③④，个数是，
故选：B．
5．A
【详解】解：，
，
解得：，
，
∴，
解得：，
依题意，，
∴，
故选：A．
6．C
【详解】解：根据小明的错误解法得：，
把代入得：， 解得：，
，
去分母得：.
去括号得：.
移项并合并同类项得：.
系数化为得：.
故选：．
7．B
【详解】解：设李白的壶中原来有酒斗，
，
解得：，
故答案为：B．
8．D
【详解】解：，
去分母得，
移项、合并同类项得，
解得．
∵关于x的方程的解是正整数，
∴，且是正整数，
∴或2或3或6，
解得：或或或2，
∴符合条件的所有整数a的积为：
，
故选：D．
9．A
【详解】解：依题意，
解得：，
故选：A．
10．C
【详解】解：设大长方形的宽为x，
由题意得：左下方阴影部分的面积为，右上方阴影部分的面积为，
∵左下方与右上方阴影部分面积的差为，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题
11．
【详解】解：∵的相反数为5，
∴，
∴，
故答案为：．
12．18
【详解】解：将代入，得：，
即，
，
故答案为：18．
13．
【详解】解：某车间名工人生产螺栓和螺母，有名工人生产螺栓，
有名工人生产螺母，
每人每天平均生产螺栓个或螺母个，
每天生产螺栓个，生产螺母有个，
螺栓与螺母个数比为刚好配套，
．
故答案为：．
14．【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
解互为相反数，
将代入得，
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
故答案为： ．
15．55
【详解】解：根据题中的新定义得：，
整理得：，
解得：，
故答案为：55．
16．1.5或3.75
【详解】解：∵数轴上、、三点对应的数分别为，4，，
∴点P运动后表示的数是，
点P到A、B两点的距离比为时，，
当点P在点A左侧时，，，
∴
解得；
当点P在点A、B之间时，，，
∴，
解得．
综上所述，当点P到A、B两点的距离比为时，则的值为1.5或3.75．
故答案为：1.5或3.75．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：.
（2）解：，
原式可写为，
化简得：，
移项得：，
合并同类项得：
系数化为1得：.
19．（1）解：解方程，得．
将代入，
得，
解得；
（2）解：由题意，将代入，
得，
解得．
将代入，
得，
解得，
所以这个方程正确的解为．
20．解：把代入得：
，
整理得：，
∵方程的解与的取值无关，
∴且，
解得：．
21．（1）解：由题意，得，
解得．
（2）解：如果一个月用水12吨，则需水费为（元），，
如果一个月用水18吨，则需水费为（元），，
所以12月份用水量超出了18吨，
设小明家 12月份用水量为x吨，
由题意，得，
解得，
答：小明家 12月份用水量为26吨．
22．（1）解：
，
将，代入得，
，
故答案为：1；
（2）解：∵
∴
∴，代入得，
，
，
故答案为：5；
（3）解：由，得，
∵的值为整数，
∴为整数，且取正整数，
∴或或
当时，；
当时，；
当时，；
∵
∴
∴，
∵的值为整数，
∴或或，
当时，；
当时，；
当时，；
∵方程的解也是关于的方程的解，
∴，．
23．（1）解：，
∴甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款198元；
当商品原价为198元，乙实际付款198元，
当商品原价高于200元时，
∵（元）
又，
∴（元）
所以，乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为198元或220元；
故答案为：198；198或220；
（2）解：设甲所购物品的原价是y元，
∵，
∴．
根据题意得：，
解得：．
故答案为：520；
（3）解：∵第二次所购物品的原价高于第一次，
∴第一次所购物品的原价低于500元，第二次所购物品的原价超过500元，
设乙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是元，
①当时，有，
解得：；
∴（元）；
②当时，有，
解得：，
∴（元）
答：乙第一次所购物品的原价是170元或340元，第二次所购物品的原价是830元或660元．
24．（1）解：①三阶幻方的幻和为，
，
，
，
填充幻方如下：
②由题意得，，
解得．
（2）解：①，
所以“幻圆”的幻和为；
②由题意得，，，，
解得，，，
当时，；
当时，；
所以或，
则或，
所以的值为或3．
25.（1）解：设点表示的数是，
点是的偶点，在点、之间，
，即，
，即点表示的数是．
故答案为：．
（2）解：设点表示的数是，
依题得：或，
解得：或．
故答案为：或．
（3）解：点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止，
若运动时间为，则动点表示的数为，，，
分四种情况讨论：
①当点是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
②当点是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
③当点是的偶点时，，
，
解得：（秒）；
④当点是的偶点时，，
，
解得：（秒）．
综上所述，当为秒、秒或秒时，、、中恰有一个点为其余两点的偶点．

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