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2025学年第一学期九年级数学学科期中自适应练习卷
（时间：100分钟，满分：150分）
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列函数中，一定是y关于x的二次函数的是 （ ▲ ）．
（A）； （B）；
（C）（其中m是常数）； （D）（其中a是常数）．
2．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是 （ ▲ ）．
（A）1，2，3，4； （B）1，1，2，3； （C），，2，3； （D）1，，，2．
3．如图1，直线////，、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，、交于点O．已知AO∶OB∶BC=1∶2∶3，下列结论中错误的是 （ ▲ ）．
（A）； （B）； （C）； （D）．
4．下列关于向量的说法中，正确的是 （ ▲ ）．
（A）如果，，那么//；
（B）如果是实数，那么与的方向一定相同；
（C）已知是单位向量，那么；
（D）如果，那么．
5．已知二次函数的图像如图2所示，那么一次函数的图像经过
的象限是 （ ▲ ）．
（A）第一、二、三象限； （B）第一、二、四象限；
（C）第二、三、四象限； （D）第一、三、四象限
6．如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定成立的是 （ ▲ ）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．已知，那么的值是 ▲ ．
8．已知P为线段AB上一点，且，那么的值是 ▲ ．
9．如图4，点D、E分别在△的边CA、BA的延长线上，且DE//BC，如果，cm，那么BC= ▲ cm．
10．已知二次函数的图像有最高点，那么的取值范围是 ▲ ．
11．抛物线与轴的交点坐标是 ▲ ．
12．已知抛物线的顶点在x轴上，那么c= ▲ ．
13．已知抛物线的开口向下，对称轴为直线，如果点A（1，y1）与点B（3，y2）是此抛物线上的两点，那么y1 ▲ y2（填“>”、“＝”或“<”）．
14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，．设向量，向量，那么向量= ▲ ．（用向量、表示）
15．如图5，已知在△ABC中，点F在△ABC的角平分线AG上，，过点F作线段DE，分别交边AB、AC于点D、E．如果∠ADE=∠C，那么= ▲ ．
16． 如图6，在△ABC中，点D是边BC上一点，，点E在BA的延长线上，，联结ED交AC于点F，那么= ▲ ．
17．定义：如果直线与开口向下的抛物线有两个交点，那么这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图7，抛物线L1：随其顶点沿直线平移一定距离后，得到新抛物线L2的“反碟长”恰好为4，那么抛物线L2的表达式是 ▲ ．
18．如图8，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D是边BC的中点，将△ACD沿直线AD翻折得△，点E是边AB上一点，△BDE沿DE翻折后，点B的对应点恰好和点重合，那么BE＝ ▲ ．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
如图9，已知向量、，先化简再求作向量：．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）
20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知二次函数的图像经过点A（，），顶点坐标为（，）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P（，m）在二次函数的图像上，且点P和点Q关于这个二次函数图像的对称轴对称，求m的值和点Q的坐标．
21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
已知二次函数．
（1）求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况；
（2）如图10，在平面直角坐标系xOy中，该函数图像与x轴
正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，
求四边形OADC的面积．
22.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图11，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，，联结AE、CD交于点G，联结DE．
（1）当时，求的值；
（2）当时，取AC边中点F，联结EF交CD于点H．已知CD=12，求GH的长．
23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图12，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥CD交AE的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）联结CE，求证：∠ACE＝∠F．
24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
如图13，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（，）、
B（，）、C（，）．
（1）求抛物线的表达式和顶点M的坐标；
（2）点D在抛物线对称轴上，∠MBD=90°，求点D的坐标；
（3）抛物线的对称轴和x轴相交于点H，把抛物线平移，得到新抛物线的顶
点为N，NA=NH，NO的延长线交原抛物线于点E，NO=3OE，求新抛物线
的表达式．
25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交AC边于点D点D与点A、C都不重合，点E在射线DC上，且∠EPD=∠A，设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）如图14，当点E和点C重合时，求AP的长；
如图15，当点E在线段DC上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，直接写出△BEP的面积．
2025学年第一学期九年级数学学科期中自适应练习卷 2025.11
参考答案及评分说明
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．B； 2．C； 3．C； 4．A； 5．A； 6．D.
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．； 8．； 9．；
10．； 11．； 12．；
13．； 14．； 15．；
16．； 17．； 18．．
三、解答题：
（本大题共7题，其中第19～22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
解：
（2分）
． （2分）
其中，作图正确2分，和箭头正确各1分，箭头正确1分，结论1分．
解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标为，
∴设二次函数的解析式为． （2分）
∵二次函数的图像经过点，
∴把，代入得：
． （1分）
解得 ． （1分）
∴这个二次函数的解析式为． （1分）
∵点在二次函数的图像上，
∴把，代入得：
． （1分）
解得 ． （1分）
∴点P坐标为．
∵二次函数的对称轴为直线， （1分）
点P和点Q关于这个二次函数的对称轴对称，
∴点Q坐标是． （2分）
说明：其它方法均酌情给分.
解：（1） ∵，，
∴． （1分）
把代入，得
． （1分）
∴这个二次函数图像的顶点坐标是． （1分）
∵二次函数图像的开口向下，
∴在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的． （2分）
∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A，
∴把代入得， （1分）
解得，（舍去）．
∴点A坐标是． （1分）
∵二次函数图像的顶点坐标是 ，
与y轴交点坐标是， （1分）
过点D作DH⊥y轴于点H，则OC=6，OH=8，DH=1，CH=2．
∴S四边形OADC=S梯形OADH－S△CDH
＝15． （2分）
说明：其它方法均酌情给分.
22．解：（1）∵，
∴DE // AC． （1分）
∴△DEG∽△CAG． （1分）
∴． （1分）
∵DE // AC，
∴． （1分）
∵，
∴
∴．
∴． （1分）
∵，
∴D、E分别为AB和BC边中点．
∴G为△ABC的重心．
∴． （1分）
∵，
∴． （1分）
∵E为BC边中点、F为AC边中点，
∴EF // AB．
∴． （1分）
∵G为△ABC的重心．
∴．
∴． （1分）
∴． （1分）
说明：其它方法均酌情给分.
23. 证明：（1）∵AC⊥AD，
∴∠CAD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC．
∴∠ACB=∠CAD=90°．
∵CF⊥CD，
∴∠DCF=90°．
∴∠ACB=∠DCF．
∴∠ACB＋∠ACD=∠DCF＋∠ACD．
即∠BCD=∠ACF． （1分）
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°．
∵∠AOE＋∠OAE＋∠AEO=∠OBC＋∠OCB＋∠BOC=180°,
∠AOE=∠BOC，
∴∠OAE=∠OBC． （1分）
∴△BCD∽△ACF． （1分）
∴． （1分）
∴． （1分）
（2）∵∠OAE=∠OBC，∠AOE=∠BOC
∴△OAE∽△OBC． （1分）
∴． （1分）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∴． （1分）
∵∠COE=∠DOC，
∴△OCE∽△ODC． （1分）
∴∠OCE=∠ODC． （1分）
∵△BCD∽△ACF，
∴∠ODC=∠F． （1分）
∴∠ACE=∠F． （1分）
说明：其它方法均酌情给分.
解：（1）∵抛物线经过点A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3），
∴ （1分）
解得 （1分）
∴抛物线的解析式为． （1分）
∴顶点M的坐标是． （1分）
（2）抛物线的对称轴为直线． （1分）
∵点D在抛物线对称轴上，
∴直线MD⊥x轴，则∠MHB=∠MBD=90°．
∵∠M=∠M，
∴△MHB∽△MBD． （1分）
∴．
∵，，
∴． （1分）
∴点D的坐标是． （1分）
（3） 作NF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，则NF∥EG，
∴
∵，
∴点N在线段AH的垂直平分线上．
∴点N的横坐标为．
∴OF=2． （1分）
∴． （1分）
把代入，得
．
∴．
∴．
∴N． （1分）
∴新抛物线的表达式为． （1分）
说明：其它方法均酌情给分.
解：（1）∵PD⊥AB，
∴∠APD=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠APD＝∠ACB．
∵∠A＝∠A，
∴△APD∽△ACB． （1分）
∴．
∵BC=6，AC=12，
∴． （1分）
∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，
∴△PED∽△AEP．
∴． （1分）
∴，． （1分）
∴．
∵，，
∴．
∵∠APD=90°，
∴．
解得
∴． （1分）
（2）过点E作EH⊥AB于点E，
∴∠AHE=90°．
∵∠APD=90°，
∴∠AHE=∠APD．
∴DP // EH．
∴．
∵，
设ED＝a，则PE＝2a，AE=4a，
∴． （1分）
∴．
∴． （1分）
∵∠ACB=90°，BC=6，AC=12，
∴．
∴． （1分）
∵，
∴． （1分）
定义域： （1分）
（2分）
或 （2分）
说明：其它方法均酌情给分.

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