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人教版2025—2026学年九年级上册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·枣阳期中）抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·安化期中）如图，在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为551平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·安宁期中）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
4．（2024九上·慈溪期中）二次函数的图象的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．（2024九上·余杭期中）小颖在研究二次函数y=x2+2x-m2+2m（m为常数）性质时，有以下结论：①对称轴为直线x=-1；②）抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为-4，则m的值为3；④若x1<-1-2，则y1A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．（2024九上·恩施期中）一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·丰台期中） 下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023九上·黄岛期中）某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率。设每次下调的百分率为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022九上·桐庐期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：
；；；若，是抛物线上两点，则．
其中说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022九上·桐乡市期中）抛物线（a，b，c是常数），，顶点坐标为，给出下列结论：①若点与在该抛物线上，当时，则；②关于x的一元二次方程无实数解，那么（　　）.
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·江海期中）与点关于原点中心对称的点的坐标为　 　．
12．（2024九上·杭州期中）如图， 已知中， ，， 将绕点逆时针旋转得到， 则 　 　．
13．（2023九上·大厂期中）如图，已知一次函数图象与x轴，y轴分别相交于点B．C两点，抛物线与x轴相交于A，B，与y轴相交于点C，且直线与抛物线的交点分别为点C，B．该一次函数的解析式为　 　
14．（2023九上·盘龙期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，设参加酒会的人数为x人，则可列出方程　 　．
15．（2023九上·宜州期中）函数y＝x2-2ax-2在-1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　 　．
16．（2024九上·香洲期中）如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·武汉期中）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝（1﹣x）2．
18．（2024九上·中山期中）已知抛物线过点和．
（1）试确定抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标．
19．（2024九上·海淀期中）学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．
（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．
20．（2024九上·越秀期中）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
21．（2024九上·宁波期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该图象与x轴的另一个交点坐标；
（3）观察图象，当时，求自变量x的取值范围．
22．（2024九上·鹤山期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
与D ；B 与；与F ；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 ；
（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
23．（2024九上·庆云期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
24．（2024九上·瑞安期中）如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，．
（1）求该抛物线表达式．
（2）若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由．
（3）记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值．
25．（2024九上·佛山期中）如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S．
（1）填空： ； ；
（2）当点P运动几秒时，和面积相等？
（3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·枣阳期中）抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
将向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为，
故答案为：C．
【分析】本题先将原抛物线变形，然后根据“上加下减，左加右减”的平移规律，计算求解即可．
2．（2024九上·安化期中）如图，在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为551平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设小路宽为，则种草坪部分的长为，宽为，
根据题意，可列方程是，
故答案为：D．
【分析】利用平移的性质，将小路平移至矩形的边上，根据题意表示出种草部分的长和宽，由矩形面积公式即可得到答案.
3．（2024九上·安宁期中）一元二次方程的根的情况是（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.确定a，b，c的值，代入公式判断出△的符号即可得出结论.
4．（2024九上·慈溪期中）二次函数的图象的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【解析】【解答】解：对称轴为直线，即直线．
故答案为：B．
【分析】本题考查二次函数的性质．直接利用二次函数的对称轴公式，代入数据进行计算可求出答案．
5．（2024九上·余杭期中）小颖在研究二次函数y=x2+2x-m2+2m（m为常数）性质时，有以下结论：①对称轴为直线x=-1；②）抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为-4，则m的值为3；④若x1<-1-2，则y1A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【解析】【解答】解：
抛物线的对称轴为，①正确；
当时，y有最小值，为
若，则或，③错误；
当时，
∵，
与x轴有两个或有一个交点，②错误；
∵，
∴
又∵抛物线开口向上，离对称轴越远越大
∴，④正确，
D选项符合题意，
故答案为：D.
【分析】 将抛物线转化为顶点式，求得对称轴以及最小值，令求得m；将代入，得到一元二次方程，判断判别式；判断出到对称轴的距离，再根据二次函数的性质，求解即可.
6．（2024九上·恩施期中）一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度与水平距离之间的函数表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=-（x-30）2+10，
∴当x=30时，y有最大值为10．
∴高尔夫球在飞行过程中的最大高度为10m．
故答案为：A．
【分析】利用二次函数的顶点式可得当x=30时，y有最大值为10，从而得解.
7．（2023九上·丰台期中） 下列四个品牌图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A：，是轴对称图形，不符合题意；
B：，是中心对称图形，符合题意；
C：，是轴对称图形，不符合题意；
D：，是轴对称图形，不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义即可求解.
8．（2023九上·黄岛期中）某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率。设每次下调的百分率为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】
解：原价为25万，两次下调相同费率后的价位是16万，设每次下调的百分率为x，根据题意得：
25（1-x）2=16
故答案为D
【分析】本题考查一元二次方程--平均下降率，根据题意找出基础量a，平均下降率x，下降次数n，最终量b，可得a（1-x）n=b，据此可得答案，
9．（2022九上·桐庐期中）如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：
；；；若，是抛物线上两点，则．
其中说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴2a-b=0，故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-3，0），对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴当x=2时y＞0即4a+2b+c＞0，故③错误；
∵点（-5，y1）关于对称轴对称的点的坐标为（3，y1），
当x＞-1时y随x的增大而增大，
∵3＞，
∴y1＞y2，故④正确
∴正确结论的序号为①②④.
故答案为：C.
【分析】观察函数图象可知抛物线的开口向上，对称轴在y轴的左侧，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，可得到a，b，c的取值范围，可对①作出判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-1，可对②作出判断；利用二次函数的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），可知当x=2时y＞0，可对③作出判断；再根据点（-5，y1）关于对称轴对称的点的坐标为（3，y1），当x＞-1时y随x的增大而增大，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
10．（2022九上·桐乡市期中）抛物线（a，b，c是常数），，顶点坐标为，给出下列结论：①若点与在该抛物线上，当时，则；②关于x的一元二次方程无实数解，那么（　　）.
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【解析】【解答】解：①∵顶点坐标为，，
∴点关于抛物线的对称轴的对称点为，
∴点与在该抛物线的对称轴的右侧图象上，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴，故此小题结论正确；
②∵顶点坐标为，
∴，
∴
把 代入中，得，
∴一元二次方程中，
∴一元二次方程无实数解，故此小题正确；
故答案为：A.
【分析】（1）首先找出点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=1的对称点为（2-n，y1），则点（2-n，y1）与（3-2n，y2）在该抛物线的对称轴的右侧图象上，利用作差法求出2-n＜3-2n，进而根据二次函数的增减性进行判断便可；
（2）先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2 bx＋c m＋1＝0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·江海期中）与点关于原点中心对称的点的坐标为　 　．
【答案】
【解析】【解答】根据中心对称的性质，点(x，y)关于原点中心对称的点的坐标为(-x，-y)
点P(2，-4)关于原点中心对称的点的坐标为(-2，4).
故填：(-2，4).
【分析】利用平面直角坐标系内中心对称的坐标变换规则：横，纵坐标均取相反数，直接推导对称点坐标.
12．（2024九上·杭州期中）如图， 已知中， ，， 将绕点逆时针旋转得到， 则 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由旋转可得，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由旋转可得，，，然后根据等边对等角得到，再利用角的和差解题．
13．（2023九上·大厂期中）如图，已知一次函数图象与x轴，y轴分别相交于点B．C两点，抛物线与x轴相交于A，B，与y轴相交于点C，且直线与抛物线的交点分别为点C，B．该一次函数的解析式为　 　
【答案】
【解析】【解答】解：当时，，
解得，，
∴．
当时，，
∴．
设一次函数解析式为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征求出B，C的坐标，设一次函数解析式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
14．（2023九上·盘龙期中）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，设参加酒会的人数为x人，则可列出方程　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意可得，
故答案为：．
【分析】每一人可和人碰杯，由于两人相互碰杯算一次，最后乘以去掉重复次数即可．
15．（2023九上·宜州期中）函数y＝x2-2ax-2在-1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　 　．
【答案】-1或
【解析】【解答】解：二次函数y＝x2-2ax-2的对称轴为x＝-＝a，
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤-1时，
在-1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y取得最大值，最大值为4-4a-2＝2-4a，
∴2-4a＝6，
解得：a＝-1，符合题设；
（2）当-1＜a＜2时，
在-1≤x≤2内，当-1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，
则当x＝-1或x＝2时，y取得最大值，
因此有1+2a-2＝6或22-4a-2＝6，
解得：a＝或a＝-1 （均不符题设，舍去）；
（3）当a≥2时，
在-1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x＝-1时，y取得最大值，最大值为1+2a-2＝2a-1，
因此有2a-1＝6，解得a＝，符合题设；
综上，a＝-1或a＝．
故答案为：-1或．
【分析】先求出而二次函数的对称轴，再分a≤-1，-116．（2024九上·香洲期中）如图，在正方形中，，为边上一点，点在边上，且，将点绕着点顺时针旋转得到点，连接，则的长的最小值为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
，
四边形是正方形，，
，，
，，
∵将点绕着点顺时针旋转得到点，
∴由旋转的性质可得：，，
∴，
，
在和中，
，
，
∵，
，
点在与平行且与的距离为的直线上，
根据垂线段最短可知，当点在边上时，最小且，
的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点作于，可得，根据正方形的性质可得，，从而得，由旋转的性质可得，，进而可得，证出，根据全等三角形对应边相等的性质得，由此可知，点在与平行且与的距离为的直线上，最后由垂线段最短可知，当点在边上时最小，求出的值，即可得到答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2023九上·武汉期中）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝（1﹣x）2．
【答案】（1）解：
（x+2）2＝5，
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣
（2）解：
∴.
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程的步骤，即可求解.
（2）计算得到原方程为，然后利用十字相乘法即可求解.
18．（2024九上·中山期中）已知抛物线过点和．
（1）试确定抛物线的解析式；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；

（2）解：在中，当时，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即将点和代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征，令y=0，代入解析式，解方程即可求出答案.
（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，解得或，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和．
19．（2024九上·海淀期中）学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建．
（1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米；
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由．
【答案】（1）10
（2）解：设小路的宽为a米，
根据题意得，．
整理得；，
解得：（舍去），．
答：小路的宽为1米．
【解析】【解答】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，
根据题意得：．
解得：，
答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米；
【分析】（1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（2）设小路的宽为a米，根据题意建立方程，解不等式即可求出答案.
（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，
根据题意得：．
解得：，
答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米；
（2）解：设小路的宽为a米，
根据题意得，．
整理得；，
解得：（舍去），．
答：小路的宽为1米．
20．（2024九上·越秀期中）某公司研发了一款新型玩具，成本为每个50元，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于70%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）（x为整数）符合一次函数关系，如图所示
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】解：（1）设y=kx+b（k≠0，b为常数）将点（60，140），（70，120）代入得：
，解得，
∴y与x的函数关系式为：y=-2x+260，
解不等式组，
得：且x为整数；
（2）由题意得：，
化简得：x2-180x+8000=0，
解得：x1=80，x2=100，
∵=85，
∴x2=100＞85（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得，
，
=-2x2+360x-13000
=-2(x-90)2+3200
∵a=-2＜0，抛物线开口向下，
∴w有最大值，
∵，
∴当x=85时，w最大值=3150，
答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元.
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息，由待定系数法可得函数的解析式，进而结合“ 销售单价不低于成本，销售利润率不高于70%及x代表玩具的个数 ”得出自变量的取值范围；（2）根据利润等于每件的利润乘以每天的销售量，列方程求解并检验即可；
（3）设每天获得的利润为w元，根据利润等于每件的利润乘以每天的销售量列出w关于x的函数解析式，进而根据所得函数性质并结合x的取值范围求出其最大值即可.
21．（2024九上·宁波期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该图象与x轴的另一个交点坐标；
（3）观察图象，当时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线解析式为，
将，代入得：，
解得，
∴二次函数的解析式为：
（2）解：把代入得：，
解得：或，
∴该图象与x轴的另一个交点坐标为
（3）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为或，
∴由函数图象得：当时，自变量x的取值范围是
【解析】【分析】（1）由对称轴为直线，可设抛物线解析式为，再用待定系数法即可求解；
（2）由题意，把y=0代入（1）中的解析式可得关于x的一元一次方程，解方程即可求解；
（3）由y＞0可知，自变量的取值范围就是抛物线在x轴上方的图象所对应的x的值，结合抛物线与x轴的交点坐标即可求解．
（1）解：设抛物线解析式为，
将，代入得：，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：把代入得：，
解得：或，
∴该图象与x轴的另一个交点坐标为；
（3）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为或，
∴由函数图象得：当时，自变量x的取值范围是．
22．（2024九上·鹤山期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
与D ；B 与；与F ；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 ；
（2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
【答案】（1）；；；互为相反数
（2）解：由（1）得与关于原点 对称，
∴点与点关于原点 对称，
，，
．
【解析】解：（1）由图可知：，
∵ 点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点且，，，
对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数，
∴与关于原点 对称，
根据关于原点对称的点的坐标特点可得：，，， 对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数.
故答案为：；；；互为相反数.
【分析】（1）根据，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点且，，，得与关于原点 对称即可求解.
（2）根据（1）得与关于原点 对称，由点与点关于原点 对称得，，求出 a，b的值 即可.
（1）解：由图可知，，
，，，
对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数．
故答案为：，，，互为相反数；
（2）由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数，
∵点与点也是通过上述变换得到的对应点，
，，
．
23．（2024九上·庆云期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】（1）解：设二次函数的解析式为，
∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵点B平移后的点的坐标为，
∴，
解得：或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
【解析】【分析】（1）先根据对称轴设出二次函数关系式，再将A点坐标代入求出二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，可得到关于m的方程求解；
（3）分""，""，“”，分别建立方程求解，求出n的 取值范围 ．
（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
24．（2024九上·瑞安期中）如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，．
（1）求该抛物线表达式．
（2）若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由．
（3）记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值．
【答案】（1）解：由题意，得，解得．把点代入，得．
∴抛物线表达式为
（2）解：∵点，均在抛物线上，∴，，
，
又，
∴，
解得，或．
，
，
（3）解：设直线表达式为，把，代入，得：
，
解得，，
所以，直线表达式为，
点C在边上运动，
∴设．
∵点C在直线上，
，化简，得，
．
即．
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当时，
【解析】【分析】（1）利用二次函数的对称轴可求出b的值，再将点A的坐标代入函数解析式，可求出c的值，即可顶点二次函数解析式.
（2）分别把，代入可得到y1、y2的值，根据，可得到关于x1的方程，解方程求出符合题意的x1的值，据此可得到，的大小.
（3）利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，由点在上得，代入可得到t关于xB的函数解析式，利用二次函数的性质可求出t的最大值.
（1）解：由题意，得，解得．
把点代入，得．
∴抛物线表达式为．
（2）解：∵点，均在抛物线上，
∴，，
，
又，
∴，
解得，或．
，
，
．
（3）解：设直线表达式为，
把，代入，得：
，
解得，，
所以，直线表达式为，
点C在边上运动，
∴设．
∵点C在直线上，
，化简，得，
．
即．
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当时，．
25．（2024九上·佛山期中）如图，在直角三角形中，，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线运动，点Q沿边的延长线运动，与直线相交于点D．设P点运动时间为t，的面积为S．
（1）填空： ； ；
（2）当点P运动几秒时，和面积相等？
（3）作于点E，当点P，Q运动时，线段的长度是否改变？若不变，请直接写出线段的长度；若改变，请说明理由．
【答案】（1）t，或
（2），，
∴当和面积相等，则，
∴有以下两种情况：
①当时，则，
整理得：，
∵该方程根的判别式：，
∴该方程无解，
即此时不存在和面积相等；
②当时，则，
整理得：，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴当点P运动秒时，和面积相等；
（3）线段的长度不改变，始终等于
【解析】【解答】解：（1）∵点点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，运动时间为t，，
∴有以下两种情况：
①当时，点P在线端上，此时，；
②当时，点P在的延长线上，此时，，
综上所述：，或，
故答案为：t，或；
（3）当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于，理由如下：
∵在直角三角形中，，
∴，
由勾股定理得：，
过点Q作交的延长线于M，连接，，
则，
分两种情况讨论如下：
①当时，点P在线段上，如图1所示：
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
②当时，点P在的延长线上，如图2所示：
同理：，，
∴，，，
∴，
∴，
综上所述：当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于．
故答案为：线段的长度不改变，始终等于
【分析】
（1）依题意分两种情况：①当时，点P在线端上，此时，；②当时，点在的延长线上，此时，，综上所述即可得出答案，解答即可；
（2）根据，，得当和面积相等，则
，分两种情况进行讨论：①当时，则，②当时，则，由此得出的值即可解答；
（3）依题意得，，过点Q作交的延长线于M，连接，，分两种情况讨论如下：①当时，点P在线段上，先证明，得，，则，，再证明，得；②当时，点在的延长线上，同理可得，综上所述即可得出答案．
（1）解：∵点点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以秒的相同速度做直线运动，运动时间为t，，
∴有以下两种情况：
①当时，点P在线端上，此时，；
②当时，点P在的延长线上，此时，，
综上所述：，或，
故答案为：t，或；
（2），，
∴当和面积相等，则，
∴有以下两种情况：
①当时，则，
整理得：，
∵该方程根的判别式：，
∴该方程无解，
即此时不存在和面积相等；
②当时，则，
整理得：，
解得：，或（不合题意，舍去），
∴当点P运动秒时，和面积相等；
（3）当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于，理由如下：
∵在直角三角形中，，
∴，
由勾股定理得：，
过点Q作交的延长线于M，连接，，
则，
分两种情况讨论如下：
①当时，点P在线段上，如图1所示：
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
②当时，点P在的延长线上，如图2所示：
同理：，，
∴，，，
∴，
∴，
综上所述：当点P，Q运动时，线段的长度不改变，始终等于．
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