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莆田十五中2025-2026上学期高三数学第二次月考
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 设，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 函数 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数，若不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )
A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第二象限角
B. 若锐角，则为钝角
C. 若，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
10. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数
C. D.
11 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 的对称中心为
C. 过点作曲线的切线有三条
D. 若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点是角α的终边上一点，则_____．
13. 已知实数，满足，则的值为________．
14. 已知函数，且关于的不等式的解集为．当时，恒成立，则实数k的取值范围是________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（6+7=13分）已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围．
16. （7+8=15）记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c ，且 asinC = c (1+ cosA) ．
（1）求 A ；
（2）若a = 2 ， △ABC 的周长为6 ，求△ABC 的面积．
17.（7+8=15分）如图，在直三棱柱中，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值．
18.（7+10=17） 已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）证明：函数有两个零点．
19.（8+9=17） 19．设函数．
(1)当时，恒成立，求k的最大值；
(2)设数列的通项，证明：．
莆田十五中2025-2026上学期高三数学第二次月考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A D A C B ACD BC
题号 11
答案 AB
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．
【详解】因为，所以，
即或者，解之可得或或，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。
所以实数a的个数为2个.
故选：B
2. 设，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】当时，选项A错误；
当时，选项B错误；
当时，选项C错误；
∵函数在上单调递增，
∴当时，．
本题选择D选项.
点睛：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，根据集合间的包含关系可得.
【详解】解不等式得，，记；
解不等式得，，记.
因为，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 函数 的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，可得，函数为奇函数，排除B、D项，再由，排除C项，即可得到答案.
【详解】由函数，定义域为，
有，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除B、D项；
又由，可排除C项，
所以函数的图象为选项A.
故选：A.
5.若，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】利用“乘1法”即得.
【详解】因为，所以，
∴
，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为1.
故选：D.
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.
【详解】由对数函数的图像与性质可得
，
，
，
所以，
故选：A.
7. 已知函数，若不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】分析的奇偶性与单调性,再求解不等式即可.
【详解】,故.故为奇函数.
又函数为增函数,故为减函数,故为增函数.
故
即,解得
故选：C
8. 已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　 )
A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)
【答案】B
【解析】
【详解】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个变号零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，）．
故选B．
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第二象限角
B. 若为锐角，则为钝角
C. 若，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接利用象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式的应用判断、、、的结论．
【详解】解：对于：因为所以与的终边相同，而为第二象限角，所以为第二象限角，故正确；
对于：若为锐角，则为锐角、直角或钝角，故错误；
对于：若，则，故正确；
对于：若圆心角为的扇形的弧长为，利用，解得，
故该扇形的面积为，故正确．
故选：．
10. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误.
【详解】对于A，由题意，，且，
又，即①，
用替换中的，得②，
由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误；
对于B，由，可得，即，
所以，
所以是以8为周期的周期函数，故B正确；
对于C，由①可得，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，为偶函数，所以，
令，则有，
令，则有，
令，则有，
，
令，则有，
所以
，故D错误.
故选：BC.
11 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 的对称中心为
C. 过点作曲线的切线有三条
D. 若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间
【答案】AB
【解析】
【分析】求得，利用导数求得函数的单调区间，结合极值点的概念，可得判定A正确；根据为奇函数，结合函数的图象变换，可得判定B正确；作出的大致图象，结合函数的性质，可判定C错误；根据函数的单调性，结合图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】对于A中，由函数，可得，令，可得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在处取极大值，在处取极小值，所以 A正确；
对于B中，因为函数为奇函数，关于对称，
所以函数关于中心对称，所以B正确；
对于C中，作出的大致图象，如图所示，
当时，为上凸函数，在拐点处的切线为，
它与恰交于；
当时，为上凹函数，，
过只能作的两条切线，所以C错误；
对于D中，由A知函数在上单调递增；上单调递减；
要使有零点，则只需，解得，
当时，大致图象如下
可得有一个零点之间，但另一零点，所以D错误
故选：AB．
三、填空题
12. 已知点是角α的终边上一点，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的值，再根据三角函数的定义计算即得.
【详解】点即，
依题意，.
故答案为:.
13. 已知实数，满足，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】通过指对互化，结合对数换底公式完成计算.
【详解】因为，所以，
所以，
故答案为：.
14. 已知函数，且关于的不等式的解集为．当时，恒成立，则实数k的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据韦达定理求，再根据根据参变分离，转化为最值问题，求实数的取值范围.
【详解】由题意可知，的解集为，
则方程根为1和4，所以，即，
即，
所以，恒成立，
即，，
当时，单调递减，，
所以.
故答案为：
四、解答题
15. （6+7=13） 已知函数．
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上单调递增，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值；
（2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
【小问1详解】
当时，，
对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为，
因为内层函数的减区间为，增区间为，
外层函数为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为，
故.
【小问2详解】
令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增，
则内层函数在上为增函数，且，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
16.（7+8=15） 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c ，且 asinC = c (1+ cosA) ．
（1）求 A ；
（2）若a = 2 ， △ABC 的周长为6 ，求△ABC 的面积．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求解角A；
（2）先根据周长求出b+c的值，再利用余弦定理求出bc的值，最后根据三角形面积公式求解..
【小问1详解】
解：利用正弦定理化简已知条件
已知
由正弦定理得
又 ，sinC≠0，得
由辅助角公式，即·
因为A∈(0,π)，可得A
解得
【小问2详解】
解：由(1)得·
由a=2, ΔABC的周长为6，得b+c=4.
由
所以 即
故bc=4,
所以
17. （7+8=15分）如图，在直三棱柱中，，．
(1)求证：平面；
(2)求直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析； (2).
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，再根据线面垂直判定定理证明线面垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）由题意以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，
则，
所以，
所以，
所以，即，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，所以，
记直线与所成角为，则
，
故直线与所成角的余弦值为.
18. （7+10=17）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）证明：函数有两个零点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；
（2）利用转化的思想将原问题转化为函数有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理即可证明.
【小问1详解】
由题意可得，由切线方程可知其斜率为，
所以，解得；
【小问2详解】
由可得，所以．
函数有两个零点即函数有两个零点．
，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
又，，0，
所以，．
由零点存在定理可得使得，使得，
所以函数有两个零点．
19.（8+9=17） 19．设函数．
(1)当时，恒成立，求k的最大值；
(2)设数列的通项，证明：．
【答案】（1）,最大值为2.
（2）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
求导得，
①当时，由得，
令，则，
所以在上单调递增，所以，即
所以在上单调递增，又，因此恒成立；
②当时，令，
则，当，得，
所以在上，，单调递减，又，所以，
即，所以在上单调递减，又，所以当时，不满足要求．
综上，,最大值为2.
【小问2详解】
由
，
要证，即证，
即证明：．
由（1），即，
取（），得，
所以，
累加得：，所以．
时，
成立
由在定义域内单调递增得，，即成立．

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