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(共56张PPT)
2.1　轴对称及其性质
第二章　轴对称
1.经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称性质的过程，进一步积累数学活动经验和发展空间观念.
2.理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，能够识别轴对称图形和成轴对称的图形，并能指出它们的对称轴.(重点)
3.掌握轴对称的性质，并能灵活应用进行推理.(重点、难点)
4.能利用轴对称的性质画轴对称图形.(难点)
5.体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值.
学习目标
对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！
观察如图所示的图片：
情境引入
面对生活中这些美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边！这是一种怎样的美呢？请谈谈你的感想.
一、轴对称图形
问题1　观察如图所示的几组图，它们有什么共同特点？
提示　都具有对称性.
定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够_____
_____，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴.
知识梳理
如图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A'重合，称点A关于对称轴的对应点是点A'，类似地，线段AB关于对称轴的对应线段是线段A'B'，∠B关于对称轴的对应角是∠B'.
互相
重合
注意点：(1)判断一个图形是不是轴对称图形，一是找直线；二是看折叠后能否完全重合.
(2)一个轴对称图形可能有一条对称轴，也可能有两条或更多.
(3)对称轴是直线，不能说成是线段或射线.
图示是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是
例1
√
解析　选项A，B，D的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形；
选项C的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形.
要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.
反思感悟
如图所示的四个图形中，其中不是轴对称图形的是
跟踪训练1
√
解析　选项A，C，D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为
A.1 B.2
C.3 D.4
例2
√
常见的轴对称图形有角、直线、线段、等腰三角形、长方形、正多边形、圆等. 其中正n边形有n条对称轴，圆有无数条对称轴.
反思感悟
(1)如图所示的图形都是轴对称图形，对称轴最多的是
跟踪训练2
√
解析　A选项中，该图形的对称轴有6条；
B选项中，该图形的对称轴有2条；
C选项中，该图形的对称轴有1条；
D选项中，该图形的对称轴有1条.
(2)观察如图所示的图形，哪些图形是轴对称图形？如果是轴对称图形，请找出它的对称轴.
解　自左至右第1，2，3，5，6个图形是轴对称图形，每个图形的对称轴分别有1条、2条、1条、6条、4条，画图略.
二、两个图形成轴对称
问题2　观察图中的每组图案，你发现了什么？
提示　每组图案中的两个图形沿着一条直线折叠后它们能够完全重合.
1.两个图形成轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形 ，这条直线叫作这两个图形的对称轴.
知识梳理
成轴对称
2.两个图形成轴对称和轴对称图形的区别与联系
名称 关系 两个图形成轴对称 轴对称图形
区别 对象不同 两个图形 一个图形
意义不同 两个图形的特殊位置关系 一个具有特殊形状的图形
对称点位置不同 对称点分别在两个图形上 对称点在同一个图形上
对称轴位置不同 在两个图形之间 一定经过这个图形
对称轴数量不同 只有一条对称轴 可能不止一条
联系 (1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠. (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称
如图所示的四组图案中，左右两个图形成轴对称的是
例3
√
如图所示，哪一组的右边图形与左边图形成轴对称？
跟踪训练3
解　根据两个图形成轴对称的定义，经过翻折，看两个图形能否完全重合，若能重合，则两个图形成轴对称，④⑤⑥的右边图形与左边图形成轴对称.
三、轴对称的性质
问题3　观察如图所示的轴对称图形：
(1)找出它的对称轴及其成轴对称的两个部分；
提示　它的对称轴为穿过机身的虚线，位于虚线两侧的部分为成轴对称的两个部分.
(2)连接点A与点A'的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B'的线段呢？
提示　线段AA'和线段BB'都被对称轴垂直平分.
(3)线段AD与线段A'D'有什么关系？线段BC与线段B'C'呢？为什么？
提示　AD＝A'D'，BC＝B'C'.理由：因为它们沿对称轴折叠后能够重合.
(4)∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由.
提示　∠1＝∠2，∠3＝∠4.理由：因为它们沿对称轴折叠后能够重合.
问题4　如图，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出数字“14”，再将纸打开后铺平.
提示　两个“14”成轴对称.
在铺平的图中：
(1)两个“14”之间有什么关系？
(2)对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的线段与对称轴l之间有什么关系？请举例说明，并与同伴进行交流.
提示　略.
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴_________，对应线段_____，对应角_____.
知识梳理
垂直平分
相等
相等
如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，其中∠C＝90°，AC＝8 cm，DE＝10 cm，BC＝6 cm.
(1)线段AD与MN的关系是什么？
例4
解　∵△ABC与△DEF关于直线MN对称，
∴MN垂直平分AD.
(2)求∠F的度数；
解　∵△ABC与△DEF关于直线MN对称，
∴∠F＝∠C＝90°.
(3)求△ABC的周长和△DEF的面积.
解　∵AC＝8 cm，DE＝10 cm，BC＝6 cm，
∴AB＝DE＝10 cm，
EF＝BC＝6 cm，DF＝AC＝8 cm，
∴△ABC的周长为6＋8＋10＝24(cm)，
△DEF的面积为×6×8＝24(cm2).
轴对称其实就是一种全等变换，所以轴对称往往和三角形的内角和、三角形全等等知识综合考查.
反思感悟
(1)如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是
A.130° B.150°
C.40° D.65°
跟踪训练4
√
解析　∵这种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，
其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，
∴∠D＝40°，
∴∠BCD＝360°－150°－40°－40°＝130°.
(2)如图，△ABC和△AB'C'关于直线l对称，下列结论中：
①△ABC≌△AB'C'；
②∠BAC'＝∠B'AC；
③l垂直平分CC'；
④直线BC和B'C'的交点不一定在l上.
正确的有
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
√
解析　∵△ABC和△AB'C'关于直线l对称，
∴△ABC≌△AB'C'，故①正确；
∴∠BAC＝∠B'AC'，
∴∠BAC＋∠CAC'＝∠B'AC'＋∠CAC'，
即∠BAC'＝∠B'AC，故②正确；
l垂直平分CC'，故③正确；
直线BC和B'C'的交点一定在l上，故④错误.
综上所述，结论正确的是①②③，共3个.
四、画轴对称图形
(课本P46例1)如图是一个轴对称图形的一半，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半.
例5
解　如图，延长AO至A'，使OA'＝OA；延长BN至B'，使NB'＝NB；依次连接MA'，MB'，A'B'，A'P，B'P.这样画出的图形就是这个图形的另一半.
我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可得到.
反思感悟
(1)如图，以直线l为对称轴在网格中画出图形的另一半.
跟踪训练5
解　所作图形如图所示.
(2)画出图中的△ABC关于直线l的对称图形.
解　如图，△A'B'C'就是△ABC关于直线l的对称图形.
1.轴对称图形、对称轴.
2.两个图形成轴对称.
3.轴对称的性质.
4.画轴对称图形.
1.在如图所示的绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是
√
2.如图所示的四个图案均由北京2022年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作两个图形成轴对称的是
√
3.下列选项中的图形，能画出对称轴最多的是
解析　A图形中有3条对称轴，即各边的垂直平分线为对称轴；
B图形中有无数条对称轴，即该圆的直径所在的直线为对称轴；
C图形中有2条对称轴，即该矩形对边的中线所在的直线为对称轴；
D图形中有4条对称轴，即该正方形对边的中线和对角线所在的直线为对称轴.
√
4.如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为
A.30° B.50°
C.90° D.100°
√
解析　∵△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，
∴∠C＝∠C'＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝90°.
5.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为
A.4 cm2 B.8 cm2
C.12 cm2 D.16 cm2
√
解析　根据正方形的轴对称的性质可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半.
∵正方形ABCD的边长为4 cm，
∴S阴影＝×42＝8(cm2).
6.小王用电脑设计图案时，先设计图案的一半，如图，然后点击对称键得到整个图案.请你在图中以直线l为对称轴，画出他设计的图案的另一半.
解　如图所示.
7.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，
(1)点A的对应点为　　　　，∠B的对应角为　　　　；
解　点A的对应点为点D，
∠B的对应角为∠E.
(2)若AB＝4，AC＝5，求EF的取值范围.
解　∵AB＝4，AC＝5，∴1∵△ABC与△DEF关于直线l对称，
∴EF＝BC，∴1本课结束

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