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广东省东莞市 2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）
A． B．
C． D．
5．若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．若是方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
8．对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无实数根
9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
10．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m．
A．6 B．45 C．35 D．25
二、填空题
11．一元二次方程的解是 ．
12．函数中，自变量的取值范围是 ．
13．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为 ．
14．已知二次函数，若点，均在该二次函数图像上，则 ．
15．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
三、解答题
16．解方程：
(1)．
(2)．
17．若关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
18．如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求抛物线的解析式及其顶点坐标；
(2)判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若点在二次函数图像上，求出的面积；
19．综合与实践
【问题情景】：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的（ ）经过折叠能围成无盖正方体纸盒；
A． B． C． D．
(2)如图1，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是_____；
(3)如图2，有一张边长分别为的矩形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．若要折成的无盖长方体纸盒底面积为，求将要剪去的正方形的边长．
20．已知二次函数．
(1)请直接写出该二次函数的顶点式：_____；对称轴_____；
(2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图像（填列表）；
… 0 …
… …
(3)根据图像回答问题：当时，的取值范围是_____．
21．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于55元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于1600元，则每天的销售量最少应为多少件？
22．随着生活水平发展，小车已进入千家万户．洗车时喷水器喷出的水抽象而成抛物线，如图，抛物线是某喷水器喷出的水抽象而成（AB是最近点，是最远点），抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，且点均在坐标轴上．
(1)若，求抛物线表达式，并指出的取值范围；
(2)求抛物线表达式并指出的取值范围；
(3)在条件（1）下，要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为米，的取值范围_____（直接写出结果）．
23．阅读材料：若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
(1)求“快乐方程”的“快乐数”的值；
(2)若关于的一元二次方程是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程与（m、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
参考答案
1．D
A．，最高次是3次，不是一元二次方程，不符合题意；
B．，有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C．，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D．，是一元二次方程，符合题意．
故选：D．
2．A
解：抛物线的顶点坐标
故选：A.
3．B
解：由题意得：；
故选：B．
4．A
解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选A．
5．B
解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∵点，，都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选：B．
6．D
解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
7．D
解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，
∴
故选：D．
8．C
解：由题意得：，
整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
9．A
解：由题意得：
对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为，
故C错误，不符合题意；
A．由抛物线的图象得，顶点坐标为，且，所以一次函数交y轴于正半轴，且经过第一、二、四象限，故此项符合题意；
B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意；
D．由一次函数图象得，，则由抛物线的顶点坐标可知，所以前后矛盾，故此选项不符合题意；
故选：A．
10．B
解：根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，
当时，
故选：B
11．x1＝3，x2＝﹣3．
【详解】∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
12．
解：∵函数有意义，
∴自变量的取值范围是，
解得：，
故答案为：．
13．
解：由题意，
将一个根0代入，得
，
解得，
由一元二次方程定义，可知，
解得，
∴，
故答案为：．
14．3
解：∵点，均在该二次函数图像上，
∴对称轴为直线
∴
解得：，
故答案为：．
15．2或3
解：设运动时间为t 秒，则，，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴2或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
16．(1)
(2)
（1）解：，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
解得：．
17．(1)
(2)
（1）解：根据题意，得，
解得：；
（2）由根与系数的关系可知，
，
，
整理，得，
，
又，
，
18．(1)，顶点
(2)在该二次函数的图象上，理由见解析；的面积为
（1）解：依题意， 设抛物线，
代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为；
（2）在该二次函数的图象上，理由如下，
当时，，
∴在该二次函数的图象上，
∵
∴
∴
19．(1)C
(2)士
(3)要剪去的小正方形的边长为
（1）解：由正方体展开图的几种形状知，只有C中形状可以折叠围成无盖正方体，其它均不能；
故选：C．
（2）解：与“小”字相对的字是“士”．
答案为：士．
（3）解：设正方形的边长为，
则，解得，（不合题意舍去）．
答：要剪去的小正方形的边长为．
20．(1)；
(2)填表见解析，画图见解析
(3)
（1）解：
∴该二次函数的顶点式为，关于直线对称.
（2）解：填表如下：
… 0 …
… 3 0 0 3 …
画图如下：
（3）解：由图像得：对称轴在的范围之内，
∴当时，是最小值，
∵抛物线开口向上，范围的这个端点离对称轴更远，
∴当时，是最大值，
∴当时，的取值范围为.
21．(1)
(2)销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1750元
(3)每天的销售量最少应为40件
【详解】（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：
，
解得：，
故函数的表达式为：．
（2）由题意得：，
∵，故当时，w随x的增大而增大，而，
∴当时，w有最大值，此时，，
故销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1750元．
（3）由题意得：，
解得：，，
当时，（件）．
当时，（件）．
答：每天的销售量最少为40件．
22．(1)
(2)
(3)
（1）解：把代入，得：
把代入，
解得，
抛物线表达式：，
当时，即，
解得：，
，
抛物线表达式：；
（2）设抛物线由抛物线向左平移个单位得到，
将代入，得，
解得：（舍去），
抛物线是由抛物线向左平移4米得到的，
把代入，得：
解得（舍去），
，
抛物线表达式为：
（3）由（1）得，把代入，
得（舍去），
，
，
；
23．(1)-4
(2)3，
(3)或3
（1）解：方程：的“快乐数”
（2）方程，
，即：，
或36，
（舍去），
方程变为：，
则，
故其“快乐数”是；
（3）解：，
∴，
设，
则，
又与同奇偶，
∴或或或
解得或，
方程变为：或；
当时，，
解得：或（不合题意），
当时，，
解得，
故：或3．

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