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吉林省长春市第六中学2025-2026学年高一上学期第一学程考试数学试卷
一、单选题
1．命题“，有”的否定是（ ）
A．，有 B．，有
C．，有 D．，有
2．，下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设，，若，则实数a的值不可以为（ ）
A． B．0 C．3 D．
6．若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（ ）
A．36 B．4 C．16 D．9
8．已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．
B．所有的素数都是奇数
C．集合与集合是相同的集合
D．
10．下列命题正确的是（ ）
A．当时，的最小值为5
B．若不等式的解集是或，则的值分别是-2，-12
C．不等式的解集为或
D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
11．下列命题中是真命题的是（ ）
A．若，则
B．，当时，
C．不等式成立的一个充分不必要条件是或
D．函数的最小值为3
三、填空题
12．已知集合，且，则实数的值为 .
13．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有16人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有 人？
14．已知集合，.若，则的取值范围是 .
四、解答题
15．设全集为R，集合，．
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数a的取值范围．
16．（1）设，已知集合，.设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围.
（2）命题且，命题，若与不同时为真命题，求的取值范围.
17．已知关于的不等式的解集为或.
(1)求，的值；
(2)当，，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
18．某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）
(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．
(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：
①年平均利润最大时，以万元转让该项目；
②纯利润最大时，以万元转让该项目．
你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．
19．已知关于的不等式的解集为．
(1)求关于的不等式的解集；
(2)若关于的不等式有且仅有6个整数解，求的取值范围．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A C B D B AD AB
题号 11
答案 ACD
1．C
根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”.
故选：C.
2．B
根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.
【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误；
对于B，因为，故，故B成立，
对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误；
故选：B.
3．A
由Venn图确定集合的表示，然后计算可得.
【详解】图中阴影部分表示的集合为，
由，，得或，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
4．A
根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
【详解】由，解得，
因为，
故“”是“”的必要不充分条件．
故选：A．
5．C
先求出集合，再结合题目条件，分两种情况讨论，即可确定实数的值.
【详解】由题，得，
因为，所以，
当时，无解，此时，满足题意；
当时，得，所以或，解得或，
综上，实数的值可以为，不可以为.
故选：C
6．B
由题可知方程有实数解，即求.
【详解】由题知方程有实数解，
∴，
解得，
故选：B.
7．D
根据题意得到，进而通过基本不等式求得答案.
【详解】由题意，，，所以，当且仅当时取“=”.
故选：D.
8．B
【解析】由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
9．AD
【详解】对选项A，，所以，故A正确.
对选项B，2是素数，但2不是奇数，故 B错误.
对选项C，，，故C错误.
对选项D，，所以，故D正确.
故选：AD
10．AB
【详解】选项 A ：设，由，得，
函数化为
由基本不等式，有：
当且仅当时取等，即，解得（取正根）。
此时，当时取等，即.故选项A正确；
选项 B：解为 或 表示二次函数 开口向上（二次系数 2 > 0），
且零点为 和 .
因此，二次方程 的根为 和 ，
将函数写为 ，
比较系数，得 ，.故选项B正确；
选项 C：先移项：，
通分得：，
解为 .故选项C错误；
选项 D ：当 即 时，函数为 ，恒成立，
当 时，为二次函数，恒小于零，
需：，
解得： ，
综上：.故选项D错误.
故选：AB
11．ACD
分别对每个选项进行分析判断，根据不等式的性质、充分不必要条件的定义以及函数最值的求解方法来确定每个命题的真假.
【详解】对A，由知，结合得，A选项正确；
对B，因为，由，故，，B选项错误；
对C，不等式的解集为，条件是其真子集，C选项正确；
对D，由题可得，由，得，根据均值不等式，，当且仅当即时取等号，所以，最小值为，D选项正确.
故选：ACD.
12．3
【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；
若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，
所以.
故答案为：3.
13．4
【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，
如图，，解得，
所以同时参加田径比赛和球类比赛的有4人．
故答案为：4

14．
根据给定条件，求出交集为空集的范围，再取其补集即得.
【详解】集合，，由，
得或或，
解得或或，即或，
则当时，，所以的取值范围是.
故答案为：
15．(1)，或或；
(2).
（1）应用集合交并补运算求集合；
（2）根据题设有且集合非空，进而列不等式组求参数范围.
【详解】（1）由题设，且或，
所以或或.
（2）由题意，显然集合非空，
所以，可得.
16．（1）；（2）或
（1）由题意可得，再分及计算即可得；
（2）分别计算出命题、为真命题时的的范围，再分真假、假真与假假计算即可得.
【详解】（1）由是的必要不充分条件，则，
当时，，解得；
当时，有，解得，
且有且不能同时取等，解得，即；
综上所述，；
（2）若为真命题，则由可得；
若为真命题，则，解得；
由与不同时为真命题，
则当真假时，有；
当假真时，有；
当假假时，有；
综上所述：的取值范围为或.
17．(1)，；
(2)
（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，由韦达定理即可求解.
（2）利用不等式的乘“1”法求解最值，即可由一元二次不等式求解.
【详解】（1）不等式的解集为或
和是方程的两个实数根且
，解得
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当时，等号成立，
依题意有，即，
得，解得，
的取值范围为
18．(1)，从第年起开始盈利
(2)选择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析
（1）根据题意可得表达式，令，解不等式即可；
（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.
【详解】（1）由题意可知，
令，得，解得，
所以从第年起开始盈利；
（2）若选择方案①，设年平均利润为万元，则，
当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，
此时该项目共获利（万元）．
若选择方案②，纯利润，
所以当时，取得最大值，此时该项目共获利（万元）．
以上两种方案获利均为万元，但方案①只需年，而方案②需年，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．
19．(1)答案见解析；
(2).
（1）由给定的解集用含的式子表示，再代入分类解一元二次不等式即可.
（2）利用（1）中信息，求出不等式的解集，确定整数解，进而列式求解即得.
【详解】（1）由不等式的解集为，得，且方程的两根分别为和3，
则，得，
不等式等价于，即，
当，即时，解得；当，即时，原不等式无解；
当，即时，解得，
所以当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
（2）由（1）知，不等式等价于，
即，解得，
因为关于的不等式有且仅有6个整数解，
因此，即，解得，
所以的取值范围为.

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