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2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷（三）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分 测试范围：集合逻辑+不等式+函数）
第I部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知a为实数，则“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知实数a，b满足，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．设，记在区间上的最大值为，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
7．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①；②；③；④的定义域是R，值域是；则其中真命题的序号是
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
8．对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．在上单调递减 D．不等式的解集为
10．已知函数，则以下结论正确的是（ ）.
A．函数为增函数
B．，，
C．若在上恒成立，则的最小值为
D．若关于的方程有三个不同的实根，则
11．已知a，，，则（ ）
A．ab的最大值为2 B．的最小值为
C．的最小值为4 D．的最小值为16
第II部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题P：，使得成立，若P是假命题，则k的取值范围是 ．
13．已知函数.若对于任意的实数a，函数的图像都不经过点，则实数 .
14．设，若时均有，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设函数.
(1)若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围；
(2)若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围.
16．（15分）已知某种设备年固定研发成本为40万元，每生产一台需另投入60元.设某公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入为（万元）.已知当年产量小于或等于10万台时，；当年产量超过10万台时，.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；
(2)试分析该公司年利润是否能达到2000万元？若能，求出年产量为多少；若不能，说明理由.（注：利润=销售收入-成本）
17．（15分）已知函数是奇函数，其中．
（1）若在区间上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（2）若不等式的解集为，且，，求a的值．
18．（17分）用表示，中的较小者，记为，已知函数．
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)若，
①求使得成立的的取值范围；
②求在区间上的最大值．
19．（17分）如图1，有一个半径为2的半圆，一个等腰梯形的下底是的直径，上底的端点在圆周上，记线段的长度为x，梯形的周长为y．
(1)写出y与x的函数关系式，并求出周长y的最大值；
(2)当梯形的周长取得最大值时，如图2所示建立平面直角坐标系，记梯形位于直线（）左侧的图形的面积为，请写出函数的解析式．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C C B B D BCD BCD
题号 11
答案 AD
1．C
根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于①：是实数，是实数集，所以，①正确；
对于②：是整数，是整数集，所以，②正确；
对于③：是负整数，是正整数集，所以，③正确；
对于④：是无理数，是有理数集，所以，④错误.
故选：C.
2．A
根据奇函数的定义结合充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由是奇函数，
则，即，
即，
所以，即，
所以“”是“是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．A
利用函数的奇偶性和单调性，即可求解.
【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得，
又由当时，函数为单调递减函数，所以，
所以，
故选：A.
4．C
由题意设，从而求出，从而可得，即可得解.
【详解】由题意设，
则，解得，所以，
因为，，
所以，即，
即的范围是．
故选：C
5．C
令，进而可得的奇偶性和单调性，将不等式转化为，结合单调性可求得其解集.
【详解】因为，，，不妨设，
由可得，
令，则，即函数在上单调递增，
又因为，所以，
所以在上为奇函数，则在上单调递增，
由，可得，
即，所以，解得，
即的解集为.
故选：C.
6．B
设，利用单调性求出的最值，再根据绝对值的意义确定，利用一次函数求解的最小值即可.
【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以是三者中的较大者，如图：
表示的函数图象为图中粗线部分，且，
所以当时，的最小值为.
故选：B.
7．B
【详解】 ；，，所以； ； 的定义域是，值域是 ，所以选B.
8．D
【详解】若函数存在“优美点”，则函数图象上存在关于原点对称的点，
当时，，将其图象关于原点对称，
所得图象的解析式为.
所以只要射线与的图象有公共点即可，
由得，
所以，
由基本不等式可得时等号成立，
所以，即.
故选：D.
9．BCD
由函数关系取可求判断A，取可得的关系，结合奇函数定义判断B，利用单调性定义证明函数在上单调递减，判断C，结合函数性质解不等式判断D.
【详解】因为，
取可得，
所以，A错误；
函数的定义域为，定义域关于原点对称，
由，
用替换可得，，
所以，即，
所以函数为奇函数，B正确；
任取，，
则，
又当时，，且，
所以，故，
所以函数在上单调递减，C正确；
因为，
所以不等式可化为，
所以，又函数在上单调递减，
所以，
所以，所以不等式的解集为，D正确.
故选：BCD.
10．BCD
根据分段函数性质可得分段函数解析式，代入特值可判断A选项；根据函数解析式可判断函数值域，进而判断B、C、D选项；
【详解】当，时，；
当，时，；
依次类推，当，时，；
函数图象如图所示，

对于A，，，不符合增函数定义，A选项错误；
对于B，，，
对于，，不等式恒成立，B选项正确；
对于C，当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，，
因为，则，在上恒成立，
的最小值为，C选项正确；
对于D，由得：，
当时，则，方程无解，不合题意；
当时，则或；
与有且仅有三个不同交点；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；
，解得：；D选项正确；
故选：BCD.
11．AD
A选项由所给等式直接运用基本不等式再解不等式即可判断；B选项利用“1的妙用”求出最小值即可判断；C选项可以通过放缩来判断；D选项利用的完全平方进行配凑，再配方求解最小值即可判断.
【详解】A选项，，解得，当且仅当时等号成立，故A选项正确；
B选项，，
当且仅当时等号成立，故B选项错误；
C选项，，当且仅当时等号成立，
则，故C选项错误；
D选项，，
故当时，的最小值为16，D选项正确；
故选：AD.
12．
由题意得到“，使得恒成立”为真命题，根据的取值分类讨论，即可求得的取值范围.
【详解】因为P是假命题，所以是真命题，即，使得恒成立．
当时，结合二次函数的图象可知不能恒成立；
当时，不等式恒成立；
当时，需使，解得.
综上：可得k的取值范围为．
故答案为：.
13．
把代入函数，整理可得，只需即可.
【详解】把代入函数，
得，
整理可得：，
因为对于任意的实数a，函数的图像都不经过点，
所以，解得：.
故答案为：
14．/0.75
分和两种情况讨论，结合函数图象，列出方程求解，即可确定的取值.
【详解】①当时，，显然不满足题意；
②当时，构造函数，，
它们都经过定点，
考查函数，令，得，所以，
考查函数，显然过点，代入得，
解得，或（舍去），
故答案为：

15．(1)
(2)
（1）将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论即可；
（2）将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答.
【详解】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则符合题意，
当时，取，则成立，即有实数解，于是符合题意，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，
当且仅当，从而得，
综上，，所以实数a的取值范围是.
（2）不等式对于实数时恒成立，即，，
显然，函数在上递增，从而得，
即，解得，所以实数x的取值范围是.
16．(1)
(2)不能，理由见解析
（1）由可得；
（2）当时利用二次函数性质得最大值，当时利用基本不等式求得最大值，比较后得的最大值，从而可得结论．
【详解】（1）
（2）当时，，
（万元）.
当时
，
当且仅当，即时等号成立，
所以（万元）.
因为，
所以当年产量为19万台时，该公司获得的利润最大为1570万元.
因此，该公司年利润不能达到2000万元.
17．（1）；（2）
【详解】（1）是奇函数，
，，，
则，，
在区间上为单调递增函数，
当时，是减函数，不满足，
当时，满足，解得，
综上，a的取值范围为；
（2）由题等价于，即，
不等式的解集为，
是方程的两个正根，
，解得，
，即，
即，整理得，解得或（舍去），
.
18．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为恒成立，即恒成立，
可得恒成立，则，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为，
①若，且，
当时，则，可得，解得；
当时，，可得，
因为，则，
所以无解；
综上所述：的取值范围是；
②由①可知：，且，
当时，则，
可得，所以；
当时，则的对称轴为，
可得为的最大值，且，
令，解得；令，解得；
所以；
综上可知：.
19．(1)，；.
(2)
【详解】（1）由题意可得，过点作于点，连接，
因为半圆的半径为2，线段的长度为x，
则，，，所以，
因此，
所以这个等腰梯形的周长为，其中，
即，；
令，因为，所以，
则，
所以，
当且仅当，即时，取得最大值，
因此梯形周长的最大值为.
（2）由（1）知，当梯形的周长取得最大值时，，
等腰梯形的下底，腰，
等腰梯形的高，
则当时，；
当时，；
当时，；
所以，.

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