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2025-2026学年高一数学上学期期中模拟卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则集合等于（ ）．
A． B． C． D．
2．下列各组函数表示相同函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在R上的函数满足，，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．若函数在区间上为不单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，对任意，当时，，则a的取值范围是（ ）
A．； B．； C．； D．
7．集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域是
B．，
C．对任意恒成立
D．不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
11．下列结论正确的是（ ）
A．糖水加糖更甜可用式子表示，其中
B．若，则
C．当时，
D．当时，的最小值为4
第二部分（非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设，，，则，，的大小关系为 ．（注：用“”将三个数按从小到大的顺序连接）
13．设，则函数的最小值为 .
14．已知函数有最小值，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知．
(1)求证：； (2)若，求证：．
16．（15分）已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)设函数，当时，求的最小值.
17．（15分）已知幂函数的表达式为（为正整数），其图像关于原点成中心对称，且在上是严格增函数．
(1)求的值； (2)求满足的的取值范围．
18．（17分）定义在上的函数满足对任意、，恒有，且不恒为．
(1)求和的值；
(2)试判断的奇偶性，并加以证明；
(3)若当时，为增函数，求满足不等式的的取值范围．
19．（17分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.

（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B C C B B ACD BCD
题号 11
答案 BC
1．B
直接根据集合的交集和并集运算法则计算得到答案.
【详解】，，，
故，.
故选：B.
2．C
根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误；
对于C，函数与的定义域和对应法则都相同，
所以表示相同的函数, 故C正确；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误.
故选：C.
3．D
根据函数的解析式列出使得函数有意义的不等式，即可求得答案.
【详解】要使得函数有意义，
需满足，
即函数的定义域是，
故选：D
4．B
当时，（1）①；当时，（1）②，由此进行计算能求出（1）的值．
【详解】定义在上的函数满足，，
当时，（1），①
当时，（1），②
②①，得（1），解得（1）．
故选：B
5．C
根据条件，利用二次函数的图像与性质即可得到结果.
【详解】因为二次函数的对称轴为，
又函数在区间上为不单调函数，所以，
故选：C.
6．C
根据单调性列不等式求解.
【详解】因为当时，，所以在上是增函数.
所以在上单调递增；在上单调递增，
且当时，，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.
7．B
先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值．
【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为，
当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端，
故的长度的最小值是
故选：B.
8．B
先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解.
【详解】由已知可得集合或,
由解得，，
所以，
因为，所以，则，且小于0，
由中恰有一个整数，所以，
即，也即，解得，
故选：B．
9．ACD
利用一元二次不等式的恒成立问题结合必要不充分条件的定义判断A；由且时，判断B；解不等式结合充分不必要条件的定义判断C；由命题“”是真命题，再由判断D.
【详解】对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确；
对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误；
对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在上恒成立，即，故D正确；
故选：ACD
10．BCD
由狄利克雷函数的定义逐项判断即可；
【详解】对于A选项，函数的值域应为，故A选项错误；
对于B选项，当为有理数时，，，
当为无理数时，，，
所以，，故B选项正确；
对于C选项，为有理数时，为有理数，，
当为无理数时，为无理数，，
所以恒成立，故C选项正确；
对于D选项，若为等腰直角三角形，不妨设角为直角，
则，，的值得可能性只能为，，或，，，
由等腰直角三角形的性质得，所以，这与矛盾，故D选项正确，
故选：BCD.
11．BC
对于A，利用作差法进行检验，可得答案；
对于B，利用基本不等式“1”的妙用，可得答案；
对于C、D，利用基本不等式，可得答案；
【详解】对于A，，当时，显然，所以，故A错误；
对于B， ∵，，，
∴，
当且仅当，即，等号成立，故B正确；
对于C，当时，>0，>0，故，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，，则，
故
当且仅当，即，即时等号成立，取得最大值0，不存在最小值，故D错误；
故选：BC.
12．
根据指数函数与幂函数的单调性比较大小.
【详解】由题知，，已在定义域内单调递减，所以，
因为在定义域内单调递增，所以，所以，所以，
故答案为：.
13．0
由，求出解集，确定函数解析式，即可判断；
【详解】令，解得，
当或，，
所以，
.
故答案为：0
14．
先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围.
【详解】当时， ，此时；
当时，.
①时，为常函数，此时在R上满足函数有最小值为，
②时，函数此时为单调的一次函数，要满足在R上有最小值，
需 解得，
综上，满足题意的实数的取值范围为：.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）应用作差法证明不等式；
（2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以 ，
当且仅当，即，时等号成立．
16．(1)
(2)
（1）根据二次函数，则可设，再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可；
（2）根据（1）中所求的求得，和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，求解的最小值即可.
【详解】（1）解：设，
因为，且，
即，
所以，解得，所以.
（2）解：由题意知，
可得二次函数的对称轴为直线，
①当时，即时，函数在上单调递增，
可得；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，
综上可得，.
17．(1)
(2)
（1）根据单调性得到，，再验证奇偶性得到答案.
（2）根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.
【详解】（1）幂函数（为正整数）的图像关于原点对称，且在R上是严格增函数，
可得，解得，而为正整数，可得，．
若，则的图像不关于原点对称，舍去；
若，则的图像关于原点对称，且在上是严格增函数，成立．
所以．
（2）奇函数在R上单调递增且图像关于原点对称，，
可得，即为，解得．
18．(1)，
(2)为偶函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）令，得，所以，，
令，得，解得.
（2）为偶函数，证明如下：
令，由得，
因为，所以，，
又不恒为，函数为偶函数.
（3）由知，
又因为函数为偶函数，则，
所以，
又因为函数在上为增函数，所以，解得且，
故的取值范围为.
19．（Ⅰ）y=225x+
（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【详解】（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
考点：函数模型的选择与应用

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