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17.2用公式法分解因式（二阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．计算：502-100×48+482等于(　　)
A．24 B．4 C．36 D．-2
2．对于非零的两个实数a，b，规定a b=a3-ab，那么将a 16的结果进行因式分解的结果是(　　)
A．a(a+2)(a-2) B．a(a+4)(a-4) C．(a+4)(a-4) D．a(a2+4)
3．下列因式分解的结果中不含因式(a+1)的是(　　)
A．3a2-3 B．a2b+ab
C．a2+a-2 D．(a+3)2-4(a+3)+4
4．若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（　　）个
A．2 B．4 C．6 D．8
5．若多项式x2-kx+36能因式分解为(x-a)2，则k的值是(　　)
A．±12 B．12 C．±6 D．6
6．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： 分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．我爱学 B．爱新化 C．我爱新化 D．新化数学
7．（2021八上·东平月考）若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．40
8．（2024八上·献县期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
二、填空题
9．分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+x(x+5)=　 　.
10．因式分解：
（1）　 　
（2）　 　．
11．（2020八上·科尔沁期末）分解因式 　 　．
12．（2024八上·柳州期末）已知，，则代数式的值为　 　．
13．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的
因式分解过程：　 　.
14．（2021八上·芜湖期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
三、解答题
15．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）观察图①、图②，当用不同的方法表示图中阴影部分的面积时，可以得出一个因式分解的等式，则这个等式是　 　；
（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中得到的等式求a，b的值.
16．有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如 请利用分组分解法解决下列问题：
（1）分解因式： 　 　.
（2）已知a，b，c分别是 的三边长，若 试判断 的形状，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 502-100×48+482=(50-48)2=4，
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式分解因式计算解答即可.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
-4).
故选：B.
【分析】根据新定义运算法则得到 先提取公因式a，然后由平方差公式进行因式分解.
3．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，因式分解的结果中含因式(a+1)，故此选项不合题意；
ab(a+1)，因式分解的结果中含因式(a+1)，故此选项不合题意；
，因式分解的结果中不含因式(a+1)，故此选项符合题意；
D.(a+ 因式分解的结果中含因式(a+1)，故此选项不合题意.
故选： C.
【分析】把各项多项式因式分解，然后逐项判断解答即可.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：根据“十字相乘法”得，
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
∴的值一共有6个，
故选：C．
【分析】十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，根据“十字相乘法”对一些特殊的多项式因式分解，是一种十分快捷简便的方法.
5．【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵多项式 能因式分解为
当a=6时，
当a=-6时，
故选：A.
【分析】根据完全平方公式计算解答即可.
6．【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
=3(x+1)(x-1)(a-b)，
1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，
故选： C.
【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案.
7．【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】∵长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，
∴，，
∴，
则．
故答案为：C．
【分析】根据长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，得出，，可求出a+b的值，再代入求解即可。
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积
，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故答案为：B．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+x(x+5)
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+x2+5x
=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+（x2+5x）
=（x2+5x）2+11（x2+5x）+24
=
故答案为： .
【分析】首先把(x+1)(x+4)和（x+2)(x+3)组合相乘，得出（x2+5x+4）（x2+5x+6）+（x2+5x），再把（x2+5x）看成一个整体，进行乘法运算，得出（x2+5x）2+11（x2+5x）+24，再运用十字交叉相乘法，进行因式分解即可。
10．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
先提取公因式a，得：
再根据平方差公式，分解，得：
故填：
先提取负号，得：
再根据完全平方公式，分解，得：
故填：
【分析】⑴先提取公因式，再根据平方差公式分解即可.
⑵先提取负号（多项式首项符合为负时，需先把负号提出再分解），再根据完全平方公式分解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
12．【答案】-15
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，∵，，
∴原式==
故答案为：-15.
【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：左侧的图形面积，列式为，合成右侧的图形面积为，
∴列式为
故答案为：.
【分析】本题从图上可以看出，左侧的图形面积可以列式为，而右侧的图形面积为，因此可以写出因式分解过程。
14．【答案】16
【知识点】代数式求值；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=1×42
=16．
故答案是16．
【分析】先分解因式，再将 a+b＝4，ab＝1， 代入求解即可。
15．【答案】（1）
（2）由题意可得 ∴，
联立解得∴，的值分别是11，8.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：(1)由图1可得阴影部分的面积： 由图2可得阴影部分的面积：=(a-b)(a+b)，
∴可得公式为(
故答案为
【分析】(1)根据阴影部分的面积相等可得出公式；
(2)由平方差公式可求a+b=19，连接方程组可求解.
16．【答案】（1）(2x-y+2)(2x-y-2)
（2）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
即
∴(a-c)(a-c+b)=0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴a-c+b>0，
∴a-c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形.
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：(1)
故答案为：(2x-y+2)(2x-y-2)
【分析】（1）根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，平方差公式将等号坐标进行因式分解，根据三角形三边关系可得a-c+b>0，则a-c=0，即a=c，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
1 / 117.2用公式法分解因式（二阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．计算：502-100×48+482等于(　　)
A．24 B．4 C．36 D．-2
【答案】B
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 502-100×48+482=(50-48)2=4，
故答案为：B.
【分析】根据完全平方公式分解因式计算解答即可.
2．对于非零的两个实数a，b，规定a b=a3-ab，那么将a 16的结果进行因式分解的结果是(　　)
A．a(a+2)(a-2) B．a(a+4)(a-4) C．(a+4)(a-4) D．a(a2+4)
【答案】B
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
-4).
故选：B.
【分析】根据新定义运算法则得到 先提取公因式a，然后由平方差公式进行因式分解.
3．下列因式分解的结果中不含因式(a+1)的是(　　)
A．3a2-3 B．a2b+ab
C．a2+a-2 D．(a+3)2-4(a+3)+4
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，因式分解的结果中含因式(a+1)，故此选项不合题意；
ab(a+1)，因式分解的结果中含因式(a+1)，故此选项不合题意；
，因式分解的结果中不含因式(a+1)，故此选项符合题意；
D.(a+ 因式分解的结果中含因式(a+1)，故此选项不合题意.
故选： C.
【分析】把各项多项式因式分解，然后逐项判断解答即可.
4．若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（　　）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：根据“十字相乘法”得，
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
，此时；
∴的值一共有6个，
故选：C．
【分析】十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)，根据“十字相乘法”对一些特殊的多项式因式分解，是一种十分快捷简便的方法.
5．若多项式x2-kx+36能因式分解为(x-a)2，则k的值是(　　)
A．±12 B．12 C．±6 D．6
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵多项式 能因式分解为
当a=6时，
当a=-6时，
故选：A.
【分析】根据完全平方公式计算解答即可.
6．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： 分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A．我爱学 B．爱新化 C．我爱新化 D．新化数学
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
=3(x+1)(x-1)(a-b)，
1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，
∴结果呈现的密码信息可能是：我爱新化，
故选： C.
【分析】把所给的式子运用提公因式和平方差公式进行因式分解，查看对应的字即可得出答案.
7．（2021八上·东平月考）若长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，则的值为（　　）
A．14 B．16 C．20 D．40
【答案】C
【知识点】代数式求值；因式分解的应用
【解析】【解答】∵长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，
∴，，
∴，
则．
故答案为：C．
【分析】根据长和宽分别是的长方形的周长为10，面积为4，得出，，可求出a+b的值，再代入求解即可。
8．（2024八上·献县期末）如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图①（图中阴影部分是正方形），将A，B并列放置后构造新的正方形得图②．若图①，图②中阴影部分的面积分别为4，30，关于甲、乙的说法．甲：图②中新正方形的边长为6；乙：正方形A，B的面积差为16．判断正确的是（　　）
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图①得：
，
∴，
∴，
∴，
∴，（负根舍去）
由图②得：
，
∴，
∴，
∴，
∴图②所示的大正方形的面积
，
∴，（负根舍去），故甲的说法错误；
∴．
故答案为：B．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意列出等式得到，，再根据完全平方公式的变形求出，整体代入解题即可．
二、填空题
9．分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+x(x+5)=　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+x(x+5)
=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+x2+5x
=（x2+5x+4）（x2+5x+6）+（x2+5x）
=（x2+5x）2+11（x2+5x）+24
=
故答案为： .
【分析】首先把(x+1)(x+4)和（x+2)(x+3)组合相乘，得出（x2+5x+4）（x2+5x+6）+（x2+5x），再把（x2+5x）看成一个整体，进行乘法运算，得出（x2+5x）2+11（x2+5x）+24，再运用十字交叉相乘法，进行因式分解即可。
10．因式分解：
（1）　 　
（2）　 　．
【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
先提取公因式a，得：
再根据平方差公式，分解，得：
故填：
先提取负号，得：
再根据完全平方公式，分解，得：
故填：
【分析】⑴先提取公因式，再根据平方差公式分解即可.
⑵先提取负号（多项式首项符合为负时，需先把负号提出再分解），再根据完全平方公式分解.
11．（2020八上·科尔沁期末）分解因式 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为： ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
12．（2024八上·柳州期末）已知，，则代数式的值为　 　．
【答案】-15
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：，∵，，
∴原式==
故答案为：-15.
【分析】利用提公因式法对原式变形得到：，进而将，，代入计算即可.
13．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的
因式分解过程：　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：左侧的图形面积，列式为，合成右侧的图形面积为，
∴列式为
故答案为：.
【分析】本题从图上可以看出，左侧的图形面积可以列式为，而右侧的图形面积为，因此可以写出因式分解过程。
14．（2021八上·芜湖期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为　 　．
【答案】16
【知识点】代数式求值；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2
=1×42
=16．
故答案是16．
【分析】先分解因式，再将 a+b＝4，ab＝1， 代入求解即可。
三、解答题
15．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
（1）观察图①、图②，当用不同的方法表示图中阴影部分的面积时，可以得出一个因式分解的等式，则这个等式是　 　；
（2）如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3，它们的面积相差57，试利用(1)中得到的等式求a，b的值.
【答案】（1）
（2）由题意可得 ∴，
联立解得∴，的值分别是11，8.
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：(1)由图1可得阴影部分的面积： 由图2可得阴影部分的面积：=(a-b)(a+b)，
∴可得公式为(
故答案为
【分析】(1)根据阴影部分的面积相等可得出公式；
(2)由平方差公式可求a+b=19，连接方程组可求解.
16．有些多项式不能直接运用提公因式法或公式法分解因式，但它可以通过适当的调整分组后，再利用提公因式法或公式法分组进行分解，这种对多项式先分组后分解因式的方法称为分组分解法，如 请利用分组分解法解决下列问题：
（1）分解因式： 　 　.
（2）已知a，b，c分别是 的三边长，若 试判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）(2x-y+2)(2x-y-2)
（2）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
即
∴(a-c)(a-c+b)=0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴a-c+b>0，
∴a-c=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形.
【知识点】因式分解﹣公式法；三角形三边关系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：(1)
故答案为：(2x-y+2)(2x-y-2)
【分析】（1）根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可求出答案.
（2）根据完全平方公式，平方差公式将等号坐标进行因式分解，根据三角形三边关系可得a-c+b>0，则a-c=0，即a=c，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
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