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17.2用公式法分解因式（三阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．黑板上写有1， ，……， 共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后黑板上剩下的数是(　　).
A．2012 B．101 C．100 D．99
【答案】C
【知识点】因式分解-分组分解法；列一元一次方程
【解析】【解答】解：
已知a + b + ab = (a + 1)(b + 1) - 1，这意味着每次选取两个数a、b进行操作后，得到的新数a + b + ab，若给它加上1，就等于原来两个数分别加1后的乘积，即a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1)。这表明每次操作前黑板上两个数分别加1后的乘积，与操作后新数加1的结果相等。由此可以推断出，每次操作前和操作后，黑板上所有数加1后的乘积始终保持不变。
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x。
有1， ，……， 共100个数字，它们加1后分别为1 + 1，，，...，
那么最初所有数加1后的乘积为(1 + 1)()()......()
经过99次操作后剩下数x，它加1后为x + 1。
因为每次操作前后所有数加1后的乘积不变，所以x + 1 =(1 + 1)()()......()，
计算(1 + 1)()()......()=2×=101
可以发现前一项的分子与后一项的分母可以依次约掉，最后结果为101，即x + 1 = 101。
解得x = 100。
故答案为：C .
【分析】本题关键在于发现每次操作前后，黑板上每个数加1后的乘积不变这一规律。通过设出最后剩下的数，利用这一规律建立等式，从而求解出剩下的数。
2．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
3．（2023八上·安顺期末）已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值范围有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，
∴-15＝-1×15＝1×（-15）＝-3×5＝3×（-5），
∴-k＝14，-14，2，-2，
∴k＝-14，14，-2，2.
故答案为：D．
【分析】由二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，再把常数项-15分为两个整数相乘，其和即为-k的值，即可确定出整数k的个数．
4．（2024八上·内江期中）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
，
，
……，
以此类推可知，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：D．
【分析】通过观察已知的算式可得规律：，于是可得，再把所求式子裂项相消即可求解．
5．（2024八上·蔡甸期末）已知，，都是正整数，其中，且，设，则（　　）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：x2-xz-xy+yz=23，
x（x-z）-y（x-z）=23，
（x-y）（x-z）=23，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
∵x，y，z都是正整数，
∴x-z=1，x-y=23或x-z=23，x-y=1，
∵a=x-z，
∴a=1或a=23，
[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a
=（3a2+6a-a-2-5a+2）÷a
=3a2÷a
=3a，
当a=1时，原式=3，
当a=23时，原式=69，
∴[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a的值为3或69；
故答案为：C.
【分析】先将x2-xz-xy+yz=23分解因式求出x-z，得到a的值，根据正式的混合运算化简原式，代入a的值即可求解.
6．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
7．（2021八上·玉州期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11.
8．（2024八上·广水期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、a2-1=(a+1)(a-1)，故不符合题意；
B、=a(a+1)， 故不符合题意；
C、=(a-1)2， 故符合题意；
D、= (a+1)2，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将各项中多项式进行因式分解，再判断即可.
二、填空题
9．（2024八上·广州竞赛）已知，求、c的值分别是　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|-4b|c|-16c-16，
∴12a2+7b2+5c2-12a|b|+4b|c|+16c+16≤0.
∴3(4a2-4a|b|+b2)+(4b2+4b|c|+c2)+4(c2+4c+4)≤0
∴3(2a-|b|)2+(2b+|c|)2+ 4(c+2)2≤0，
∵3(2a-|b|)2≥0，(2b+|c|)2≥0，4(c+2)2≥0，
∴
∴解得
故答案为：.
【分析】利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质求得a，b，c的值.
10．（2024八上·长沙月考）若，且，为不大于的正整数，则　 　．
【答案】13
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴p+q=m，pq=36，
∵，为不大于的正整数，
∴p=4，q=9或p=9，q=4，
∴m=p+q=4+9=13.
故答案为：13.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得p+q=m，pq=36，再结合“，为不大于的正整数”可得p=4，q=9或p=9，q=4，最后求出m=p+q=4+9=13即可.
11．（2024八上·丰城开学考）一个三位正整数（其中a、b都是正整数，，），满足各数位上的数字互不相同．将n的任意两个数位上的数字对调后得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为．若，则　 　，符合条件的n的所有值的和是　 　．
【答案】6；1332
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（其中、都是正整数，，，
，
，
，
，
为“变动数”，（其中、都是正整数，，，
，
，或，或，或，，
或243或423或513，
符合条件的的所有值的和是．
故答案为：6；1332
【分析】本题考查整式的加减，新定义，因式分解的应用．根据新定义可得：，根据为最大的三位“稳定数”，据此可推出，进而可求出，再根据为“变动数”，（其中、都是正整数，，，可推出：，据此可确定、的值需要分四种情况：，或，或，或，，再进行计算可求出的值．
12．整数x，y满足方程2xy+x+y=83，则x+y=　 　.
【答案】83或-85
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：由条件得4xy+2x+2y+1=166+1，即(2x+1)(2y+1)=167.
∵x，y均为整数，
∴2x+1和2y+1也为整数，
把167进行质因数分解：167=1×167或（-1）×（-167)，
∴2x+1=1或167时2y+1=167或1；2x+1=-1或-167时，2y+1=-167或-1；
∴x=0，y=83；或x=83，y=0；或x=-1，y=-84；或x=-84，y=-1
∴x+y=83或x+y=-85.
故答案为：83或-85 .
【分析】原方程变形为4xy+2x+2y+1=166+1，即(2x+1)(2y+1)=167.然后根据2x+1和2y+1均为整数，可把167进行质因数分解，然后分析所有可能的结果，可求出x+y的值.
13． 分解因式： 　 　.
【答案】-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式
=-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y).
故答案为：-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y).
【分析】从公式 入手，若能发现前两项与后一项的联系，则能获得简解.
14． 方程 xy-2x-2y+7=0的整数解(x≤y)为　 　.
【答案】或
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： xy-2x-2y+7=0 ，
整理原方程：xy-2x-2y+4+3=0，
x（y-2）-2（y-2）+3=0，
(x-2)(y-2)+3=0，
故(x-2)(y-2)=-3=-1×3=1×(-3).
∵x≤y，
∴或
∴或
故答案为：或 .
【分析】首先把常数项7分成4+3，然后用分组法把钱4项进行因式分解，从而得出(x-2)(y-2)+3=0，进而把3移到等式右边，即可得出两个一次因式的积=-3，即(x-2)(y-2)=-3，从而把-3分成两个整数的积，分成两种情况-1×3和1×（-3），再根据 x≤y ，可得出两个方程组或。分别解方程组，即可得出答案。
三、解答题
15．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
16．（2024八上·铁西期末）阅读材料：
＝（ ▲ ）
＝ ▲ ．
（1）请把阅读材料补充完整；
（2）分解因式：；
（3）已知，，为的三边长，若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）；．
（2）解：原式．
（3）解：原式可变形为：
，，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题中提示，利用提公因式法进行这一步因式分解，然后利用平方差公式进一步因式分解；（2）先利用平方差公式找到公因式，再提取公因式；（3）这一类题的思路都是将已知等式变形，本题利用完全平方公式进行恒等变形，得到 ，进一步可判断出a=b=c。
1 / 117.2用公式法分解因式（三阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．黑板上写有1， ，……， 共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取两个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后黑板上剩下的数是(　　).
A．2012 B．101 C．100 D．99
2．（2024八上·龙江期末）若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
3．（2023八上·安顺期末）已知二次三项式能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数的取值范围有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024八上·内江期中）观察下列算式：，，，…，它具有一定的规律性，若把第个算式的结果记为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·蔡甸期末）已知，，都是正整数，其中，且，设，则（　　）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
6．（2019八上·浦东期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021八上·玉州期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
8．（2024八上·广水期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2024八上·广州竞赛）已知，求、c的值分别是　 　.
10．（2024八上·长沙月考）若，且，为不大于的正整数，则　 　．
11．（2024八上·丰城开学考）一个三位正整数（其中a、b都是正整数，，），满足各数位上的数字互不相同．将n的任意两个数位上的数字对调后得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为．若，则　 　，符合条件的n的所有值的和是　 　．
12．整数x，y满足方程2xy+x+y=83，则x+y=　 　.
13． 分解因式： 　 　.
14． 方程 xy-2x-2y+7=0的整数解(x≤y)为　 　.
三、解答题
15．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
16．（2024八上·铁西期末）阅读材料：
＝（ ▲ ）
＝ ▲ ．
（1）请把阅读材料补充完整；
（2）分解因式：；
（3）已知，，为的三边长，若，试判断的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解-分组分解法；列一元一次方程
【解析】【解答】解：
已知a + b + ab = (a + 1)(b + 1) - 1，这意味着每次选取两个数a、b进行操作后，得到的新数a + b + ab，若给它加上1，就等于原来两个数分别加1后的乘积，即a + b + ab + 1 = (a + 1)(b + 1)。这表明每次操作前黑板上两个数分别加1后的乘积，与操作后新数加1的结果相等。由此可以推断出，每次操作前和操作后，黑板上所有数加1后的乘积始终保持不变。
设经过99次操作后黑板上剩下的数为x。
有1， ，……， 共100个数字，它们加1后分别为1 + 1，，，...，
那么最初所有数加1后的乘积为(1 + 1)()()......()
经过99次操作后剩下数x，它加1后为x + 1。
因为每次操作前后所有数加1后的乘积不变，所以x + 1 =(1 + 1)()()......()，
计算(1 + 1)()()......()=2×=101
可以发现前一项的分子与后一项的分母可以依次约掉，最后结果为101，即x + 1 = 101。
解得x = 100。
故答案为：C .
【分析】本题关键在于发现每次操作前后，黑板上每个数加1后的乘积不变这一规律。通过设出最后剩下的数，利用这一规律建立等式，从而求解出剩下的数。
2．【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，
∴-15＝-1×15＝1×（-15）＝-3×5＝3×（-5），
∴-k＝14，-14，2，-2，
∴k＝-14，14，-2，2.
故答案为：D．
【分析】由二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，再把常数项-15分为两个整数相乘，其和即为-k的值，即可确定出整数k的个数．
4．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：，
，
，
……，
以此类推可知，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：D．
【分析】通过观察已知的算式可得规律：，于是可得，再把所求式子裂项相消即可求解．
5．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：x2-xz-xy+yz=23，
x（x-z）-y（x-z）=23，
（x-y）（x-z）=23，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
∵x，y，z都是正整数，
∴x-z=1，x-y=23或x-z=23，x-y=1，
∵a=x-z，
∴a=1或a=23，
[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a
=（3a2+6a-a-2-5a+2）÷a
=3a2÷a
=3a，
当a=1时，原式=3，
当a=23时，原式=69，
∴[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a的值为3或69；
故答案为：C.
【分析】先将x2-xz-xy+yz=23分解因式求出x-z，得到a的值，根据正式的混合运算化简原式，代入a的值即可求解.
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】A.6x2+x-15=0时，b2-4ac=1+4×6×15=361＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
B.3y2+7y+3，b2-4ac=49-4×3×3=13＞0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
C.x2－2x－4，b2-4ac=4-4×（－4）=20>0，
则此二次三项式在实数范围内能因式分解，故此选项不符合题意；
D.2x2-4xy+5y2此二次三项式在实数范围内不能因式分解，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】因式分解的步骤：1.提取公因式；2.套公式（完全平方公式、平方差公式）；3.十字相乘。
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故答案为：C.
【分析】先将（x+p）（x+q） 展开，让两边对应的部分相等，得到p+q=m，pq=-12，接着分情况讨论，得到m=-11或11或4或-4或1或-1，得到m的最大值为11.
8．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、a2-1=(a+1)(a-1)，故不符合题意；
B、=a(a+1)， 故不符合题意；
C、=(a-1)2， 故符合题意；
D、= (a+1)2，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】将各项中多项式进行因式分解，再判断即可.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|-4b|c|-16c-16，
∴12a2+7b2+5c2-12a|b|+4b|c|+16c+16≤0.
∴3(4a2-4a|b|+b2)+(4b2+4b|c|+c2)+4(c2+4c+4)≤0
∴3(2a-|b|)2+(2b+|c|)2+ 4(c+2)2≤0，
∵3(2a-|b|)2≥0，(2b+|c|)2≥0，4(c+2)2≥0，
∴
∴解得
故答案为：.
【分析】利用配方法将原式变形，再利用非负数的性质求得a，b，c的值.
10．【答案】13
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：∵，
∴p+q=m，pq=36，
∵，为不大于的正整数，
∴p=4，q=9或p=9，q=4，
∴m=p+q=4+9=13.
故答案为：13.
【分析】先利用多项式乘多项式的计算方法展开，再利用待定系数法可得p+q=m，pq=36，再结合“，为不大于的正整数”可得p=4，q=9或p=9，q=4，最后求出m=p+q=4+9=13即可.
11．【答案】6；1332
【知识点】整式的加减运算；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（其中、都是正整数，，，
，
，
，
，
为“变动数”，（其中、都是正整数，，，
，
，或，或，或，，
或243或423或513，
符合条件的的所有值的和是．
故答案为：6；1332
【分析】本题考查整式的加减，新定义，因式分解的应用．根据新定义可得：，根据为最大的三位“稳定数”，据此可推出，进而可求出，再根据为“变动数”，（其中、都是正整数，，，可推出：，据此可确定、的值需要分四种情况：，或，或，或，，再进行计算可求出的值．
12．【答案】83或-85
【知识点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：由条件得4xy+2x+2y+1=166+1，即(2x+1)(2y+1)=167.
∵x，y均为整数，
∴2x+1和2y+1也为整数，
把167进行质因数分解：167=1×167或（-1）×（-167)，
∴2x+1=1或167时2y+1=167或1；2x+1=-1或-167时，2y+1=-167或-1；
∴x=0，y=83；或x=83，y=0；或x=-1，y=-84；或x=-84，y=-1
∴x+y=83或x+y=-85.
故答案为：83或-85 .
【分析】原方程变形为4xy+2x+2y+1=166+1，即(2x+1)(2y+1)=167.然后根据2x+1和2y+1均为整数，可把167进行质因数分解，然后分析所有可能的结果，可求出x+y的值.
13．【答案】-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式
=-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y).
故答案为：-15(x-y)(2x-3y)(3x-2y).
【分析】从公式 入手，若能发现前两项与后一项的联系，则能获得简解.
14．【答案】或
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： xy-2x-2y+7=0 ，
整理原方程：xy-2x-2y+4+3=0，
x（y-2）-2（y-2）+3=0，
(x-2)(y-2)+3=0，
故(x-2)(y-2)=-3=-1×3=1×(-3).
∵x≤y，
∴或
∴或
故答案为：或 .
【分析】首先把常数项7分成4+3，然后用分组法把钱4项进行因式分解，从而得出(x-2)(y-2)+3=0，进而把3移到等式右边，即可得出两个一次因式的积=-3，即(x-2)(y-2)=-3，从而把-3分成两个整数的积，分成两种情况-1×3和1×（-3），再根据 x≤y ，可得出两个方程组或。分别解方程组，即可得出答案。
15．【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
16．【答案】（1）；．
（2）解：原式．
（3）解：原式可变形为：
，，
是等边三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）根据题中提示，利用提公因式法进行这一步因式分解，然后利用平方差公式进一步因式分解；（2）先利用平方差公式找到公因式，再提取公因式；（3）这一类题的思路都是将已知等式变形，本题利用完全平方公式进行恒等变形，得到 ，进一步可判断出a=b=c。
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