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18.1分式及其性质（二阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．（2023八上·印江期中）在，，，中，是分式的有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025七下·滨江期末） 要使分式有意义，则x的取值需满足（　　）
A． B．
C．或 D．且
3．（2024八上·定西期末）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·宽城期末）若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（　　）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣4 D．x≠﹣4
5．如果使分式有意义的a和b的值都扩大到原来的2倍，则分式的值也扩大到原来的2倍，那么整式A可以是(　　)
A．2a+2b B．4a+4b C．ab D．a2b2
6．（2023八上·临湘期末）将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
7．若，则下列分式化简中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·柳州期末）下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2025八上·杭州开学考）若分式 的值为0，则x=　 　．
10．（2025七下·永康期末）若分式的值为0，则x的值为　 　.
11．（2025七下·温州期末）要使分式有意义，则x的值可以为　 　（写出一个即可）·
12．（2025八上·红花岗期末）对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为　 　．
13．（2024八上·沅江期中）分式，，的最简公分母是　 　．
14．（2024八上·重庆市开学考）对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均衡数”．对于一个“均衡数”，将它的前两位数减去后两位数所得记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，定：，例如：，因为，故：9764是一个“均衡数”，所以：，，则：．若自然数都是“均衡数”，其中（，都是整数），规定：，当时，的最大值是　 　．
三、解答题
15．（2024七下·临平月考）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：
（1）求被手遮住部分的代数式.
（2）等式左边代数式的值能等于0吗 请说明理由.
16．我们把分子的最高次数小于分母的最高次数的分式称为真分式，反之，把分子的最高次数大于或者等于分母的最高次数的分式称为假分式.任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式.如：
运用以上知识解决下列问题：
（1）下列分式中，属于真分式的有　 　，属于假分式的有　 　；
（2）若分式 的值是正整数且化简后真分式的分母为整数，求x的值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】 在，，，中
是整式
是分式
是整式
是分式
分式有2个
故选：B
【分析】根据分式的定义，形如AB的式子叫做分式，A、B是整式，B中含有字母；根据定义进行判定即可。
2．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式 有意义，
则
解得
故答案为： B.
【分析】分式有意义即分母不为0，由此计算即可.
3．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题可知，
某个分式，当x＝ 1时，分式无意义，说明其分母x≠ 1才有意义，
则只有A、B符合题意，
当x＝2时，分式的值为0，
则只有A符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用分式有意义的条件及分式的值为0的条件逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键，根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
5．【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】A.，分式的值不变，故A不符合题意；
B.，分式的值不变，故B不符合题意；
C.=2×，即分式的值也扩大到原来的2倍，故C符合题意；
D.=8×，即分式的值扩大到原来的8倍，故D不符合题意.
故答案为：C
【分析】将各选项中A值代入，再根据分式的基本性质逐一化简判断即可.
6．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故分式的值扩大到原来的3倍.
故答案为：A.
【分析】分别利用3x、3y代替原分式中的x、y，然后利用分式的基本性质化简即可.
7．【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、令x=2，y=3，则有，，等式不成立，不符合题意；
B、令x=2，y=3，则有，，等式不成立，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、令x=2，y=3，则有，，等式不成立，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，据此解题即可.
8．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；分式的基本性质；等边三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故①正确；
②由于任意等腰三角形的两个底角的外角都相等，故“有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形”说法不正确，故②错误；
③∵，，
∴，故③正确；
④如果把分式中的、都扩大2倍得
，故分式的值不变，原结论错误，
故正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质“对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线”可判断①；由于等腰三角形两底角相等，则两个底角的外角都相等，据此可判断②；根据完全平方公式的恒等变形得(x-y)2=(x+y)2-4xy，从而整体代入计算可判断③；用2x、2y替换原分式中的x、y，根据分式性质化简后与原分式比较即可判断④.
9．【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，
∴ ，
解得x=-3．
故答案为：-3
【分析】根据分式值为0的条件：分母不等于0，且分子为0，建立方程和不等式求解即可。
10．【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得x=-1.
故答案为：-1.
【分析】分式值为0，意味着分子为0，且分母不为0.
11．【答案】2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
∴x-1≠0，解得x≠1
故答案为：2(除1以外任意实数).
【分析】根据分式有意义，得分母不为0.
12．【答案】
【知识点】分式的值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题目中新定义的运算法则得到，然后整体代入解题．
13．【答案】
【知识点】最简公分母；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵，
∴分式，，的最简公分母是；
故答案为：
【分析】
取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算；分式的值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵自然数P，Q都是“均衡数”，
∴，，
则，．
∴．
∴．
当时，，
∴．
∵， y，n都是整数，
∴y是奇数，
∴当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
∴k的最大值为．
故答案为：
【分析】根据新定义与已知条件，分化出P和Q的千位，百位，十位和个位，由自然数P，Q都是“均衡数”可得，，再分别求出，，最后根据求得，即可利用字母的取值范围确定y和n的取值，便可确定k的最值．
15．【答案】（1）设被手遮住的部分的代数式为A，
∴A×÷，
A××，
A××，
A×
A＝÷
A＝．
（2）解：不能，理由如下：
若原代数式的值能等于0，则＝0，解得x＝－1，
但是当x＝－1时，原代数式中的除式 x＋1＝0，原代数式无意义.
所以等式左边代数式的值不能等于0.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的混合运算
【解析】【分析】第（1）小题本质上是将“手”看作一个未知数，把这个等式看作一个关于“手”的方程，然后求出“手”的解.本题中要注意灵活运用各种因式分解的方法.
第（2）小题考查了分式有意义的条件，即分母不为零，注意求出x的值后不仅要将其代入原始方程，还要代入步骤中的所有方程，观察分母是否为零.
16．【答案】（1）④；①②③
（2）解：原式
的值是正整数，
的值是整数，
又∵的分母为整数，
∴2x-1=-4或2x-1=-2或2x-1=1或2x-1=2或2x-1=4，
∴x的值为 或 -或1或或
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-系数化整
【解析】【分析】（1）根据真分式，假分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据题意化简分式可得，再根据题意可得，结合分母为整数，进行计算即可求出答案.
1 / 118.1分式及其性质（二阶）-人教版八年级上册数学课时进阶测试
一、选择题
1．（2023八上·印江期中）在，，，中，是分式的有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】 在，，，中
是整式
是分式
是整式
是分式
分式有2个
故选：B
【分析】根据分式的定义，形如AB的式子叫做分式，A、B是整式，B中含有字母；根据定义进行判定即可。
2．（2025七下·滨江期末） 要使分式有意义，则x的取值需满足（　　）
A． B．
C．或 D．且
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式 有意义，
则
解得
故答案为： B.
【分析】分式有意义即分母不为0，由此计算即可.
3．（2024八上·定西期末）已知某个分式，当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则该分式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题可知，
某个分式，当x＝ 1时，分式无意义，说明其分母x≠ 1才有意义，
则只有A、B符合题意，
当x＝2时，分式的值为0，
则只有A符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用分式有意义的条件及分式的值为0的条件逐项分析判断即可.
4．（2024八上·宽城期末）若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（　　）
A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣4 D．x≠﹣4
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零分子为零的条件是解题的关键，根据分母不为零分子为零的条件进行解题即可．
5．如果使分式有意义的a和b的值都扩大到原来的2倍，则分式的值也扩大到原来的2倍，那么整式A可以是(　　)
A．2a+2b B．4a+4b C．ab D．a2b2
【答案】C
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】A.，分式的值不变，故A不符合题意；
B.，分式的值不变，故B不符合题意；
C.=2×，即分式的值也扩大到原来的2倍，故C符合题意；
D.=8×，即分式的值扩大到原来的8倍，故D不符合题意.
故答案为：C
【分析】将各选项中A值代入，再根据分式的基本性质逐一化简判断即可.
6．（2023八上·临湘期末）将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故分式的值扩大到原来的3倍.
故答案为：A.
【分析】分别利用3x、3y代替原分式中的x、y，然后利用分式的基本性质化简即可.
7．若，则下列分式化简中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、令x=2，y=3，则有，，等式不成立，不符合题意；
B、令x=2，y=3，则有，，等式不成立，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、令x=2，y=3，则有，，等式不成立，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，据此解题即可.
8．（2024八上·柳州期末）下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；分式的基本性质；等边三角形的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，故①正确；
②由于任意等腰三角形的两个底角的外角都相等，故“有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形”说法不正确，故②错误；
③∵，，
∴，故③正确；
④如果把分式中的、都扩大2倍得
，故分式的值不变，原结论错误，
故正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的性质“对称轴是任意一对对称点所连线段的垂直平分线”可判断①；由于等腰三角形两底角相等，则两个底角的外角都相等，据此可判断②；根据完全平方公式的恒等变形得(x-y)2=(x+y)2-4xy，从而整体代入计算可判断③；用2x、2y替换原分式中的x、y，根据分式性质化简后与原分式比较即可判断④.
二、填空题
9．（2025八上·杭州开学考）若分式 的值为0，则x=　 　．
【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，
∴ ，
解得x=-3．
故答案为：-3
【分析】根据分式值为0的条件：分母不等于0，且分子为0，建立方程和不等式求解即可。
10．（2025七下·永康期末）若分式的值为0，则x的值为　 　.
【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得x=-1.
故答案为：-1.
【分析】分式值为0，意味着分子为0，且分母不为0.
11．（2025七下·温州期末）要使分式有意义，则x的值可以为　 　（写出一个即可）·
【答案】2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：分式有意义，
∴x-1≠0，解得x≠1
故答案为：2(除1以外任意实数).
【分析】根据分式有意义，得分母不为0.
12．（2025八上·红花岗期末）对于两个非零的实数，定义运算※如下：例如：若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题目中新定义的运算法则得到，然后整体代入解题．
13．（2024八上·沅江期中）分式，，的最简公分母是　 　．
【答案】
【知识点】最简公分母；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵，
∴分式，，的最简公分母是；
故答案为：
【分析】
取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
14．（2024八上·重庆市开学考）对于一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去百位数字之差等于十位数字减去个位数字之差，那么称这个数为“均衡数”．对于一个“均衡数”，将它的前两位数减去后两位数所得记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，定：，例如：，因为，故：9764是一个“均衡数”，所以：，，则：．若自然数都是“均衡数”，其中（，都是整数），规定：，当时，的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；分式的值；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵自然数P，Q都是“均衡数”，
∴，，
则，．
∴．
∴．
当时，，
∴．
∵， y，n都是整数，
∴y是奇数，
∴当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
∴k的最大值为．
故答案为：
【分析】根据新定义与已知条件，分化出P和Q的千位，百位，十位和个位，由自然数P，Q都是“均衡数”可得，，再分别求出，，最后根据求得，即可利用字母的取值范围确定y和n的取值，便可确定k的最值．
三、解答题
15．（2024七下·临平月考）老师在黑板上书写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中一部分，如图所示：
（1）求被手遮住部分的代数式.
（2）等式左边代数式的值能等于0吗 请说明理由.
【答案】（1）设被手遮住的部分的代数式为A，
∴A×÷，
A××，
A××，
A×
A＝÷
A＝．
（2）解：不能，理由如下：
若原代数式的值能等于0，则＝0，解得x＝－1，
但是当x＝－1时，原代数式中的除式 x＋1＝0，原代数式无意义.
所以等式左边代数式的值不能等于0.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件；分式的混合运算
【解析】【分析】第（1）小题本质上是将“手”看作一个未知数，把这个等式看作一个关于“手”的方程，然后求出“手”的解.本题中要注意灵活运用各种因式分解的方法.
第（2）小题考查了分式有意义的条件，即分母不为零，注意求出x的值后不仅要将其代入原始方程，还要代入步骤中的所有方程，观察分母是否为零.
16．我们把分子的最高次数小于分母的最高次数的分式称为真分式，反之，把分子的最高次数大于或者等于分母的最高次数的分式称为假分式.任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式.如：
运用以上知识解决下列问题：
（1）下列分式中，属于真分式的有　 　，属于假分式的有　 　；
（2）若分式 的值是正整数且化简后真分式的分母为整数，求x的值
【答案】（1）④；①②③
（2）解：原式
的值是正整数，
的值是整数，
又∵的分母为整数，
∴2x-1=-4或2x-1=-2或2x-1=1或2x-1=2或2x-1=4，
∴x的值为 或 -或1或或
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-系数化整
【解析】【分析】（1）根据真分式，假分式的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据题意化简分式可得，再根据题意可得，结合分母为整数，进行计算即可求出答案.
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