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江西省抚州市临川区临川六中、临川区第五实验2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图象”是随机事件
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
4．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ）

A． B． C． D．平分
5．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智告启发，让人淡养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次这月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在正方形外取一点E，连接、、，过A作的垂线交于点P，若，，下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题
7．把方程化成一般式得，则的值为 ．
8．在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则袋子中的小球个数大约有 个．
9．已知是方程的两个根，则的值为 ．
10．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．
11．如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点，于点．若菱形的周长为，面积为，则的值为 ．

12．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角得到，连接，．当为等腰三角形时，旋转角的度数为 ．
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当时，设方程的两根分别为，，求的值．
15．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为、与交于点．若，，求的长．
16．某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设了五类社团活动（音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团），要求每人必须参加且只参加一类社团活动．
(1)“小明恰好选中体育社团”是________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
(2)现从文学社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
17．已知是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点关于对称中心的对称点．
(1)如图1，点E在的边上；
(2)如图2，点E在外．
18．如图，在四边形中，，连接，，且经过的中点，点在上，且，连接，．
(1)求证：四边形是菱形
(2)若，且，求菱形的面积．
19．某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元．
(1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少
(2)国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？
20．请阅读下面解方程的过程．
解：设，则原方程可变形为．
解得，．
当时，，．
当时，，，此方程无实数解．
∴原方程的解为，．
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程：．
21．如图，正方形ABCD中， AB＝4， 点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形．
(2)求AG＋AE的值．
22．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”，例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程；是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
23．如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点H．
(1)求直线的函数解析式及的长；
(2)连接，动点P从点A出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在（2）的情况下，当点P在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．
参考答案
1．D
解：、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
2．C
解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．D
解：A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，错误；
B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的不一定是5次，错误；
C．“概率为0.0001的事件”是随机事件，错误；
D．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，正确，
故选：D．
4．A
解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
即或．
故选：A
5．B
【详解】进馆人次的月平均增长率为，依题意得：，
故选：．
6．A
解：①∵，，
∴，
又∵，，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故②正确；
③在中，，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，故③错误．
故选：A．
7．3
解：，
，
，
，
∵把方程化成一般式得，
∴
∴．
故答案为：3．
8．25
解：∵多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，
∴摸到红球的概率为，
∴球的总个数为个．
故答案为：25
9．1
解：∵是方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：1
10．
【详解】如图，根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，根据平行线的性质易证S1=S2，故阴影部分的面积占一份，
故针头扎在阴影区域的概率为．
11．
【详解】连接，如图，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵菱形的周长为，
∴，
∴，
，
，
，
则，
故答案为：．
12．或或
解：如图1，点在上，
由旋转得，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等腰三角形，
；
如图2，点在上，
，，
，
，
是等腰三角形，
；
如图3，是等腰三角形，且，作于点，交于点，则，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，旋转角的度数为或或，
故答案为：或或．
13．(1)，
(2)，
（1）解：，
移项，得：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：，
变形得：，
移项得：，
因式分解得：，
即，
∴或，
∴，．
14．(1)
(2)
（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
即k的取值范围为；
（2）解：当时，方程为，
解得，，
则．
15．
解：由折叠的性质得：，，
四边形是矩形，
，
∵，
（）,
，
，，
，
，
∴，
，
．
16．(1)随机
(2)
（1）由于体育社团是五类社团之一，所以，“小明恰好选中体育社团”是随机事件，
故答案为：随机；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种，
所以恰好选中甲和乙两名同学的概率．
17．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：如图1，点即为所求；
（2）解：如图2，点即为所求．
18．(1)证明见详解，
(2)
（1）证明：∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等腰三角形，
又∵是中的中线，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
故在中，用勾股定理可得，
代入数值为，
化简得，
∴，
∴菱形的面积为．
19．(1)商场对商品平均每次每次降价的百分率为
(2)这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元
（1）解：设商场对商品平均每次降价的百分率为，
由题意得：
解得：，（舍去），
，
答：商场对商品平均每次每次降价的百分率为；
（2）解：设这天商场在每件150元的基础上降价元，
由题意得：，
解得：，
为了尽快销售完这批商品，
，
答：这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元．
20．，
解：．
设
则，
解得或，
当时，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
当时，，解得，
经检验，是分式方程的解，
原分式方程的解是，．
21．（1）证明见解析；（2）
解：（1）如图，作于，于．
∵四边形是正方形，
，
∵于，于，
，
∵，
四边形是矩形，
∵，
，
，
∵，
，
，
∵四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
22．(1)是，理由见解析
(2)或
(3)或
（1）解：，
，
或，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2）解：，
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴或，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）解：根据题意，设方程的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得或，
∴m的值为或．
23．(1)，
(2)
(3)当或时，为以为腰的等腰三角形．
（1）解：点的坐标为，
，即点的坐标为，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为：，
令得：，
即，
；
（2）解：设点到的距离为，
由，
即，
，
①当在直线上运动时的面积为与的运动时间为秒关系为：
，即；
②当运动到直线上时的面积为与的运动时间为秒关系为：
，即，
故；
（3）解：存在①当时，
点的坐标为，，，，
，即，
；
②当时，即，
解得：．
综上所述，当或时，为以为腰的等腰三角形．

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