资源简介

1.3解直角三角形
【题型1】解直角三角形 5
【题型2】解直角三角形求边长 6
【题型3】解直角三角形求三角函数值 7
【题型4】解直角三角形求图形面积 9
【题型5】解直角三角形的应用—线段长度问题 10
【题型6】解直角三角形的应用—距离高度问题 11
【题型7】解直角三角形的应用—坡度坡角问题 13
【题型8】解直角三角形的应用—仰角俯角问题 14
【题型9】解直角三角形的应用—方向角问题 17
【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 和平区期末）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（　　） A．B．C．D．
【知识点2】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 1.（2024 湖北三模）如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　） A．mB．10mC．mD．m
2.（2024 沙坪坝区校级自主招生）在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB=2.82米，△BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.2）（　　） A．1.2米B．1.5米C．1.9米D．2.5米
【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 1.（2024秋 蚌埠期末）小明沿着坡比为的山坡向上走了300m,则他升高了（　　） A．mB．150mC．mD．100m
2.（2024秋 泰山区期末）如图，市政府准备修建一座高AB=5米的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　） A．B．C．D．
【知识点4】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 1.（2024 和平区模拟）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a,则楼房BC的高为（　　） A．50tana米B．米C．50sina米D．米
【知识点5】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 1.（2024秋 金堂县期末）如图，小颖家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的400米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　） A．200米B．200米C．米D．400米
2.（2024秋 肥城市期中）上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图）．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为（　　） A．20海里B．海里C．海里D．海里
【题型1】解直角三角形
【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）
A.1 B.2 C. D.
【举一反三1】下列条件中，不能解直角三角形的是（　　）
A.已知两锐角 B.已知两条边 C.已知三边 D.已知一边和一锐角
【举一反三2】（1）在△ABC中，∠A＝90°，设∠B＝θ，AC＝b，则AB＝　　（用b和θ的三角函数表示）．
（2）在△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝3，则cosA＝　　．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，且c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，解此直角三角形．
【题型2】解直角三角形求边长
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b边及∠B，则斜边为（　　）
A.bsinB B. C.bcosB D.
【举一反三1】如图所示，在△ABC中，已知c＝，∠A＝45°，∠B＝60°，则a的值是（　　）
A.3﹣ B.3﹣3 C.﹣1 D.5﹣
【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝，则AC等于（　　）
A.25 B.12 C.9 D.16
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且，AB＝4，则AD的长为　　．
【举一反三4】在△ABC中，AC＝4，∠A＝30°．
（1）如图1，当∠C＝90°时，求BC；
（2）如图2，当∠C＝105°时，求BC．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC，AC＝8，BD＝2，，BF交AD．求：
（1）AD的长；
（2）tan∠FBC的值．
【题型3】解直角三角形求三角函数值
【典型例题】等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为（　　）
A. B.3 C. D.
【举一反三2】如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8米，∠CBF记作α，下列式子正确的是（　　）
A.sinα＝ B.cosα＝ C.sinα＝ D.tanα＝
【举一反三3】在平面直角坐标系的第一象限中，有一点P（x，y），记r＝|OP|＝．若OP与x轴正方向所夹的锐角为α，则sinα＝　　，cosα＝　　，tanα＝　　．
【举一反三4】如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝　　．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：
（1）线段AB的长；
（2）tan∠DBA的值．
【举一反三6】如图在直角△ABC中，AC BC，AC＝BC＝2，在BC上取一点D，使∠DAC＝30°，延长AD至E，使BE∥AC．
（1）求的值；
（2）求sin∠BAD．（注：不能用两角和差的正余弦公式）
【题型4】解直角三角形求图形面积
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（　　）
A.60 B.30 C.240 D.120
【举一反三1】如图，∠BAD＝90°，∠ADC＝15°，∠ABC＝30°，，该图形的面积为（　　）
A.2 B. C. D.
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝15，则△ABC的面积为 　　．
【举一反三3】小明在研究“利用木板余料裁出最大面积的矩形”时发现：如图1，Rt△ABC是一块直角三角形状的木板余料（∠B＝90°），以∠B为内角裁一个矩形当DE，EF是中位线时，所裁矩形的面积最大．若木板余料的形状改变，请你探究：
（1）如图2，现有一块五边形的木板余料ABCDE，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝20cm，BC＝30cm，AE＝20cm，CD＝10cm．现从中裁出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，则该矩形的面积为　400　cm2．
（2）如图3，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝25cm，BC＝54cm，CD＝30cm，且tanB＝tanC＝，从中裁出顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为　486　cm2．
【举一反三4】矩形的周长是28，对角线与一边的夹角的正弦值为，求这个矩形的面积．
【题型5】解直角三角形的应用—线段长度问题
【典型例题】工人师傅要在长方形木板上截取一块扇形板，若该扇形木板的半径为10cm，弧AB长为20cm，则工人师傅计算弦AB的长大约为（参考数据：sin1≈0.84，cos1≈0.54）（　）
A.16.8cm B.10.8cm C.11.9cm D.18.5cm
【举一反三1】河堤横断面如图所示，AB＝10米，tan∠BAC＝，则AC的长是（　　）米．
A.5 B.10 C.15 D.10
【举一反三2】某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为　　cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【举一反三3】如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为12m，∠A＝26°，则中柱BC（C为底边中点）的长约为　　m．（精确到0.01m）
【举一反三4】如图，旅游部门准备为某景点修建一条索道AB，无人机在P点测到索道底端A和顶端B的俯角分别为67.4°，45°，已知AB的坡角为36.9°，P点到地面MN的距离PH＝480米，求索道AB的长．参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40．
【题型6】解直角三角形的应用—距离高度问题
【典型例题】某兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动，如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想，小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝108°（点A′是点A的对应点），用眼舒适度较为理想，则此时顶部边缘A′处离地面的高度A′D为（　　）
A.20 tan72° B.20 sin72° C. D.
【举一反三1】2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC＝120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（　　）
A. B.nsinθ+msin（θ﹣60°） C.ncosθ+msin（θ+60°） D.nsinθ+mcos（θ﹣60°）
【举一反三2】如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A.米 B.4sinα米 C.米 D.4cosα米
【举一反三3】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝140°，一楼高（h）为3.5m，则乘手扶电梯从起点（B）到终点（C）有　　米（结果精确到0.1，sin40°≈0.64）．
【举一反三4】如图，在太阳光的照射下一棵树的影长为10米，若太阳光线与地面所成的角为25°，则这棵树的高度为　　米．（精确到0.01米）
【举一反三5】敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度．图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角α等于反射光线与镜面的夹角β．已知定口镜的长AB为12米，点C为AB中点，定日镜绕点C旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端F处．此时镜面AB与支撑柱CD的夹角为60度，点B到地面的距离BE是5米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．
（sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
（1）求支撑柱CD的高度；
（2）求吸热塔FH的高度．
【题型7】解直角三角形的应用—坡度坡角问题
【典型例题】如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　）
A.8m B.10m C. D.
【举一反三1】小明沿着坡角为30°的斜坡向上走了100m，则他升高了（　）
A. B.50m C. D.100m
【举一反三2】今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的温博烧烤之后的新放游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为t＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 　米．
【举一反三3】如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．
（1）求显示屏所在部分的宽度CM；
（2）求镜头A到地面的距离．
（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）
【举一反三4】某市为了加固长为90米、高为5米、坝顶宽为4米、迎水坡和背水坡坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡坡度改为1：3，迎水坡坡度不变，坝顶宽不变．
（1）大坝横截面积增加多少平方米？
（2）如果规定最多20天完成此项工程，那么每天至少要完成多少土方数？
【题型8】解直角三角形的应用—仰角俯角问题
【典型例题】如图，某数学实践小组测量操场的旗杆AB的高度，操作如下：
（1）在点D处放置测角仪，量得测角仪的高度CD为a；
（2）测得仰角∠ACE＝α；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b．
则旗杆的高度可表示为（　　）
A.a+btanα B.a+bsinα C. D.
【举一反三1】在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，BC＝19.2m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，则气球离地面的高度AD约为（　　）（其中sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
A.34m B.53.2m C.40m D.59.2m
【举一反三2】如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3m的标杆CD，然后他在A处测得C点的俯角β为53°，再测得D点的俯角α为45°，则两幢楼房之间的水平距离大约为（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（　　）
A.9.75m B.9.5m C.92.5m D.9m
【举一反三3】如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为 　　m．（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【举一反三4】某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图，小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则信号发射塔PQ的高度为　米．（1.732，用四舍五入法把结果精确到0.1米）
【举一反三5】脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为30°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为63.5°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．
（1）求屋顶到横梁的距离AG（结果精确到0.1m）；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
（参考数据sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，≈1.73）
【举一反三6】如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD．
已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为22°，沿MD方向前进33米，达到点N处，测得点A的仰角为45°，求建筑物的高度AD．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，
cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）
【题型9】解直角三角形的应用—方向角问题
【典型例题】如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为200m和100m，测绘点H，G分别为CD，CE的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西53°的方向上，且HC＝480m，则隧道AB的长约为（　　）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
A.1600 m B.1300 m C.980 m D.900 m
【举一反三1】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，AC＝12km，C＝5km，则A，B两岛之间的距离为（　　）
A.12km B.13km C.14km D.17km
【举一反三2】如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°，则步道AE的长度为 　　米（结果保留根号）．
【举一反三3】为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：≈1.73）
（1）求步道BC的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？1.3解直角三角形
【题型1】解直角三角形 8
【题型2】解直角三角形求边长 11
【题型3】解直角三角形求三角函数值 16
【题型4】解直角三角形求图形面积 22
【题型5】解直角三角形的应用—线段长度问题 26
【题型6】解直角三角形的应用—距离高度问题 31
【题型7】解直角三角形的应用—坡度坡角问题 36
【题型8】解直角三角形的应用—仰角俯角问题 40
【题型9】解直角三角形的应用—方向角问题 48
【知识点1】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；
②三边之间的关系：a2+b2=c2；
③边角之间的关系：
sinA==，cosA==，tanA==．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋 和平区期末）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（　　） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】根据勾股定理可以求得AB的长，再根据锐角三角函数，即可求得sinB的值． 【解答】解：由图可得，
AB===3，
∴sinB===，
故选：D． 【知识点2】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 1.（2024 湖北三模）如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　） A．mB．10mC．mD．m
【答案】B 【分析】在Rt△ABC中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边AC的长度． 【解答】解：由在Rt△ABC中，cos∠ACB==，
设BC=4x,AC=5x,
则AB=3x,
则sin∠ACB==；
又∵AB=6m,
∴AC=10m；
故选：B． 2.（2024 沙坪坝区校级自主招生）在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中，AB表示窗户，且AB=2.82米，△BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.2）（　　） A．1.2米B．1.5米C．1.9米D．2.5米
【答案】B 【分析】如图所示，假设CD为x,则有在Rt△BCD中可利用tan∠BDC=得到BC=CD tan∠BDC=0.32x,在Rt△ACD中利用tan∠ADC=，得到AC=CD tan∠ADC=2.2x,则AB=AC-BC，列方程可得
2.82=2.2x-0.32x,解得x的值即可． 【解答】解：设CD为x,
在Rt△BCD中，∠BDC=α=18°，
∵tan∠BDC=，
∴BC=CD tan∠BDC=0.32x,
在Rt△ACD中，∠ADC=β=66°，
∵tan∠ADC=，
∴AC=CD tan∠ADC=2.2x,
∵AB=AC-BC，
∴2.82=2.2x-0.32x,
解得：x=1.5．
答：CD长约为1.5米．
故选：B． 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 1.（2024秋 蚌埠期末）小明沿着坡比为的山坡向上走了300m,则他升高了（　　） A．mB．150mC．mD．100m
【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角∠A=30°，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了300m,根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i=1：，
∴tan∠A=1：=，
∴∠A=30°，
∵AB=300m,
∴BE=AB=150（m）．
∴他升高了150m.
故选：B． 2.（2024秋 泰山区期末）如图，市政府准备修建一座高AB=5米的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】连接AC，可得直角三角形ABC，根据∠ACB的余弦值可设BC=4k,则AC=5k,根据勾股定理可得AB=3k,根据AB的具体值可得k的值，再乘5即可得到AC的长． 【解答】解：连接AC．
由题意得：∠ABC=90°．
∵∠ACB的余弦值为，
∴设BC=4k,则AC=5k.
∴AB=3k.
∵AB=5米，
∴3k=5．
解得：k=．
∴AC=5k=m.
故选：A． 【知识点4】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 1.（2024 和平区模拟）如图，为测楼房BC的高，在距楼房50米的A处，测得楼顶的仰角为a,则楼房BC的高为（　　） A．50tana米B．米C．50sina米D．米
【答案】A 【分析】根据三角形三角函数的计算可以求得BC、AC的关系，根据AC即可求得BC的长度，即可解题． 【解答】解：在直角△ABC中，sinα=，cosα=，
∴=tanα，
∴BC=AC tanα=50tanα．
故选：A． 【知识点5】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 1.（2024秋 金堂县期末）如图，小颖家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在距她家北偏东60°方向的400米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（　　） A．200米B．200米C．米D．400米
【答案】A 【分析】在Rt△AOB中，由∠AOB=30°可知AB=AO，由此即可解决问题． 【解答】解：由题意∠AOB=90°-60°=30°，OA=400米，
∵AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∴AB=AO=200米．
故选：A． 2.（2024秋 肥城市期中）上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图）．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为（　　） A．20海里B．海里C．海里D．海里
【答案】B 【分析】过点B作BN⊥AM于点N．根据三角函数求BN的长，从而求BM的长． 【解答】解：如图，过点B作BN⊥AM于点N．
由题意得，AB=40×=20海里，∠ABM=105°．
作BN⊥AM于点N．
在直角三角形ABN中，BN=AB sin45°=10．
在直角△BNM中，∠MBN=60°，则∠M=30°，
所以BM=2BN=20（海里）．
故选：B．
【题型1】解直角三角形
【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）
A.1 B.2 C. D.
【答案】B
【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用相似三角形的性质可求出＝＝＝，再根据tan∠BCD＝，设参数表示AC、BC即可求出答案．
过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
故选：B．
【举一反三1】下列条件中，不能解直角三角形的是（　　）
A.已知两锐角 B.已知两条边 C.已知三边 D.已知一边和一锐角
【答案】A
【解析】由于在直角三角形中，除了直角外，其余5个元素只要知道2个（至少有一条边）就可以求出其余3个，由此可以判定哪个选择项正确．
在直角三角形中，除了直角外，其余5个元素只要知道2个（至少有一条边）就可以求出其余3个，
不能解直角三角形的是A，
故选：A．
【举一反三2】（1）在△ABC中，∠A＝90°，设∠B＝θ，AC＝b，则AB＝　　（用b和θ的三角函数表示）．
（2）在△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝3，则cosA＝　　．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】（1）根据三角函数定义求解即可；
（2）先根据△ABC的三边关系判断出其形状，再利用锐角三角函数的定义解答即可．
（1）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝θ，AC＝b，
∴tanB＝＝，
∴AB＝，
故答案为：；
（2）△ABC中，AC＝，BC＝，AB＝3，
∴+＝32，
即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°．
∴cosA＝＝，
故答案为：．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，且c＝4，a＝2，解这个直角三角形．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，
∴b＝＝＝2，
∴b＝c，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴b＝2，∠B＝30°，∠A＝60°．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，解此直角三角形．
【答案】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30，
∵c＝8，
∴b＝4，
∴a＝＝＝12．
【题型2】解直角三角形求边长
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b边及∠B，则斜边为（　　）
A.bsinB B. C.bcosB D.
【答案】B
【解析】根据三角函数的定义解答．
∵∠C＝90°，则c边为斜边．
又∵sinB＝，cosB＝，
A、bsinB＝b×≠c，∴此选项不对；
B、＝＝b×＝c，∴此选项符合题意；
C、bcosB＝b×，不正确；
D、不正确．
故选：B．
【举一反三1】如图所示，在△ABC中，已知c＝，∠A＝45°，∠B＝60°，则a的值是（　　）
A.3﹣ B.3﹣3 C.﹣1 D.5﹣
【答案】A
【解析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD＝30°，AD＝DC，设BD＝x，则AD＝DC＝x，BC＝2x，得出方程x+x＝，求出即可．
过C作CD⊥AB于D，
∵∠A＝45°，
∴∠ACD＝∠A＝45°，
∴CD＝AD，
设BD＝x，
∵∠CDB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BC＝a＝2x，由勾股定理得：CD＝x＝AD，
∵AB＝c＝，
∴BD＝，
即x+x＝，
x＝
∴a＝2x＝3﹣，
故选：A．
【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinB＝，则AC等于（　　）
A.25 B.12 C.9 D.16
【答案】C
【解析】根据正弦的定义及条件求解即可．
如图，根据题意得：
，
∵AB＝15，
∴AC＝9．
故选：C．
【举一反三3】如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且，AB＝4，则AD的长为　　．
【答案】
【解析】根据等角的余角相等，得∠BAC＝∠ADE＝α；根据锐角三角函数定义可求AC的长，运用勾股定理求BC的长，即为AD的长．
在△ABC与△AED中，
∵DE⊥AC于E，∠ABC＝90°，
∠EAD＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ADE＝α．
∴cos∠BAC＝，
∴AC＝＝．
∴BC＝＝．
∴AD＝BC＝．
故答案为：
【举一反三4】在△ABC中，AC＝4，∠A＝30°．
（1）如图1，当∠C＝90°时，求BC；
（2）如图2，当∠C＝105°时，求BC．
【答案】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，
∴，
∵AC＝4，
∴，
∴，
∴．
（2）作CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠1＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∠2＝∠BCA﹣∠1＝105°﹣∠1＝105°﹣60°＝45°，
∴∠B＝90°﹣∠2＝90°﹣45°＝45°，
在Rt△CDA中，
∵∠A＝30°，CA＝4，
∴，
∵∠B＝∠2，
∴BD＝CD＝2，
∴．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AD⊥BC，BF⊥AC，AC＝8，BD＝2，，BF交AD．求：
（1）AD的长；
（2）tan∠FBC的值．
【答案】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∵BD＝2，
∴AB＝6，
∴；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
由（1）知，
由勾股定理得：，
∴AD＝CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠C＝45°，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC＝90°，
∴∠FBC＝45°，
∴tan∠FBC＝tan45°＝1．
【题型3】解直角三角形求三角函数值
【典型例题】等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．
如图，作AD⊥BC于D点．
则CD＝5cm，
AB＝AC＝13cm．
∴底角的余弦＝．
故选：A．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为（　　）
A. B.3 C. D.
【答案】D
【解析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用圆的性质得出CO，BC的长，即可得出答案．
∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），
∴BO＝3，AO＝4，
∴AB＝＝5，
∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，
∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，
∴sin∠C＝＝，
故选：D．
【举一反三2】如图，把一根4.5米长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长1米时它离地面的高度是0.6米，又量得竿顶与坝脚的距离BC＝2.8米，∠CBF记作α，下列式子正确的是（　　）
A.sinα＝ B.cosα＝ C.sinα＝ D.tanα＝
【答案】A
【解析】作CF⊥AB于点F，利用杆长和影长求得CF的长，然后利用三角函数求得结论．
作CF⊥AB于点F，
由题意得：＝，
∵AD＝1米，AC＝4.5米，
∴，
解得：CF＝2.7米，
∴sinα＝＝＝，
故选：A．
【举一反三3】在平面直角坐标系的第一象限中，有一点P（x，y），记r＝|OP|＝．若OP与x轴正方向所夹的锐角为α，则sinα＝　　，cosα＝　　，tanα＝　　．
【答案】，，．
【解析】由锐角的三角函数定义，即可求解．
过点P作PM⊥x轴于点H，则PH＝y，OH＝x．
∴sinα＝＝＝，cosα＝＝，tanα＝．
故答案为：，，．
【举一反三4】如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC＝2，则tanD＝　　．
【答案】2
【解析】连接BC可得RT△ACB，由勾股定理求得BC的长，进而由tanD＝tanA＝可得答案．
如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝6，AC＝2，
∴BC＝＝＝4，
又∵∠D＝∠A，
∴tanD＝tanA＝＝＝2．
故答案为：2．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，sinC＝，AC＝8，BD平分∠CBA交AC边于点D．求：
（1）线段AB的长；
（2）tan∠DBA的值．
【答案】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，
∴sinC＝＝，BC2﹣AB2＝AC2，
∴可设AB＝3k，则BC＝5k，
∵AC＝8，
∴（5k）2﹣（3k）2＝82，
∴k＝2（负值舍去），
∴AB＝3×2＝6；
（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD＝x，则CD＝8﹣x．
∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB＝90°，
∴DE＝AD＝x．
在Rt△BDE与Rt△BDA中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），
∴BE＝BA＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝5×2﹣6＝4．
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝90°，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AD＝3，
∴tan∠DBA＝＝＝．
【举一反三6】如图在直角△ABC中，AC BC，AC＝BC＝2，在BC上取一点D，使∠DAC＝30°，延长AD至E，使BE∥AC．
（1）求的值；
（2）求sin∠BAD．（注：不能用两角和差的正余弦公式）
【答案】解：（1）∵AC BC，
∴∠C＝90°．
在Rt△ACD中，
∵tan∠DAC＝，
∴CD＝tan30°×2＝×2＝．
∴BD＝BC﹣CD＝2﹣＝．
∵∵BE∥AC，
∴∠EBC＝∠C＝90°．
又∵∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC∽△EDB．
∴＝＝﹣1．
（2）过点B作BM⊥AE，垂足为M．
在Rt△ACB中，
∵AC＝BC＝2，
∴AB＝2．
在Rt△BMD中，
∵∠ADC＝∠BDE＝60°，，BD＝，
sin∠BDE＝，
∴BM＝sin60°×BD
＝×
＝．
在Rt△BMA中，
sin∠BAD＝＝＝．
【题型4】解直角三角形求图形面积
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，△ABC的周长为60，那么△ABC的面积为（　　）
A.60 B.30 C.240 D.120
【答案】D
【解析】由tanA的值，利用锐角三角函数定义设出BC与AC，进而利用勾股定理表示出AB，由周长为60求出x的值，确定出两直角边，即可求出三角形面积．
如图所示，由tanA＝，
设BC＝12x，AC＝5x，根据勾股定理得：AB＝13x，
由题意得：12x+5x+13x＝60，
解得：x＝2，
∴BC＝24，AC＝10，
则△ABC面积为120，
故选：D．
【举一反三1】如图，∠BAD＝90°，∠ADC＝15°，∠ABC＝30°，，该图形的面积为（　　）
A.2 B. C. D.
【答案】A
【解析】连接DB和AC，过点C分别作AD，AB，DB的垂线，垂足分别为E，G，F，根据题意得出∠ADB＝30°，进而结合题意可得CD，CB分别为∠ADB，∠ABC的角平分线，根据等面积法求得CF，进而即可求解．
如图所示，连接DB和AC，过点C分别作AD，AB，DB的垂线，垂足分别为E，G，F，
∵∠BAD＝90°，，
∴，，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABD＝60°，
∵∠ADC＝15°，∠ABC＝30°，
∴CD，CB分别为∠ADB，∠ABC的角平分线，
∴CE＝CF＝CG，
设CE＝CF＝CG＝a，
∴，
∴，
解得：，
∴该图形的面积为．
故选：A．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝15，则△ABC的面积为 　　．
【答案】270．
【解析】根据题意画图，由sinA＝，BC＝15，可得＝＝，即可算出BC的值，再根据勾股定理即可算出AC的值，再根据S△ABC＝代入计算即可得出答案．
如图，
∵sinA＝，AB＝13，
∴＝＝，
∴AB＝39，AC＝＝＝36，
∴S△ABC＝＝×15×36＝270．
故答案为：270．
【举一反三3】小明在研究“利用木板余料裁出最大面积的矩形”时发现：如图1，Rt△ABC是一块直角三角形状的木板余料（∠B＝90°），以∠B为内角裁一个矩形当DE，EF是中位线时，所裁矩形的面积最大．若木板余料的形状改变，请你探究：
（1）如图2，现有一块五边形的木板余料ABCDE，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝20cm，BC＝30cm，AE＝20cm，CD＝10cm．现从中裁出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，则该矩形的面积为　400　cm2．
（2）如图3，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝25cm，BC＝54cm，CD＝30cm，且tanB＝tanC＝，从中裁出顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为　486　cm2．
【答案】解：（1）如图2中，延长AE交CD的延长线于F．则四边形ABCF是矩形．
∴AF＝BC＝30cm，AB＝CF＝20cm，
∵AE＝20c，CD＝10cm，
∴EF＝DF＝10cm，
∵∠F＝90°，
∴∠AEM＝∠FED＝∠FDE＝∠CDN＝45°，
∴AM＝AE＝20cm，CD＝CN＝10cm，
∴BM＝40cm，BN＝40cm，
∴△BMN的内接矩形的面积的最大值＝20×20＝400（cm2）．
（2）如图3中，
∵四边形MNPQ是矩形，tanB＝tanC＝，
∴可以假设QM＝PN＝4k，BM＝CN＝3k，
∴MN＝54﹣6x，
∴S矩形MNPQ＝4k（54﹣6k）＝﹣24（k﹣）2+486，
∵﹣24＜0，
∴k＝时，矩形MNPQ的面积最大，最大值为486，
此时BQ＝PC＝5k＝，符合题意，
∴矩形MNPQ的面积的最大值为486cm2．
故答案为：（1）400；（2）486．
【举一反三4】矩形的周长是28，对角线与一边的夹角的正弦值为，求这个矩形的面积．
【答案】解：如图，矩形ABCD中，对角线DB与一边CB的夹角∠CBD的正弦值为，
即sin∠CBD＝＝，
设CD＝3a，BD＝5a，则BC＝4a．
∵矩形的周长是28，
∴CD+BC＝14，
∴a＝2，
∴CD＝6，BC＝8，
面积＝6×8＝48．
【题型5】解直角三角形的应用—线段长度问题
【典型例题】工人师傅要在长方形木板上截取一块扇形板，若该扇形木板的半径为10cm，弧AB长为20cm，则工人师傅计算弦AB的长大约为（参考数据：sin1≈0.84，cos1≈0.54）（　）
A.16.8cm B.10.8cm C.11.9cm D.18.5cm
【答案】A
【解析】过圆心O点作弦AB的垂线，垂足为H，利用弧长和半径求出圆心角，利用三角函数求弦长即可．
根据题意作图如下，过O点作弦AB的垂线，垂足为H，
∵半径为10cm，弧AB长为20cm，
∴∠AOB＝＝，
∴∠BOH＝×＝，
∵sin1≈0.84，
即sin≈0.84，
∴AB＝2BH＝2OB sin∠BOH＝2×10×0.84＝16.8（cm），
故选：A．
【举一反三1】河堤横断面如图所示，AB＝10米，tan∠BAC＝，则AC的长是（　　）米．
A.5 B.10 C.15 D.10
【答案】A
【解析】可由tan∠BAC＝得到BC、AC间关系，利用勾股定理求AC；也可由tan∠BAC＝得到∠BAC的度数，利用该角的余弦函数及余弦值求AC；
法一：在Rt△ABC中，
∵tan∠BAC＝＝，
∴BC＝AC
∵AC2+BC2＝AB2
即AC2+AC2＝102
∴AC＝5（米）
故选：A
法二：∵tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC＝＝cos30°＝
∴AC＝×10＝5（米）
故选：A．
【举一反三2】某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB∥DC，∠BAE＝90°，根据图中的数据计算CD的长为　　cm（精确到1cm）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】22
【解析】作DM⊥AB于M，在Rt△BCN中，由三角函数求出BC≈83.3（cm），BN≈66.7（cm），求出AN的长，证出△ADM是等腰直角三角形，得出AM＝DM＝50cm，即可得出CD的长．
作DM⊥AB于M，如图所示：在Rt△BCN中，BC＝CN÷cos37°＝50÷0.8＝62.5（cm），
∴BN＝BC sin37°＝62.5×0.80≈37.5（cm），
∴AN＝AB+BN＝34+37.5＝71.5cm，
∵∠DAE＝45°，∠BAE＝90°，
∴∠DAM＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝50cm，
∴CD＝MN＝AN﹣AM＝71.5﹣50≈22（cm）；
故答案为：22．
【举一反三3】如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为12m，∠A＝26°，则中柱BC（C为底边中点）的长约为　　m．（精确到0.01m）
【答案】2.93
【解析】在Rt△ABC中运用三角函数定义求解．
在△ABC中，BC⊥AC，AC＝×跨度＝6．
∵tanA＝且∠A＝26°，
∴BC＝ACtan26°＝6×tan26°≈2.93．
【举一反三4】如图，旅游部门准备为某景点修建一条索道AB，无人机在P点测到索道底端A和顶端B的俯角分别为67.4°，45°，已知AB的坡角为36.9°，P点到地面MN的距离PH＝480米，求索道AB的长．参考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75，sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40．
【答案】解：如图：过点B作BC⊥PE，垂足为C，延长CB交MN于点D，
由题意得：PH＝CD＝480米，PC＝DH，PE∥DH，
∴∠EPA＝∠PAH＝67.4°，
设PC＝DH＝x米，
在Rt△AHP中，AH＝≈＝200（米），
∴AD＝DH﹣AH＝（x﹣200）米，
在Rt△PCB中，∠CPB＝45°，
∴BC＝PC tan45°＝x（米），
在Rt△ABD中，∠BAD＝36.9°，
∴BD＝AD tan36.9°≈0.75（x﹣200）米，
∵BD+BC＝CD，
∴0.75（x﹣200）+x＝480，
解得：x＝360，
∴AD＝x﹣200＝160（米），
在Rt△ABD中，∠BAD＝36.9°，
∴AB＝≈＝200（米），
答：索道AB的长约为200米．
【题型6】解直角三角形的应用—距离高度问题
【典型例题】某兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动，如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想，小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝108°（点A′是点A的对应点），用眼舒适度较为理想，则此时顶部边缘A′处离地面的高度A′D为（　　）
A.20 tan72° B.20 sin72° C. D.
【答案】B
【解析】根据∠AOB＝150°，得到∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，再根据AC＝10cm，得到AO＝A′O＝20cm，在Rt△A′DO中根据三角函数即可求解．
∵∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOB＝30°，
在Rt△ACO中，AC＝10cm，
∴，
由题意得：AO＝A′O＝20cm，
∵∠A′OB＝108°，
∴∠A′OD＝180°﹣∠A′OB＝72°，
在Rt△A′DO中，A′D＝A′Osin72°＝20 sin72°cm
∴此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为20 sin72°cm，
故选：B．
【举一反三1】2023年央视兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿．舞者上半身AB长为m，下半身BC长为n，下半身与水平面夹角为θ（60°＜θ＜90°），与上半身AB夹角为120度（即∠ABC＝120°）如图2，则此时舞者的铅直高度AD的长为（　　）
A. B.nsinθ+msin（θ﹣60°） C.ncosθ+msin（θ+60°） D.nsinθ+mcos（θ﹣60°）
【答案】B
【解析】过点B作BE⊥CD于点E，作BF⊥AD于点F，证明四边形BEDF为矩形，得出BE＝DF，∠EBF＝90°，求出∠ABF＝120°﹣90°﹣（90°﹣θ）＝θ﹣60°，然后根据三角函数分别求出BE＝BC×sin∠BCE＝nsinθ，AF＝AB×sin∠ABF＝msin（θ﹣60°），即可得出答案．
过点B作BE⊥CD于点E，作BF⊥AD于点F，如图所示：
∵∠BED＝∠EDF＝∠BFD＝90°，
∴四边形BEDF为矩形，
∴BE＝DF，∠EBF＝90°，
∵∠BCE＝θ，
∴∠CBE＝90°﹣θ，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABF＝120°﹣90°﹣（90°﹣θ）＝θ﹣60°，
在Rt△BCE中，BE＝BC×sin∠BCE＝nsinθ，
∴DF＝BE＝nsinθ，
在Rt△ABF中，AF＝AB×sin∠ABF＝msin（θ﹣60°），
∴AD＝DF+AF＝nsinθ+msin（θ﹣60°）．
故选：B．
【举一反三2】如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A.米 B.4sinα米 C.米 D.4cosα米
【答案】B
【解析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα＝，∴A′C＝4sinα，
故选：B．
【举一反三3】如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝140°，一楼高（h）为3.5m，则乘手扶电梯从起点（B）到终点（C）有　　米（结果精确到0.1，sin40°≈0.64）．
【答案】5.4
【解析】作CE⊥AB于点E，在直角△BCE中，已知一个锐角和一直角边，根据正弦函数即可求解．
作CE⊥AB于点E，则∠CBE＝180﹣140＝40°．
在直角△BCE中，sin∠CBE＝，
∴BC＝＝≈5.4（米）．
即乘手扶电梯从起点（B）到终点（C）有5.4米．
【举一反三4】如图，在太阳光的照射下一棵树的影长为10米，若太阳光线与地面所成的角为25°，则这棵树的高度为　　米．（精确到0.01米）
【答案】4.14
【解析】利用所给角的正切函数即可求解．
这棵树的高度＝10×tan25°≈4.14（米）．
故答案为：4.14．
【举一反三5】敦煌首航100兆瓦熔盐塔式光热电站是“中国智慧”和“中国建设”的体现．它的原理简单说就是利用镜面反射太阳光线，通过一个特殊的装置将太阳光转化成电能．随着太阳角度的变化，每个定日镜都不停自动调整角度，保持最佳的反射角度．图2是反射示意图，由反射原理，入射光线与镜面的夹角α等于反射光线与镜面的夹角β．已知定口镜的长AB为12米，点C为AB中点，定日镜绕点C旋转，当入射光线与镜面的夹角为57度时，反射光线恰好照在吸热塔顶端F处．此时镜面AB与支撑柱CD的夹角为60度，点B到地面的距离BE是5米，支撑柱到吸热塔底端的距离是500米．
（sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
（1）求支撑柱CD的高度；
（2）求吸热塔FH的高度．
【答案】解：（1）如图过点B作BG⊥CD于点G，
∵点C是AB中点，AB＝12米，
∴BC＝AB＝6米，
在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∠BCG＝60°，
∴CG＝BC cos60°＝6×12＝3（米），
又∵BE⊥DE，CD⊥DE，
∴∠DGB＝∠BED＝∠GDE＝90°，
∴四边形DEBG是矩形，
∴DG＝BE＝5米，
∴CD＝CG+DG＝8（米），
∴支撑柱的高度为8米；
（2）如图过点C作CM⊥FH于点M，
根据题意，∠β＝∠α＝57°，DH＝500米，
∵FH∥CD，
∴∠DCM＝∠FMC＝90°，
∴∠MCB＝∠DCM﹣∠BCG＝90°﹣60°＝30°，
∴∠FCM＝∠β﹣∠MCB＝57°﹣30°＝27°，
∴∠CMH＝∠HDC＝∠DCM＝90°，
∴四边形CDHM是矩形，
∴CM＝DH＝500米，MH＝CD＝8米，
在Rt△FCM 中，∠FMC＝90°，∠FCM＝27°，
∴FM＝CM tan27°≈500×0.51＝255（米），
∴FH＝FM+MH＝255+8＝263（米），
∴吸热塔的高度为263米．
【题型7】解直角三角形的应用—坡度坡角问题
【典型例题】如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（　　）
A.8m B.10m C. D.
【答案】B
【解析】根据余弦的定义得到＝，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
在Rt△ABC中，cos∠ACB＝，
则＝，
设BC＝4x m，则AC＝5x m，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，即（5x）2＝62+（4x）2，
解得：x＝2（负值舍去），
则AC＝5x＝10m，
故选：B．
【举一反三1】小明沿着坡角为30°的斜坡向上走了100m，则他升高了（　）
A. B.50m C. D.100m
【答案】B
【解析】利用直角三角形边角关系解答即可．
升高的高度＝100×sin30°＝50（m），
故选：B．
【举一反三2】今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的温博烧烤之后的新放游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为t＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 　米．
【答案】6
【解析】根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
设他下降的高度AC为x米，
∵斜坡的坡度为i＝1：2，
∴这位同学滑行的是水平距离BC为2x米，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，
解得：x＝±6（负值舍去），
∴他下降的高度为6米，
故答案为：6．
【举一反三3】如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．
（1）求显示屏所在部分的宽度CM；
（2）求镜头A到地面的距离．
（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果保留一位小数）
【答案】解：（1）∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为35°，
∴显示屏上沿CD与水平地面所成的角的度数为35°．
过点C作交点D所在铅垂线的垂线，垂足为M，则∠DCM＝35°．
∵CD＝15cm，
∴CM＝CDcos∠DCM＝15×0.819≈12.3（cm），
（2）如图，连接AC，作AH垂直MC反向延长线于点H，
∵AB＝20cm，O为AB的中点，
∴AO＝10cm．
∵CD＝15cm，CE＝2ED，
∴CE＝10cm．
∵CD∥AB，OE⊥AB，
∴四边形ACEO为矩形，AC＝OE＝10cm．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACH+∠DCM＝∠ACH+∠CAH＝90°．
∴∠CAH＝∠DCM＝35°．
∴AH＝AC cos35°＝10×0.819＝8.19（cm），
∴镜头A到地面的距离为60+8.19≈68.2cm．
【举一反三4】某市为了加固长为90米、高为5米、坝顶宽为4米、迎水坡和背水坡坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡坡度改为1：3，迎水坡坡度不变，坝顶宽不变．
（1）大坝横截面积增加多少平方米？
（2）如果规定最多20天完成此项工程，那么每天至少要完成多少土方数？
【答案】解：（1）过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，过F作FM⊥AB于M，过E作EN⊥AB于N，
则四边形CDHG和四边形EFMN是矩形，
即CG＝DH＝5，FM＝EN＝5+1＝6，
∵梯形BCDQ的迎水坡和背水坡的坡度都是1：1，
∴BG＝QH＝5，
同理AM＝6×3＝18，EN＝6，
∴AQ＝18+4+10＝32，BQ＝5+4+5＝14，
则BM＝4，AQ＝18+14﹣4＝28，
大坝横截面面积增加×（4+28）×6﹣×（4+14）×5＝51（m2），
答：大坝横截面积增加51平方米；
（2）∵加固长为90米的防洪大坝，
∴需要的总土方量为：90×51＝4590（立方米），
则每天至少要完成土方数为：4590÷20＝229.5（立方米）．
答：每天至少要完成229.5立方米土方数．
【题型8】解直角三角形的应用—仰角俯角问题
【典型例题】如图，某数学实践小组测量操场的旗杆AB的高度，操作如下：
（1）在点D处放置测角仪，量得测角仪的高度CD为a；
（2）测得仰角∠ACE＝α；
（3）量得测角仪到旗杆的水平距离BD为b．
则旗杆的高度可表示为（　　）
A.a+btanα B.a+bsinα C. D.
【答案】A
【解析】过点C作CF⊥AB于点F，在直角三角形ACF中用B表示出AF，再利用线段的和求出旗杆的高度即可．
过点C作CF⊥AB于点F，如图
由题意，知四边形BDCF是矩形，
∴FC＝BD＝b，FB＝CD＝a，
在Rt△ACF中，
∵tanα＝＝，
∴AF＝btanα，
∴AB＝BF+AF＝a+btanα，
故选：A．
【举一反三1】在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，BC＝19.2m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，则气球离地面的高度AD约为（　　）（其中sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.48）
A.34m B.53.2m C.40m D.59.2m
【答案】D
【解析】根据题意可得：AD⊥BD，然后设CD＝x米，则BD＝（19.2+x）米，分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
由题意得：AD⊥BD，
设CD＝x米，
∵BC＝19.2米，
∴BD＝BC+CD＝（19.2+x）米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，
∴AD＝BD tan45°＝（19.2+x）米，
在Rt△ACD中，∠ACD＝56°，
∴AD＝CD tan56°≈1.48x（米），
∴19.2+x＝1.48x，
解得：x＝40，
∴AD＝19.2+x＝59.2（米），
∴气球离地面的高度AD约为59.2米，
故选：D．
【举一反三2】如图，小文准备测量自己所住楼房与对面楼房的水平距离，他在对面楼房处放置一个3m的标杆CD，然后他在A处测得C点的俯角β为53°，再测得D点的俯角α为45°，则两幢楼房之间的水平距离大约为（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（　　）
A.9.75m B.9.5m C.92.5m D.9m
【答案】D
【解析】延长CD交AE于点F，则AF＝BC，∠AFC＝90°，然后设AF＝BC＝x米，在Rt△AFD中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出CF的长，最后在Rt△AFC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
如图：延长CD交AE于点F，
则AF＝BC，∠AFC＝90°，
设AF＝BC＝x米，
在Rt△AFD中，∠FAD＝45°，
∴DF＝AF tan45°＝x（米），
∵CD＝3米，
∴CF＝CD+DF＝（x+3）米，
在Rt△AFC中，∠FAC＝53°，
∴tan53°＝，
解得：x＝9，
经检验：x＝9是原方程的根，
∴BC＝9米，
∴两座楼房之间的水平距离大约为9米，
故选：D．
【举一反三3】如图所示是消防员救援时攀爬云梯的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为 　　m．（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】11．
【解析】延长CD交AE于点F，得Rt△ACF和矩形BCFE，得出FE＝BC，再由锐角三角函数定义求出AF的长，即可得出结果．
如图，延长CD交AE于点F，
∵AE⊥BE，BC⊥BE，
∴∠CBE＝∠AEB＝90°，
∵CD∥BE，
∴∠CFE＝90°，
∴∠AFC＝90°，四边形BCFE是矩形，
∴FE＝BC＝1.26m，
由题意得：∠ACD＝70°，
在Rt△AFC中，AF＝AC sin∠ACD≈10.4×0.94＝9.78（m），
∴AE＝AF+EF＝9.78+1.26≈11（m），
故答案为：11．
【举一反三4】某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图，小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°，则信号发射塔PQ的高度为　米．（1.732，用四舍五入法把结果精确到0.1米）
【答案】94.6米．
【解析】延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米，在直角△APC和直角△BPC中，根据三角函数利用x表示出AC和BC，根据AB＝AC﹣BC即可列出方程求得x的值，再在直角△BQC中利用三角函数求得QC的长，则PQ的长度即可求解．
设PC为x米，
在直角△APC中，∠PAC＝45°，
则AC＝PC＝x米；
∵∠PBC＝60°
∴∠BPC＝30°
在直角△BPC中，BC＝PC＝x米，
∵AB＝AC﹣BC＝60米，
则x﹣x＝60，
解得：x＝90+30，
则BC＝（30+30）米．
在Rt△BCQ中，QC＝BC＝（30+30）＝（30+10）米．
∴PQ＝PC﹣QC＝90+30﹣（30+10）＝60+20≈94.6（米）．
答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．
【举一反三5】脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为30°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为63.5°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．
（1）求屋顶到横梁的距离AG（结果精确到0.1m）；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
（参考数据sin63.5°≈0.89，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.00，≈1.73）
【答案】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，
∴AG⊥EF，EG＝FG＝EF＝×12＝6（m），∠AEG＝∠ACB＝30°，
在Rt△AGE 中，∠AGE＝90°，∠AEG＝30°，EG＝6，
∵tan∠AEG＝，
∴AG＝EG tan∠AEG＝6×tan30°＝6×≈2×1.73＝3.46≈3.5（m），
答：屋顶到横梁的距离AG约为3.5米；
（2）如图2，过E作EH⊥CB于H，设EH＝x m，
在Rt△EDH 中，∠EHD＝90°，∠EDH＝63.5°，
∵tan∠EDH＝，
∴DH＝＝≈，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝30°，
∴tan∠ECH＝，
∴CH＝＝＝x m，
∵CH﹣DH＝CD＝8米，x﹣＝8 m，
1.73x﹣0.5x＝8，
解得：x≈6.5，
∵四边形EHBG为矩形，
∴EH＝BG＝6.5米，
∴AB＝AG+BG＝3.46+6.5＝9.96≈10（米）．
答：房屋的高AB约为10米．
【举一反三6】如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度AD．
已知测角仪的高度为1.6米，在水平线MD上点M处测得建筑物最高点A的仰角为22°，沿MD方向前进33米，达到点N处，测得点A的仰角为45°，求建筑物的高度AD．（结果精确到0.1米，参考数据：sin22°≈0.37，
cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）
【答案】解：延长BC交AD于E，
则四边形BMNC，四边形BMDE是矩形，
∴BC＝MN＝33m，DE＝CN＝BM＝1.6m，
∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
设AE＝CE＝x，
∴BE＝33+x，
∵∠ABE＝22°，
∴tan22°＝＝≈0.40，
解得：x＝22（m），
∴AD＝AE+ED＝22+1.6＝23.6（m），
答：建筑物的高度AD约为23.6m．
【题型9】解直角三角形的应用—方向角问题
【典型例题】如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为200m和100m，测绘点H，G分别为CD，CE的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西53°的方向上，且HC＝480m，则隧道AB的长约为（　　）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
A.1600 m B.1300 m C.980 m D.900 m
【答案】B
【解析】先在Rt△CGH中，根据三角函数的定义求出HG，再根据三角形中位线定理求出DE，即可得的答案．
在Rt△CGH中，∠CHG＝53°CH＝480m，cos53°＝，
∴HG≈＝800（m），
∵点H，G分别为CD，CE的中点，
∴HG是△CDE的中位线，
∴HG＝DE，
∴DE＝2HG≈1600m，
∴AB＝DE﹣AE﹣BD≈1600﹣200﹣100＝1300（m）．
答：隧道AB的长约为1300m．
故选：B．
【举一反三1】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，AC＝12km，C＝5km，则A，B两岛之间的距离为（　　）
A.12km B.13km C.14km D.17km
【答案】B
【解析】根据方向角的定义，把已知的两个方向角转化为△ABC中的∠ACB，即∠ACB＝50°+40°＝90°；在Rt△ABC中，根据勾股定理可得AB＝，即可求得AB的值，从而解题．
由题意得∠ACB＝50°+40°＝90°，AC＝12km，BC＝5km．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝13（km）．
故选：B．
【举一反三2】如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°，则步道AE的长度为 　　米（结果保留根号）．
【答案】．
【解析】过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF＝AC＝200米，AF＝CD，可得△DEF是等腰直角三角形，从而得到米，EF＝DF＝200米，再由∠ABC＝30°，可得米，再由AF＝CD＝BC+BD米，即可求解．
如图，过点D作DF⊥AE交AE于点F，则DF＝AC＝200米，AF＝CD，
根据题意得：∠DEF＝45°，∠ABC＝∠EAB＝30°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴米，EF＝DF＝200米，
∵AC＝200米，
∴米，
∴米，
∴米．
故答案为：．
【举一反三3】为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形ABCD人行步道．经测量，点B在点A的正东方向．点D在点A的正北方向，AD＝1000米．点C正好在点B的东北方向，且在点D的北偏东60°方向，CD＝4000米．（参考数据：≈1.73）
（1）求步道BC的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从A跑到C有两条路线，分别是A→D→C与A→B→C．其中AD和AB都是下坡，DC和BC都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
【答案】解：（1）如图，过点C作CE⊥A交AD的延长线于点E，过点B作BG⊥CE于点G，
则∠CED＝∠CGB＝90°，四边形ABGE是矩形，
∴EG＝AB，BG＝AE，
∵∠CDE＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝30°，
∴DE＝CD＝×4000＝2000（米），
∴BG＝AE＝AD+DE＝1000+2000＝3000（米），
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴BC＝BG＝3000（米），
答：步道BC的长度为3000米；
（2）他选择路线A→B→C消耗的热量更多，理由如下：
由（1）可知，CE＝DE＝2000（米），CG＝BG＝3000米，
∴EG＝AB＝CE﹣CG＝（2000﹣3000）（米），
∴路线A→D→C消耗的热量为1000×0.07+4000×0.09＝430（千卡），
路线A→B→C＝（2000﹣3000）×0.07+3000×0.09≈412.9（千卡），
∵430＞412.9，
∴他选择路线A→D→C消耗的热量更多．

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