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湖南省岳阳市湘阴县城南四校2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题
一、单选题
1．下列函数中，变量是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象经过点（2，-2），那么函数图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限
3．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过 B．图象在第三、四象限
C．随的增大而减小 D．时，随的增大而减小
4．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．（为常数）
5．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x＋3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3 C．（x＋3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
7．不解方程，判定方程的根的情况是
A．无实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等实数根 D．只有一个实数根
8．已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
9．在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与（k为常数，k≠0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．一元二次方程的常数项是 ．
12．已知某市的耕地面积约为375 km2，人均占有的土地面积S(单位：km2/人)，随全市人口n(单位：人)的变化而变化，则S与n的函数关系式是 ．
13．为方程的解，则的值为 ．
14．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
15．在正数范围内定义运算“*”，其规则为a*b=a+b2，则方程x*（x+1）=5的解是 ．
16．如果直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为(3，2)，则它们的另一个交点B的坐标为 ．
17．如图所示，为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为 ．
18．反比例函数为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：；四边形的面积不变；当点是的中点时，则点是的中点，其中正确结论是 ．
三、解答题
19．选择适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
20．已知反比例函数，为常数，．
(1)若点在这个函数的图象上，求的值；
(2)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由．
21．已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a＝1，c＝4，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．
22．已知：关于x的方程，求证：方程有两个不相等的实数根．
23．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当R=10Ω时，求电流I（A）．
24．如如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数
的图象交于A、B两点．求：
（1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值．
25．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：
（1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
26．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△COE的面积；
（3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C A D A C B C
1．A
【详解】解：A、，符合反比例函数的定义，故本选项正确．
B、是一次函数，故本选项错误；
C、，y与x-1成反比例函数，故本选项错误；
D、，自变量的次数为2，故本选项错误；
故选A．
2．B
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（2，-2），
∴，得：m=-4，
∴该函数图象在第二、四象限，
故选：B．
3．D
【详解】解：A、把x=2代入得，y=3，则（2，-3）不在图象上，选项错误；
B、∵6＞0，则图象位于第一、三象限，选项错误；
C、当x＜0时或x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误；
D、当x＜0时，y随x的增大而减小，选项正确；
故选D．
4．C
【详解】解：A. 是分式方程，不是整式方程，故选项错误；
B. 可变形为3x-2=0，是一元一次方程；
C. 符合一元二次方程的定义，故选项正确；
D. （为常数），当a=0时，不是一元二次方程，故选项错误．
故选C．
5．A
【详解】解：
则，
∴x-1=0或x+4=0，
∴x1=1，x2=-4．
故选A．
6．D
【详解】解：x2﹣6x＝3，
方程两边加上9得：x2﹣6x＋9＝12，
写成平方得形式：（x﹣3）2＝12.
故选：D．
7．A
【详解】解：方程整理得：，∵△=，∴方程无实数根，故选A．
8．C
【详解】解：∵点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，
∴，，，
∴c＜a＜b
故选：C．
9．B
【详解】选项A中，由一次函数y=x+k的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y=x+k的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y=x+k的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C、D错误．
故选B.
10．C
【详解】解：设，
则，
∵点M在x轴上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去）
∴．
∵P点在反比例函数图象上，
∴．
故选：C．
11．
【详解】解：方程整理成一般式为，
∴一元二次方程的常数项是，
故答案为：．
12．.
【详解】解:晋江市的耕地面积约为375km2,人均占有的土地面积S(单位: km2/人),随全市人口n(单位:人)的变化而变化,
.S与n的函数关系式是:
故答案为:S=.
13．6
【详解】解：依题意得：a2+a-5=0，
解得a2+a=5，
所以a2+a+1=5+1=6．
故答案是：6．
14．﹣3
【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
15．x=1
【详解】∵x*（x+1）=5，
∴x+（x+1）2=5，
整理得x2+3x-4=0，
（x+4）（x-1）=0，
所以x1=-4（舍去），x2=1，
即x=1
16．（﹣3，﹣2）
【详解】因为直线y=mx过原点,双曲线y=的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称,A的坐标为(3,2),另一个交点B的坐标为( 3, 2).
故答案为(-3,-2 ).
17．6
【详解】解：在反比例函数中，，
解得.
∵反比例函数的图象位于第一、三象限，
∴.
故答案为：6.
18．
【详解】解：由于、在同一反比例函数图象上，
则与的面积相等，都为，正确；
，
又矩形、三角形、三角形为定值，
则四边形的面积不会变化，正确；
连接，点是的中点，
则和的面积相等，
的面积的面积，与的面积相等，
与的面积相等，
与的面积相等，
点一定是的中点，正确；
故答案为：．
19．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
或，
即，．
（2）解：，
，
，
，
或或或y，
即，．
20．(1)；
(2)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上，理由见解析．
【详解】（1）解：∵点在这个函数的图象上，
∴，
解得：；
（2）当时，反比例函数解析式为，
∴当时，，
故在这个函数的图象上，
∴当时，，
故不在这个函数的图象上．
21．△ABC为等腰三角形
【详解】解：∵方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根
∴△＝（﹣4）2﹣4b＝0
∴b＝4
∵c＝4
∴b＝c＝4
∴△ABC为等腰三角形．
22．见解析
【详解】证明：，
∵无论k取何值，，
∴，即，
∴方程有两个不相等的实数根．
23．（1）；（2）3.6A．
【详解】解：（1）由电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设（k≠0），
把（4，9）代入得：k=4×9=36，
∴．
（2） 当R=10Ω时，=3.6A．
24．（1）、；反比例函数解析式为，一次函数解析式为
（2）或
【详解】解：（1）由图象可知：、，
将点代入到反比例函数中，
可得，解得，
则反比例函数解析式为；
将点、点代入到一次函数中，
可得 ，解得，
则一次函数解析式为；
（2）由图象，知当或时，一次函数值大于反比例函数值．
25．（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【详解】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）．
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；
（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当x2=30时，y2=，
∴y1＜y2，
∴第30分钟注意力更集中．
（3）令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8，
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8，
∵27.8－8=19.8＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
26．（1）一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5．
（3）点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）．
【详解】
试题解析：（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（4，﹣3），
∴﹣3=，∴k=﹣12，∴反比例函数解析式为y=﹣，
∵y=ax+b的图象经过C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点，
∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1．
（2）∵一次函数的解析式为y=﹣x+1与y轴交于点A（0，1），∴S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5．
（3）如图，∵C（4，﹣3），∴OC==5，
①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．
②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解得x=，∴M4（，0）．
综上所述，点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）．

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