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2.1 认识有理数
世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔大约是8848.86 m,吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31 m。你能说出-154.31m的含义吗 怎样计算珠穆朗玛峰的海拔和吐鲁番盆地最低处的海拔相差多少呢
本章将在小学学习的基础上引入负数，将数的范围扩充到有理数。你将经历从具体情境中抽象出负数的过程，理解有理数运算的意义并进行正确运算，通过归纳、类比、转化等发现一些数学结论，提高运算能力和推理能力，发展应用意识等。
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分。两队答题情况如下表：
扣1分
加1分
得0分
问题1
（1）你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗 试完成下表。
参赛队 答对题的得分 答错题的得分 不回答题的得分
第一队
第二队
（2）如果用“+ 1”表示答对1题的得分，用“-1”表示答错1题的得分，那么你如何填写(1)中的表
+6
+8
-3
0
-2
0
问题2
下表是2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗
城市 北京 昆明 西安 哈尔滨
气温 -7℃～5℃ 7℃～13℃ -2℃～2℃ -19℃～-14℃
负数表示零下
正数表示零上
0℃
-5℃：零下5℃
你能读出下面温度计表示的温度吗？
0
10
5
10
5
15
20
10
5
10
5
15
20
0
甲
0
10
5
10
5
15
20
10
5
10
5
15
20
0
乙
议一议
归纳
　“加分与扣分”“上涨量与下跌量”“零上温度与零下温度”等都是具有相反意义的量.
　　我们可把其中一个量规定为正的，用正数表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示.
例：上涨3.3％记为+ 3.3％
下跌0.6％就记为 0.6％
像10，1.2，17…这样的数叫作正数，它们都比0大.
在正数前面加上“－”号的数叫作负数，例如－10，－3 …
你认为0应该放在什么地方？
0既不是正数，也不是负数
【归纳总结】
【问题探究】1.天气预报某天北京的温度为:－3～3°C，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？
【探究1】用正负数表示具有相反意义的量
变式1：
下列语句正确的是 (　　)
A.“黑色”和“白色”是具有相反意义的量
B.“快”和“慢”是具有相反意义的量
C.“向北4.5米”和“向南4.5米”是具有相反意义的量
D.“+15米”表示向东走了15米
C
【探究1】用正负数表示具有相反意义的量
变式3：
某商店出售的三种品牌的面粉包装袋上,分别标有(25±0.1)kg,(25±0.2)kg,(25±0.3)kg的字样,从中任意拿出不同品牌的两袋面粉,质量最多相差 (　　)
A.0.8 kg　　B.0.6 kg　　C.0.5 kg　　D.0.4 kg
B
解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈；
（2）-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g；
（3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有150g误差，即每袋大米的净含量最多是10kg+150g，最少是10kg-150g.
2.有理数的概念及分类
整数
分数
正整数：如 1、2、3……
零： 0
负整数：如－1、－2、－3…
有理数
整数与分数统称为有理数
正有理数
0
负有理数
正分数：如 ……
负分数：如 ……
有理数还可以怎样进行分类呢？
有理数
负有理数
正有理数
0
正整数
正分数
负整数
负分数
按符号分类
尝试 交流
(1)在现代生活中，手机微信支付已经成为一种新型的支付方式．如果微信零钱收入100元记为＋100元，那么微信零钱支出36元记为______.
(2)如果长江“水位下降20 cm”记作-20 cm，那么＋15 cm表示___________________.
例1
提示
一对具有相反意义的量中，若把其中一个量规定为正的，用正数表示，则与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示.
-36元
水位上升15 cm
【例题讲解】加工一根轴，图纸上注明它的直径是Ф30 (单位：mm)，请问：这种零件直径的标准尺寸是多少？合格产品的最大直径是多少？最小直径又是多少？
解：30＋0.03＝30.03(mm)，
30－0.02＝29.98(mm)，
所以这种零件直径的标准尺寸是30 mm，合格产品的最大直径是30.03 mm，最小直径是29.98 mm.
【跟踪训练】一批螺帽产品的内径要求可以有±0.02 mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数，检查结果如下表．则结合要求的产品数量为( )
1 2 3 4 5
＋0.031 ＋0.017 ＋0.023 －0.021 －0.015
A.1个　　　B．2个　　　C．3个　　D．5个
B
小学学过的小数是不是有理数？属于分类中的哪一类？
有限小数和无限循环小数都是有理数，属于分数，是有理数；无限不循环小数不是有理数,比如π。
例4 所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合。请把下列各数填在表示相应的集合中：
3，－7，－，5.,0，－，15，
正数集合；
负数集合；
整数集合；
分数集合；
3，5.,15，
－，5.,－，，
－7，－，－，
3，－7，0，15，
1．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”。如果把收入5元记作＋5元，那么支出5元记作（ ）
A．0元 B．－5元 C．＋5元 D．＋10元
2．在这四个数－1,0,1,2中，既不是正数，也不是负数的是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．若x是正数，则x 0。（填“＞”或“＜”或“＝”）
4．如果温度上升3℃，记作＋3℃，那么温度下降2℃记作 ℃。
B
B
＞
－2
5．将下列各数填入相应的集合内：
－2,3.5,0，－，4，，0.010010001…，31%
(1)整数集合：{ }
(2)正分数集合：{ }
(3)有理数集合：{ }
－2,0，4
3.5,31%
－2,3.5,0，－，4，31%
【举一反三】把下列各数分别填在相应集合的圈里：
非正数集合
非负数集合
有理数的分类中的四点注意:
1.相对性：正数是相对负数而言的，整数是相对分
数而言的.
2.特殊0： 0既不是正数，也不是负数，但0是整数.
3.多属性： 同一个数，可能属于多个不同的集合.如
5既是正数又是整数.
4.提醒： 分数包括有限小数和无限循环小数.
【归纳总结】

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