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河南省信阳市息县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．方程4x2﹣3x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．4，3，2 B．4，﹣3，2 C．4，﹣3，﹣2 D．4，3，﹣2
2．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
4．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）
A．或 B．或 C． D．
5．已知二次函数的图像上有三点，， ，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＞﹣且k≠0 C．﹣且k≠0 D．k且k≠0
7．将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
8．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为
A．2 B．4 C．8 D．16
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m的值为 ．
12．方程的解是 ．
13．二次函数图象的顶点坐标是 ．
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，可列得方程 ．
15．如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有 ．（写出序号即可）
三、解答题
16．解方程．
(1)
(2)
17．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
18．已知二次函数．
(1)用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______．
(3)当时，y的取值范围为_______．
19．某商店以20元的单价购进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，对应数值如表所示．
销售单价（元） 25 35
销售量 50 30
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)现要求尽快销售完该商品，并使销售利润达到400元，求销售单价应定为每千克多少元？
20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
21．泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效．
(1)如图，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多米，求采茶基地的长和宽；
(2)如图，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与（）中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花（阴影部分）并铺设如图所示的宽度相同的小路（空白部分）供游客观光，若鲜花的种植面积为平方米，求小路的宽度．
22．学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程．
①，②，③．
【任务一】研究增减性
（1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号）
【任务二】研究对称性
（2）函数 的对称轴是 ；
【任务三】研究最值
（3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值；
【任务四】研究复杂问题的最值
（4） 若 ，求的最小值．
23．如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线的距离为4米．
(1)在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
(2)若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越过这棵树．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C C C B C C B
1．C
【详解】解：方程4x2﹣3x﹣2=0中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，﹣3，﹣2，
故选：C．
2．D
【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，是一次函数，故C不符合题意；
D、，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
3．C
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
4．C
【详解】解：由方程得，，，
∵，
∴等腰三角形的底边长为，腰长为，
∴这个三角形的周长为，
故选：．
5．C
【详解】解：，
对称轴为，
点关于的对称点时，
，
在的右边y随x的增大而增加，
，，，
，
∴．
故选：C．
6．C
【详解】解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0．
解得k≥-且k≠0．
故选：C．
7．B
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为．
故选B．
8．C
【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元，
根据题意，六月份投入48万元，因此方程为，
故选：C．
9．C
【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
10．B
【详解】解：过点C作CA⊥y轴于点A，
根据抛物线的对称性得：OBD的面积等于CAO的面积，
∴阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积．
∵，
∴顶点坐标为C（2，－2）．
∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4．
故选B．
11．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为0，
∴将代入，得，
解得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．，
【详解】解：，
移项，得：，
分解因式，得：，
或，
解得：，，
故答案为：，．
13．
【详解】解：
∴该函数的顶点坐标是，
故答案为：．
14．
【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人，
根据题意得，，
整理得得，．
故答案为：．
15．③⑤/⑤③
【详解】解：由抛物线的开口向下，得，
由抛物线的对称轴是直线，得、异号，所以，
由抛物线与轴的交点在轴的正半轴，得，
所以，故①不正确；
由抛物线的对称轴是直线，
所以，即，故②错误；
由抛物线的对称性以及图象可知，
与对应的函数值相同，都等于c，又，
当时，，因此③正确；
由图象可知，当时，，
因为，
所以，即，故④不正确；
由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大，
当时，，
即，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：③⑤，
故答案为：③⑤．
16．(1)，
(2)，
【详解】（1）解：
这里，
，
∴，
∴，
（2）解：，
，
，
，
，
∴，．
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∵，
∴，
∵该方程的两个实数根的差为，
∴，
解得．
18．(1)图见解析
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，
列表如下：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
画出函数图象，如图：
；
（2）解：由图象可知：当为正数时，；
故答案为：；
（3）解：由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称，
∴和时的函数值相同，为最小值，，
当时，有最大值为：，
∴；
故答案为：．
19．(1)
(2)每千克30元
【详解】（1）解：设，
把，，代入得，
解得，
；
（2）解：根据题意，
得，
整理，得，
解得，，
，随的增大而减小，要尽快销售完，即销售量要大，
销售单价要小，
．
销售单价应定为每千克30元．
20．（1）抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；(2) P点的坐标为（1,2）.
【详解】解：（1）将三点坐标分别代入解析式，解方程组得：a=-1 b=2 c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；
(2) ∵AC长为定值，∴当PA+PC值为最小时，△PAC的周长最小.
A点关于直线L的对称点为点B，连接BC交直线L与点P，P点的横坐标为1，
直线BC的解析式为：y=-x+3
∴当x=1时，y=2，∴P点的坐标为（1,2）.
21．(1)采茶基地的长为米，宽为米；
(2)小路的宽度为米．
【详解】（1）解：设采茶基地的宽为米，则长为米，
根据题意得：，整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
答：采茶基地的长为米，宽为米；
（2）解：由（）得采茶基地的长为米，采茶基地的宽为米，设小路的宽度为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）
答：小路的宽度为米．
22．（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4）
【详解】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大；
②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大；
③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大；
故答案为：①③．
（2）函数 的对称轴是直线；
故答案为：直线．
（3）当时，函数 有最小值
（4）∵，，．
∴
∴当时，的最小值为．
23．(1)；
(2)不能．
【详解】（1）解：以点A坐标原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图3，
依题，，最高点即抛物线的顶点，
设此抛物线的解析式为：，
将代入上式，得，
，
抛物线的解析式为：；
（2）解：斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图4，
，
在中，，
设，则
，
，
，
又当时，
故从A喷出的水柱不能越过这棵树．

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