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2025-2026学年广东省佛山市南海区西樵高级中学高二上学期第一次阶段测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷次，那么第次出现正面向上的概率是
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，，，则与向量共线的向量的坐标是( )
A. B. C. D.
4.在直三棱柱中，若，，，则( )
A. B. C. D.
5.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用，，，，，表示下雨，用计算机产生了组随机数为，，，，，，，，，据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
A. B. C. D.
6.在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是( )
A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球
C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球
7.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
8.已知甲、乙两人射击的命中率分别是和，现二人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型
该血型的人所占比例
已知同种血型的人可以输血，型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血，下列结论正确的是( )
A. 任找一个人，其血可以输给型血的人的概率是
B. 任找一个人，型血的人能为其输血的概率是
C. 任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为
D. 任找一个人，其血可以输给型血的人的概率为
10.在正方体中，点是底面的中心，则( )
A. 平面 B. 与成角为
C. D. 平面
11.在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点满足，，下列结论正确的是( )
A. 若，则平面 B. 若，则过点，，的截面面积是
C. 若，则点到平面的距离是 D. 若，则与平面所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某兴趣小组有名男生和名女生，现从中任选名学生去参加活动，则恰好选中名女生的概率为 ．
13.平行六面体中，，，，则的长是 ．
14.在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设，．
求向量与夹角的余弦值；
若与互相垂直，求实数的值．
16.本小题分
袋子中有个大小质地完全相同的小球，其中红球有个，编号分别为，；白球有个，编号分别为，，，，不放回地随机摸出两个球．
求摸出的两个球中有红球的概率；
记事件为“摸出的两个球全是白球”，为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件，是否相互独立．
17.本小题分
如图在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，，，，．
求二面角的大小；
求点到平面的距离．
18.本小题分
甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，已知任意两次射击互不影响．
分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率；
求甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率；
若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？参考数据
19.本小题分
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．
证明：；
当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小
参考答案
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14.
15.【详解】解：因为，，
所以．
，
．
所以，
所以与的夹角余弦值为．
，
因为与互相垂直，
所以．
所以．
所以当与互相垂直时，实数的值为．

16.解：从个球中不放回地随机摸出两个球，总共有种情况，
假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况，
即，，，，，，共种，
则摸出的两个球全是白球概率为：，
所以摸出的两个球中有红球的概率为；
由前面知道，事件为“摸出的两个球全是白球”，概率为，
事件为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，
两个球的编号之和为偶数，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数，
两球均为奇数的情况有，，，种，
两球均为偶数的情况有，，，种，总共种，
则，
即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有，，共种，
则概率为，
因为不成立，所以事件，不相互独立．
17.解：以为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，，
，．
设平面的一个法向量为，
由，，
得，令，则．
所以，
取平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，由图可知为锐角．
，，
即二面角的大小为．
由知平面的一个法向量为，
又，，
点到平面的距离．

18.解：
记甲，乙，丙射击一次且击中目标分别为事件，，，
依题意，且，，相互独立，
由，得，
又由 ，得，
所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为，
记“甲、乙、丙各射击一次且恰有一人击中目标”为事件，
因为，，两两互斥且，，相互独立，
，
所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率，
设甲射击次，因为任意两次射击互不影响，
所以至少有一次击中目标的概率为，
令，所以，，
所以，
又为正整数，所以，即甲至少要射击次．
19.解：证明：连接，
，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，
，，
，，
，
，
，
，即，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，
，，
，即；
由知，，
，且平面，
故AB平面，
平面的一个法向量为，
由知，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
，
，
当，平面与平面所成的二面角的余弦值最大为，此时正弦值最小为．
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