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2025-2026学年广东省佛山市北滘镇莘村中学高二上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是( )
A. 平行或重合 B. 平行 C. 垂直 D. 重合
3.生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标，若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为
A. B. C. D.
4.抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件与事件( )
A. 相互独立 B. 互为对立事件 C. 互斥 D. 相等
5.若，，三点共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.已知两个随机事件和，其中，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10.射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为记事件为“两人都击中”，事件为“至少人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法正确的是( )
A. 事件与是互斥事件 B. 事件与是对立事件
C. 事件与相互独立 D.
11.如图，正方体的棱长为，是棱上的动点，且则下列结论正确的是( )
A.
B. 点到直线的距离为
C. 直线与所成角的范围为
D. 二面角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为 ．
13.已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是 ．
14.甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮个环节，其中任何一人在每个环节获胜得分，失败得分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为的概率为，则的值为 ，“梦队”在比赛中得分不低于分的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，正方体的棱长为．

用空间向量方法证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
在一个盒子中有个大小质地完全相同的球，其中蓝球、红球各个，黄球个，从中随机摸出个球．
若采用有放回简单随机抽样，求恰好摸到一个红球的概率；
若采用无放回简单随机抽样，求取出的球颜色相同的概率．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，点为侧棱的中点，且．
证明：平面平面
若二面角的大小为，求点到平面的距离．
18.本小题分
甲、乙、丙三位同学进行知识竞赛，每局比赛两人对战，第三人旁观．每局比赛胜者与此局旁观者进行下一局比赛，按此规则循环下去约定先赢两局者获胜，比赛结束．根据以往经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每局比赛相互独立且没有平局．
若第一局由甲、乙对战，求进行两局比赛后，比赛结束的概率；
若第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率；
判断并说明由哪两位同学进行首场对战才能使甲获胜的概率最大．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，在平面的投影为边的中点，，，，．
求证：平面；
在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指明点的位置，若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.【详解】根据题意以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

易知，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则可得，即；
又，即，
又平面，
所以平面；
易知，则，
由知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．

16.【详解】记个蓝球分别为，个红球分别为，黄球为，
若采用有放回简单随机抽样，共有个基本事件，恰好摸到一个红球的有个基本事件，
所以恰好摸到一个红球的概率．

若采用无放回简单随机抽样，
则有，共个基本事件，
取出的球颜色相同的有，共个基本事件，
所以取出的球颜色相同的概率．

17.【详解】法一：
取中点的中点，连接与，
则，且
又为中点，，且，
四边形是平行四边形，．
在正三棱柱中，平面平面，
，又为等边三角形，，
又平面，
平面，又平面，
平面平面，
法二如图，以原点，垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面的一个法向量为，则
取，则
又平面的法向量为，
，
平面平面
方法一：取中点，连接，
，
在正三棱柱中，，
是二面角的平面角，
又平面，
设点到平面的距离为，则，
，即点到平面的距离为．
方法二：由得，
设平面的一个法向量为，则
，取，则
又平面的法向量为，
二面角的大小为
，
由于，
，又，
点到平面的距离为．

18.【详解】记甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件
记比赛两局结束为事件，则
所以
．
则第一局由甲、乙对战，进行两局比赛，比赛结束的概率为．
记第一局由乙、丙对战且甲获胜为事件，则
所以
则第一局由乙、丙对战，求比赛结束时，甲获胜的概率为；
由可得第一局由乙丙对战，甲胜的概率为，
同理第一局由甲、乙对战，甲胜的概率为
，
第一局由甲、丙对战，甲胜的概率为
，
因为，所以第一局由甲、丙对战，甲胜的概率最大．

19.【详解】在中，由余弦定理可得：，
，，，
由题易知平面，平面，
，
，平面，
四边形为平行四边形，
，平面．
取的中点，连接，则，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
，，
设，
，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则
令得，
由题得，解得，
所以当点为线段上靠近点的三等分点时，满足题意；
故答案为：证明见解析，存在，点为线段上靠近点的三等分点．

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