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2025-2026学年湖南省常德市第一中学高二上学期第一次月水平检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知直线，，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则( )
A. B. C. D.
4.已知中，角所对的边分别为，设向量，若，则是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
5.如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.设两条直线的方程分别为，，已知，是方程的两个实根，且，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.已知正三棱锥的底面的边长为，直线与底面所成角的余弦值为，则正三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，若圆锥与圆柱的表面积之比为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线的方程为，若在轴上的截距为，且，则下列说法正确的是( )
A. 直线关于点对称的直线经过点
B. 直线与的交点坐标为
C. 已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则的方程为
D. 已知动直线经过与的交点，当原点到的距离最大时，点到的距离为
10.中，，边上的中线，则下列说法正确的有( )
A. 为定值 B.
C. D. 的最大值为
11.在长方体中，，，为的中点．动点满足，，，则下列说法正确的是( )
A. 点一定在平面内
B. 当时，点的轨迹长度为
C. 当，，三点共线时，
D. 当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，则直线的倾斜角为
13.已知向量满足，，且，则 ．
14.如图，正方形和正方形的边长都是，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，，分别是，上的动点，且，则的最小值是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知是底面边长为的正四棱柱，为与的交点，为与的交点．

证明：平面；
若点到平面的距离为，求正四棱柱的高．
16.本小题分
已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边的高所在直线方程为．
求点的坐标；
若入射光线经过点，被直线反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
17.本小题分
中，内角、、所对的边分别为、、，若．
求角的大小；
若，点是上的动点，
若点满足，求的面积；
若，求的取值范围．
18.本小题分
如图，已知四棱台，点在底面上的射影落在线段上不含端点，底面为直角梯形，，，，．

求证：平面；
若二面角的大小为；
(ⅰ)求直线与平面所成的角；
(ⅱ)若四边形为等腰梯形，，求平面与平面夹角的正切值．
19.本小题分
如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：
求直线的方程及斜率的范围；
若的面积为，求的表达式；
若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.【详解】在正四棱柱中，连接，
由，得四边形为平行四边形，则，，
又为与的交点，为与的交点，则，，
因此四边形为平行四边形，，又平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，设，则，
设平面的一个法向量为，而，
则，令，得，又，
由点到平面的距离为，得，解得，
所以正四棱柱的高为．

16.解：设点，
由，得的中点在直线上，
可得，解得，
所以点的坐标为；
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以反射光线所在的直线方程为，可得．
17.解：由得，，
则，由正弦定理得，
，
；
在中，由余弦定理：得：
，化简的：，
，
由得，
即：，代入数据化简得：
，联立得代入式解得：
，
；
记 ，则，
在中，由正弦定理得：，
在等腰中，，
由题意，则，
，即的取值范围为．

18.【详解】连接交于点，，，，
，，
在直角梯形中，，，，，
由勾股定理可得，
，

在中，，，
，，即，
平面，平面，，
又，、平面，平面．
过点在平面内作，交于点，连接，

平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，
则为二面角的平面角，即，
且为直线与平面所成的角，
，即，
，而在中，，

，因为，即．
直线与平面所成角为．
在等腰梯形中，，，，
则，即，
过点作，则，过点在平面内作，垂足为点，
在平面内，，，，
平面，平面，

过点在平面内作，交于点，连接，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，
则为平面与平面所成夹角的平面角，
四边形为等腰梯形，，，，
，，
，
，
在平面内，，，，
，即，
在平面内，，，，，
故，
在中，．
故平面与平面夹角的正切值为．

19.【详解】依题意，点，直线的斜率为，
由直线的点斜式方程，可得直线的方程为．
因为，所以．
由已知，
可得直线方程为，直线方程为，
联立方程组，解得，
又由，解得，
由两点距离公式可得，
又由点到直线的距离为，
所以．
由题意，可得，
设，
令，即，函数在为单调递增函数，
所以当时，的最小值为，当时，的最大值为，
即，所以，
又且，所以，
可得的最大值为，所以实数的取值范围是．

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