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2025-2026学年江苏省梅村高级中学高二上学期10月阶段检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，若不能构成空间的一个基底，则( )
A. B. C. D.
2.设正四面体的棱长为，是的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知空间中三点，，，则( )
A. 与是共线向量 B. 的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
4.已知直三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，是侧棱的中点，则下列直线中与垂直的是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知，两点到直线：的距离相等，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线的方向向量是，则直线的倾斜角是
B. 若直线与直线平行，则或
C. 直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是
D. 点在直线上，直线方程为．
10.下列说法正确的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点的直线方程
11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点不含端点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 不存在点，使得异面直线与所成的角为
C. 当点运动到中点时，平面的法向量可以为
D. 三棱锥体积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为 ．
13.如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 ．
14.如图，在直三棱柱中，，，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，且．
求的值；
求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知直线．
求经过点且与直线垂直的直线方程；
求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
17.本小题分
设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值．
已知，直线，不同时为，推导点到直线的距离公式．
18.本小题分
如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形， ，，，为的中点．
证明；
求直线到平面的距离．
19.本小题分
在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.和
13.
14.
15.解：因为，
所以，解得，
所以，
则，
所以；
解：，
，
，
设向量与夹角为，
所以，
所以向量与夹角的余弦值为．

16.解：由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述：所求直线方程为或．

17.解：由两个单位向量与向量的夹角都等于，
得，，，
则，而，
，因此，解得或
所以或．
直线的方向向量，则与直线垂直的直线的一个方向向量为，
在直线上任取点，则，，
因此点到直线的距离，
所以点到直线的距离公式为．

18.解：设的中点为，连接，．
是以为斜边的等腰直角三角形，
．
且，
四边形为平行四边形，则，又，
，又，则平面．
由面，则．
过在平面内作的垂线，交于，
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．
则有，，，设，
由，，则得：，，即，而为的中点，
，则，
，，若为面的一个法向量，则，令，则，
若时的中点，连接、，则，由易知：为平行四边形，即，又面，面，则面
直线到平面的距离等于到平面的距离．

19.解：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面内，所以平面；
由，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即
不妨令，则，，．
设与平面所成角的大小为，
则有，
设为与平面所成角，故，
即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为．
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角余弦值为．
则满足，
化简得，解得或，即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为此时的长度为或．

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