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2025-2026学年江苏省南京市南京航天航空大学附属高级中学高二上学期10月调研测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知动点满足，则动点的轨迹是( )
A. 射线 B. 直线 C. 线段 D. 椭圆
3.已知直线，，若，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.两圆与的公共弦长等于( )
A. B. C. D.
5.直线关于直线对称的直线方程是( )
A. B. C. D.
6.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是( )
A. B. C. D.
7.已知，，若直线上任意一点，都使恒成立，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
B. 圆与圆有两条公切线
C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
D. 若直线与平行，则与的距离为
10.已知椭圆，若在椭圆上，、是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 面积的最大值为
C. 的最大值为
D. 满足是直角三角形的点有个
11.已知圆，点，则( )
A. 若圆过点的切线只有一条，则实数
B. 若圆上总存在两个点到点的距离为，则
C. 若过点且在两坐标轴上截距相等不为的直线被圆截得的弦长为，则
D. 若圆心在上且半径为的圆与圆交于两点，则当最大时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线平行，则实数 ．
13.已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为，且圆心在直线上，则此圆的方程为 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线．
求经过点且与直线垂直的直线方程；
求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
16.本小题分
曲线且
若曲线表示双曲线，求的取值范围；
当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标．
17.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点．
求圆的标准方程；
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
18.本小题分
已知两定点，，动点满足，其轨迹为曲线．
求曲线的方程；
是否存在斜率为的直线，使得以被曲线截得的弦为直径的圆过原点，若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的焦距为，且过点．
求的方程．
记和分别是椭圆的左、右焦点．设是椭圆上一个动点且纵坐标不为直线交椭圆于点异于，直线交椭圆于点异于若的中点为，求三角形面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.，
14.
15.解：由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为时，假设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，即
综上所述：所求直线方程为或．

16.解：表示双曲线，则，
解得，
故的取值范围是；
时，曲线为双曲线，
设，，故，
因为，
所以，
解得，
故点的横坐标为．

17.解：因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，
又圆心在直线上，所以圆心为，半径为，
所以圆的标准方程为．
设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为，
所以，解得，
当直线垂直于轴时，则圆心到直线的距离为，
此时，直线与圆相切，不满足条件．
当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，即，
所以，整理得，解得或．
所以直线的方程为或．

18.解：设，则，
整理得；
设存在，
联立圆方程有，整理得，
则，则，
此时弦为直径的圆过原点，
即
，即，符合题意；
即或．

19.解：椭圆的焦距，；
椭圆过点，，又，
舍或，，椭圆的方程为：．
由知：，，
设，，，
由题意可设直线，其中，，
由得：，，
；
同理可得：；
，
，
当且仅当，即时取等号，
面积的最大值为．

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