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南航苏州附中唯亭校区2025-2026学年高二（上）十月阳光测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的方向向量坐标为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的首项为，若成等比数列，则( )
A. B. C. D. 或
3.已知直线与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
5.在等比数列中，，其前项和为，且是和的等差中项，则( )
A. B. C. D.
6.已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.如图甲是第七届国际数学家大会简称的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列前项和满足：，数列前项和满足：，记，则使得值不超过的项的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记数列的前项和为，且，则( )
A.
B. 数列是公差为的等差数列
C. 数列是公比为的等比数列
D. 数列的前项和为
10.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是等差数列；
B. 若是等差数列，则三点、、共线；
C. 若是等差数列，且，，则数列的前项和有最小值；
D. 若等差数列的前项和为，前项中，偶数项的和与奇数项的和之比为：，则公差为．
11.记数列的前项和为，若存在实数，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”，下列说法正确的是( )
A. 若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
B. 若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差
C. 若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D. 若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，且，则 ．
13.在等差数列中，前三项和为，后三项和为，所有项的和为，则项数为 ．
14.已知等比数列满足，且其前项和，则数列的通项公式可以是 写出一个符合条件的即可
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，且．
求证：数列是等差数列；
求数列的前项和．
16.本小题分
已知直线．
若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值；
若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
17.本小题分
在；；这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上只要写序号，并解答该题．
已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有______．
求的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
已知数列中的各项均为正数，，点在曲线上，数列满足，记数列的前项和为．
求的通项公式；
求的前项和；
求满足不等式的正整数的取值集合．
19.本小题分
在数列中，已知，
证明：数列为等比数列；
记，数列的前项和为，求使得的整数的最小值；
是否存在正整数、、，且，使得、、成等差数列？若存在，求出、、的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.；
14.答案不唯一
15.解：由，
得．
又，故数列是以为首项，为公差的等差数列．
由可知：，，故；
，
，
两式相减，得
，
，
，
；
故．

16.解：当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意；
当时，直线的方程为，
令，则，
令，则，
由题意得，即，
即，解得或，经检验，均成立．
综上，的值为或．
由题可知，由知，，
故，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为，此时直线的方程为．

17.解：对于条件，当时，，不符合题意．如果选条件，不得分
如选：，
，，
则是公差为的等差数列，
则，则．
当时，，
当时，满足上式．
所以的通项公式为．
如选：因为，则，
当时，，解得：．
当时，，
即，因为，所以，
则是首项为，公差为的等差数列，
所以的通项公式为．
因为，
．
因为，且在时单调减小，
所以，且在时单调增加，并在时取最小值，
所以．

18.解：依题意，，即有，而，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，
则有．
因为，
所以
．
由知，，，
由，得，即，设，
则，
显然，
当时，，即，
即数列从第项起是递减的，
因为，则当时，有，
所以正整数的取值集合为．

19.解：证明：由，得，从而，
，
又，故数列为等比数列；
解：由得，，故，
所以，
，
令，则，
解得，，．
故使得的整数的最小值为；
解：假设存在正整数、、满足题意，则，
即，
即
两边同除以得，

由得，，；
所以为奇数，而、均为偶数，
故式不能成立；
即不存在正整数、、，且，使得、、成等差数列．

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