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2025-2026学年江苏省无锡市辅仁高级中学高二上学期质量检测（一）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为 ．
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，若，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则( )
A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
5.过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点若，其中为实数，则的值是( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正方体，空间中一点满足，且，当取最小值时，点位置记为点，则数量积的不同取值的个数为A.
B.
C.
D.
8.过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为，则这样的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的有( )
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线
C. 若空间向量，，则与的夹角为钝角
D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10.已知直线：与：，则下列选项正确的是( )
A. 当时， B. 若，则，间的距离为
C. 当时， D. 原点到的距离的最大值为
11.在直三棱柱中，，且为线段不含端点上的动点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 异面直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，则 ．
13.直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为 ．
14.已知正四面体的棱长为，是棱的中点，是棱上一动点，若在上，使得与平面所成的角为，则线段的长度的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
分别写出满足下列条件的直线方程用一般式表示
经过点，且与直线垂直
经过两直线与的交点，且与直线平行
16.本小题分
在平行六面体中，，分别是线段，上的点，且，，若，，．
求的长；
求直线和所成角的余弦值．
17.本小题分
已知直线经过点．
若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程；
若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

证明：平面平面；
若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离．
点是线段上的动点，上是否存在一点，使平面，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，为，中点．
求证：平面；
若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值；
在的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.由题意，可设直线方程为，
代入点，有，则，
所求直线方程为；
联立，解得
设所求直线方程为，则，即，
所求直线方程为．

16.由题可得，，．
故，
由题，
所以
，
由题得
，
所以
所以，
所以直线和所成角的余弦值为

17.由题意可设直线的方程为，
代入有，又由题意得，则，
联立解得或
则直线的方程为或，
即或．
当直线经过原点时，则，则，即；
当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得，
即．
综上所述直线的方程为或．

18.由平面，平面，平面，
得，，与底面所成角为．
所以三角形为等腰直角三角形，．
又由四边形是直角梯形，，可知，
所以为等腰直角三角形，而，故．
在直角梯形中，过作，垂足为，则四边形为正方形，
可知．
所以，在等腰直角三角形中，．
则有，所以．
又因为，，平面，平面．
所以平面因为平面，所以平面平面．
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，．
因为是的中点，点是的中点，所以，．
设平面的法向量为，，，
则，得
取，则，得平面的一个法向量为，
而，所以点到平面的距离为．
设，注意到，
所以，
所以，
设，注意到，
所以，
因为，，所以，
若平面，
则当且仅当，即当且仅当
此时，
综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面．

19.取中点，连接．
在中，因为分别为的中点，
所以，，
在菱形中，因为，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
因此．
又因为平面，平面
所以平面．
因为平面，平面
所以，．
因为，所以．
在菱形中，，
因为为中点，所以．
建立如图空间直角坐标系．
在正三角形中，又，
所以，，，，，
所以向量，．
设平面的法向量为，则，即．
取得，．
设直线与平面所成角为，
．
可得：，
解得：，又，
所以．
设，由知：，
所以，
设直线与平面所成角为，平面的法向量为
则
当时，取到最大值，此时．

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