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2025-2026学年江苏省无锡市梅村高级中学空港分校高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.已知两条直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则( )
A. B.
C. D.
4.不管怎样变化，直线恒过的定点是( )
A. B. C. D.
5.若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点，，若直线：与线段含端点相交，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若平面的法向量为，平而的法向量为，直线的方向向量为，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知平行六面体的各棱长均为，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 线段的长度为
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 三棱锥的体积是平行六面体的体积的
11.下列说法正确的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点的直线方程
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：与：平行，求这两条直线间的距离 ．
13.已知为单位向量．，若，则在上的投影向量的坐标为 ．
14.给定非空集合，若，则的取值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知顶点、、．
求边的垂直平分线的方程；
若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16.本小题分
空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴轴轴轴正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．
若，，求的斜坐标；
在平行六面体中，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”若，且，求
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，侧棱的长为，底面是边长为的正方形，是棱的中点．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知的三个顶点是．
若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；
若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．
19.本小题分
如图，在中，，，，，分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点．

求证：平面平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点不包含端点，使平面与平面夹角正切值为若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案
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13.
14.，，
15.【详解】由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或．

16.【详解】解：由，，知，，
所以，
所以；
解：设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，，
由题，
因为，所以，
由知
则．

17.【详解】如图所示，建立以为原点的空间直角坐标系，
由侧棱的长为，底面是边长为的正方形，
得，
由是棱的中点，得，
则，
设平面的法向量为，则
令，则，所以是平面的一个法向量，
显然，则，
又平面，所以平面，
由知平面的一个法向量为，
而平面的一个法向量为，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.【详解】因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，
当直线与平行，
因为，且过点，
所以方程为，即；
当直线通过的中点，
所以，
所以的方程为，即．
综上：直线的方程为或．
由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当即时，取得最小值，
所以面积，
所以当时，面积最小，
此时直线的方程为，即．

19.【详解】因为在中，，，所以，
因为折叠前后对应角相等，所以平面，
所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面；
因为平面，所以平面平面．
因为经过的重心，故，
由知平面，
如图以为原点建立空间直角坐标系，因为，
故，
，，
设平面的法向量为，则，即
令，则，
设与平面所成角的大小为，
则，
故，即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，使平面与平面成角正切值为．
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，即
不妨令，则，，所以，
若平面与平面成角正切值为，
则平面与平面成角余弦值为．
则满足，
化简得，解得舍去或，即，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角正切值为，此时的长度为．

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