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2025-2026学年江苏省锡东高级中学高二上学期10月阶段性考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线与直线平行，则( )
A. B. 或 C. D.
2.已知空间向量，，且在上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数( )
A. B. C. D.
4.在三棱锥中，是平面内一点，且，则( )
A. B. C. D.
5.在三棱锥中，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.若，，则直线不经过的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.已知点，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，，，则( )
A. 直线的单位方向向量是
B. 平面的一个法向量是
C. 四点共面
D. 点到直线的距离为
10.在平面直角坐标系中，已知点，则( )
A. 直线的倾斜角为钝角
B. 直线的斜率为
C. 若为的重心，则直线的方程为
D. 的平分线所在直线的斜率为
11.如图，在棱长均为的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的动点不包括端点，则下列结论正确的是( )
A. 若为的中点，则平面
B. 若为的中点，三棱柱被平面分成上下两部分多面体的体积之比为
C. 若，平面与平面所成角的正切值为
D. 三棱锥外接球半径的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
13.设点，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围为 ．
14.若动点，分别在直线：与：上移动，则的中点到原点的距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，分别求与的值；
若，且与垂直，求．
16.本小题分
已知直线．
求经过点且与直线垂直的直线方程；
求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程．
17.本小题分
如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点．

证明：平面；
求直线与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知直线：
若直线不经过第四象限，求的取值范围；
已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程．
若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时的方程．
19.本小题分
如图，直四棱柱的所有棱长均为，且，点是侧棱上靠近点的三等分点，点是线段上的动点含端点．
若以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立右手空间直角坐标系，请画出轴的位置，并证明；
将点与平面内任意一点的连线段，求这些线段长度的最小值；
在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.【详解】由得，
所以，解得；
因为，且，
所以，化简得
解之得．

16.【详解】由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，
则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得；
联立，解得，即直线与的交点为，
当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入得，此时；
当直线的截距都不为时，设直线方程为，
依题意，解得，此时直线方程为，
综上所述：所求直线方程为或．

17.【详解】证明：如图，取的中点，连接，，
平面，平面，
平面平面，
为等边三角形，，
又平面平面，平面，
平面．
，点为中点，
，且，
又，，，
四边形是平行四边形，，
平面．
由可知平面，平面，
，，两两垂直，
故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，．
，，．
设平面的法向量，
则即
令，则，，．
设直线与平面的夹角为，
则，
直线与平面夹角的正弦值为．

18.【详解】直线方程为：：，它过定点，在第二象限，
因此直线不过第四象限，则
的取值范围是；
由知直线恒过定点，
当且仅当时，取得最大值，此时直线的斜率，
因此直线的斜率，直线的方程为，
所以直线的一般式方程为．
易知，令得，令，得，
即，，
，
当且仅当，即时取等号，
最小值是，此时方程为，即．

19.【详解】连接，，所以是等边三角形，
取中点，则，因为，所以，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，
因为平面，所以，又，
且平面，所以平面．
点与平面内任意一点的连线中，长度最小值是点到平面的距离．
由所建坐标系可得：．
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量．
所以点到平面的距离，
即这些线段长度的最小值是．
设存在点满足条件，设，则
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以是平面的一个法向量．
设二面角的大小为，则由图可知为锐角，
所以，解得或舍
所以在线段上存在点在靠近的三等分点处，使得二面角的余弦值为．

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