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2025-2026学年山东省高青县鲁才高级中学高二上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某公园有东、南、西、北共个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是( )
A. B. C. D.
2.已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则( )
A. B. C. D.
3.在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯灭的概率是( )
A. B. C. D.
4.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. B.
C. D.
5.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则( )
A. 与，与，与，与都相互独立
B. 与是对立事件
C.
D.
6.已知，且，则( )
A. B. C. D.
7.向量，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，满足，，则下列结论正确的是( )
A.
B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么
D. 如果与相互独立，那么
10.已知向量，，，则下列结论正确的是( )
A. 与垂直
B. 与共线
C. 与所成角为锐角
D. ，，，可作为空间向量的一组基底
11.已知，则下列说法正确的是( )
A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线经过，两点，直线上一点，使得，则点坐标 ．
13.已知小李每次打靶命中靶心的概率都为，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中靶心，，，，，，表示未命中靶心，再以每个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下组随机数：


据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为 ．
14.已知随机事件中，与相互独立，且，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两人进行羽毛球比赛，采取“三局两胜”制，即两人比赛过程中，谁先胜两局即结束比赛，先胜两局的是胜方，另一方是败方根据以往的数据分析，每局比赛甲胜乙的概率均为，甲、乙比赛没有平局，且每局比赛是相互独立的．
求比赛恰进行两局就结束的概率；
求这场比赛甲获胜的概率．
16.本小题分
已知正四面体的棱长为，，分别为棱，的中点，点为线段的中点．
用，，表示；
求的值．
17.本小题分
已知，．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
求平面的一个法向量；
求平面的一个法向量．
19.本小题分
如图，在正方体中，为棱的中点．

求证：平面；
平面平面
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.【详解】比赛恰进行两局就结束对应的事件有两种可能，
事件：甲胜乙，事件：乙胜甲．，，
．
这场比赛甲获胜对应的事件有两种可能，事件：比赛两局结束且甲获胜；事件：比赛三局结束且甲获胜．
，，
．

16.【详解】在正四面体中，，分别为棱，的中点，点为线段的中点，
，
所以
．
正四面体的棱长为，则，
所以．

17.解：，，
若，则，
即，，，解得．
，，
若，则，
即，化简可得，
解得或．

18.【详解】易知，，，．
，，
设面的法向量为，则
即，取，则，
所以平面的一个法向量为；
，，
设面的法向量为，则
即，取，则，
所以平面的一个法向量为

19.【详解】连交于，连，
因为为的中点，为的中点，所以
又平面平面，
所以平面
因为平面，所以于，
所以平面，所以
同理可证，
又于，所以平面，
因为，所以平面，
又平面，
所以平面平面．

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