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2025-2026学年上海市新中高级中学高二上学期阶段检测数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
C. 点关于直线的对称点为
D. 过，两点的直线方程为
2.已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的 条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充分必要 D. 既非充分又非必要条件
3.如图，为正方体，

平面
与底面所成角的正切值是
过点与异面直线与成角的直线有条．
其中正确结论的个数是 ．
A. B. C. D.
4.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面面积达到最大．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，5-9题每题3分，10-14概每题4分，共35分。
5.以边长为的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为 ．
6.平面与平面相交于直线，点、在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点设、、三点确定的平面为，则与的交线是 ．
7.在四面体中，，分别为的中点，若异面直线与所成的角为，则异面直线与所成的角为 ．
8.如图，正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为 用反三角函数表示．
9.已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为 ．
10.如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为，则直线与底面所成角的大小为 用反三角函数表示
11.已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ．
12.一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
13.设，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，中点为，则的值为 ．
14.如图，正方体的棱长为，点，分别在棱，上，满足，点在正方体的内部或表面，且平面，则点组成的图形的面积是 ．
三、解答题：本题共4小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的三个顶点是，，．
求边上的高所在直线的一般式方程；
若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．
16.本小题分
如图，已知在直三棱柱中，，，，，，分别是，，，的中点．
求直三棱柱的体积；
求与平面所成角的大小；
在图中画出过，，三点的截面，并说出截面图形的形状不必说明画法与理由．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，，若，为的中点，、分别是、的中点．

证明：平面；
若，在线段上，且，求二面角的平面角的余弦值；
求到平面的距离．
18.本小题分
如图，四边形为菱形，是边长为的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使，连接，如图，
证明：；
求异面直线与所成角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.直线
7.或
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：由，可得，
故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点，
故方程为，即．
当直线斜率不存在时，此时直线为，，到直线的距离分别为和，不符合题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为，即
此时，到直线的距离相等，则，
化简得，解得或，
故直线方程为或，
即或．

16.解：由知，故为边长为的正三角形，
又，且为直棱柱的高，
所以直三棱柱的体积为；
因为平面平面，
所以与平面所成角即为与平面所成角，
连接，
由直棱柱性质可知，平面，所以为与平面所成角，
底面，则，
因为为边长为的正三角形，且是的中点，
所以，又，
所以中，，
所以与平面所成角为；
取中点，连接，，，如图．
因为，，，分别是，，，的中点，
所以且，且．
所以且，则四点共面，且四边形为梯形．
故梯形是过三点的截面．

17.解：因为底面，底面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面；
由知，平面，平面，所以，
因为，为的中点，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以．
所以是二面角的平面角．
设角，，
中，，，，
所以，
所以二面角的平面角的余弦值为．
连接，如图，

因为、分别是、的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，故到平面的距离为点到平面的距离，
由知平面，是的中点，所以点到平面的距离为，
因为底面，底面，所以，
又，为的中点，所以，
所以点到平面的距离为，所以到平面的距离为．

18.解：连接，因为是边长为的等边三角形，点为的中点，所以．
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以．
在上取点，使得，设，连接，，
因为，所以，
在中，，所以，
所以或其补角为异面直线与所成的角，因为，所以，
又，
，
在中，由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
假设线段上存在点，使得平面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又，所以．
所以线段上存在点，使得平面，且，
．


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