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2025-2026学年成都市嘉祥外国语高级中学高二上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两条直线和，若，则( )
A. B. C. D.
2.利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件，用随机模拟的方法估计事件发生的概率由计算机产生，，，四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数：，由此可以估计事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知随机事件，，中，与相互独立，与对立，且，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则在方向上的投影向量是( )
A. B.
C. D.
6.已知甲、乙两名同学在高三的次数学测试的成绩统计如图图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩，则下列说法不正确的是( )
A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 甲成绩的第百分位数大于乙成绩的第百分位数
C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差
7.点到直线为任意实数的距离的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点包括边界，则的最小值是 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则事件与是对立事件
B. 设，是两个随机事件，且，，若，则，是相互独立事件
C. ，同时发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率小
D. 若，，则“事件，相互独立”与“事件，互斥”一定不能同时成立
10.下列说法正确的是( )
A. 不能表示过点，且斜率为的直线方程
B. 在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
C. 直线与轴的交点到原点的距离为
D. 过两点，，的直线方程为
11.如图，圆柱的底面半径和母线长均为是底面直径，点在圆上且，点在母线，点是上底面的一个动点，则( )
A. 存在唯一的点，使得
B. 若，则点的轨迹长为
C. 若，则四面体的外接球的表面积为
D. 若，则点的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是 ．
13.如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点，则点到平面的距离为 ．
14.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，规定每局中：三人出现同一种手势，每人各得分；三人出现两种手势，赢者得分，输者负分；三人出现三种手势均得分当有人累计得分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响则甲在一局中得分的概率 ；游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的概率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，．
Ⅰ当时，若向量与垂直，求实数和的值；
Ⅱ若向量与向量，共面，求实数的值．
16.本小题分
某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．
试估计全市参赛者成绩的第百分位数保留小数点后一位和平均数单位：分；
若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，三层中抽取一个容量为的样本，再从这人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格大于等于分为及格的概率．
17.本小题分
如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，已知，，，直线．
证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
若直线与都在平面内，求平面的方程；
在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；
若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：Ⅰ因为，所以．
且．
因为向量与垂直，
所以．
即．
所以实数和的值分别为和．
Ⅱ因为向量与向量，共面，所以设
因为，
所以
所以实数的值为．

16.，则，
；，
故百分位数在层，则百分位数为，
平均数；
因为按比例分配的分层随机抽样，故，三层中抽取的样本量分别为：
，，，
从这人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为，抽取的人编号为、，抽取的人编号为、、，
记事件“抽取的两人都及格”
，
所以；
，所以；
．

17.因为四边形为矩形，所以为的中点连接，
在中，分别为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面．
易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，所以．
设平面的法向量为，
则即解得
令，得
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
，据此可得
则平面的一个法向量为，
，于是．
故二面角的正弦值为．
设存在点满足条件．
由，
设，整理得，
则．
因为直线与平面所成角的大小为，
所以
解得，
由知，即点与重合．
故在线段上存在一点，且．

18.直线可化为，
令，解得，故直线经过的定点坐标为；
因为，，，所以，
由题意得直线方程为，
故直线经过的定点在直线上，所以，
设直线与交于点，所以，
即，所以，
设，所以，即，
所以，，所以，
将点坐标代入直线的方程，解得，
所以直线的方程为；
设关于的对称点，关于的对称点，
直线的方程为，即，
直线的方程为，所以
解得，所以，
由题意得四点共线，，由对称性得，
所以入射光线的直线方程为，
即．

19.解：由题意可知，直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，则
解得，取，则，
易知直线过点，所以，平面的方程为．
即．
解：根据题意，设点，则，
因为平面以为法向量，则，
又因为点在平面内，则，
联立可得，，故点的坐标为．
解：如下图所示：
易知多面体交各坐标轴于点、、、、
、，
正方形的边长为，
所以，正方形的面积为，
而正四棱锥的高为，则，
所以，多面体的体积为．
易知平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
所以，，，
因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．

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