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2025-2026学年天津市第二耀华中学高二上学期第一次阶段性质量调查数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.平面的一个法向量是，，平面的一个法向量是，，，则平面与平面的关系是
A. 平行 B. 重合 C. 平行或重合 D. 垂直
3.过点且倾斜角为的直线方程为( )
A. B.
C. D.
4.设，向量，，且，则( )
A. B. C. D.
5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于
A. B. C. D.
6.已知空间中三点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知平行六面体的各棱长均为，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知为实数，直线，，若，则实数的值
A. B. C. 或 D. 或
9.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ．
11.已知空间向量，，，若，，共面，则 ．
12.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和的夹角的余弦值为
13.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标
14.如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，则点到平面的距离为 ．
15.给出下列命题：
直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直；
直线的方向向量，平面的法向量，则；
平面、的法向量分别为，，则；
平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则．
其中真命题的是 把你认为正确命题的序号都填上
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知向量，．
当与平行时，求实数的值；
当与垂直时，求实数的值．
17.本小题分
如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，计算：
；
求异面直线和所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，是边长为的正方形，平面，，且．

求证：平面
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知的顶点坐标分别是，，．
求边上的中线所在直线的方程；
求过点且与直线平行的直线方程；
若点，当时，求直线倾斜角的取值范围．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
设为棱上的点不与，重合，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：因为向量，，
所以，
因为与平行，
所以，
解得；
因为向量，，
所以，
因为与垂直，
所以，
解得．

17.解：设，，，
则，，
因为点，分别是，的中点，
所以，，
所以．
因为为的中点，所以，
，
又，，
所以，
则，
，
，
则，
由于异面直线所成角的范围是
所以异面直线与所成角的余弦值为．

18.解：

根据题意可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
易知平面的一个法向量为，
显然，又平面，
所以平面；
由上坐标系可知，则，
设平面与平面的一个法向量分别为，
则有
取，则，即，
设平面与平面的夹角为，则；
由得平面的一个法向量为，
又，所以点到平面的距离．

19.解：，，，
的中点坐标为，
中线的斜率为，
中线所在直线的方程为：，即；
解：由已知可得的斜率为，
与直线平行的直线的斜率也为，
所求直线的方程为，
化为一般式可得；
解：可得直线的斜率为，
直线倾斜角的取值范围为．

20.解：因为平面，平面，平面，
所以，，又因为，
则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，，
所以，，，
因为，，所以，，
又，平面，平面，
所以平面．
由可知平面，
可作为平面的法向量，
设平面的法向量
因为，．
所以，即
不妨设，得．
，
又由图示知二面角为锐角，
所以二面角的正弦值为．
设，即，，
所以，即，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，即．

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