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2025-2026学年天津市西青区杨柳青第一中学高二上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )
A. B. C. D.
3.如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于( )
A. B. C. D.
4.如图所示，直线与的图象可能是( )
A. B. C. D.
5.直线，无论取何值，该直线恒过定点( )
A. B. C. D.
6.若两平行直线与之间的距离是，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.在以下命题中：
若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线；
对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面
若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底：
若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中真命题的个数是( )
A. B. C. D.
9.如图，点是棱长为的正方体的侧面上的一个动点包含边界，则下列结论不正确的( )
A. 当时，点一定在线段上
B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为
C. 当点在棱上运动时，的最小值为
D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知向量，且，则的值为 ．
11.已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
12.已知，直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围 ．
13.设两直线与若，则 ，若，则 ．
14.已知直线过点，且在轴和轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 ．
15.如图，在正方体中，，点分别为的中点，则平面截正方体所得截面面积为 ，动点满足，且，则当取得最小值时二面角的余弦值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知，．
若，求的值；
若，求实数的值；
若，求实数的值．
17.已知平行六面体的底面是边长为的菱形，且，．
证明：；
求异面直线与夹角的余弦值．
18.已知两条直线与的交点为．
求直线的斜率，以及它在轴的截距：
求过点，且斜率为的直线方程：
求过点，且与，的距离相等的直线方程．
19.如图，四棱锥 的底面是边长为的正方形，侧面底面，且 ，，分别为棱，的中点．
求证 ；
求异面直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
20.已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15. 或
16.由已知可得，，
所以；
因为，，
又，
存在实数使得，
，，，
解得；
因为，
所以，
即，
解得．

17.设，，
由题可知：两两之间的夹角均为，且，
由
所以即证．
由，又
所以，
又
则
又异面直线夹角范围为
所以异面直线夹角的余弦值为．

18.由，
可得：，
即直线的斜率为，以及它在轴的截距；
联立，解得
点的坐标为
直线经过点，且斜率为，
直线的方程为，即．
当直线过点且与平行，可得，即直线的斜率，
故直线的方程，即；
当直线过点和的中点时，因为，，可得，则不存在，
所以直线的方程，
综上，满足条件的直线方程为或．

19.因为侧面底面，取中点，
因为，则交线，所以底面，
如图，以，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，
则，所以；
，
所以，
设异面直线与所成角为，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
因为．
设平面的一个法向量为，
由，得
取，得，
所以，又，
所以点到平面的距离．

20.证明：法一：分别取、的中点、，连接、、，
由题意可知点、分别为线段、的中点．所以，，
因为，所以，所以点、、、四点共面，
因为、分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，所以平面，
又因为，、平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面；
法二：因为为正方形，且平面，所以、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，易知平面的一个法向量，
所以，所以，
又因为平面，所以平面．
解：设平面的法向量，，，
则，取，可得，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角余弦值为；
解：假设存在点，使得，其中，
则，
由得平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得即，
因为，解得或，所以，或．

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