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静安区彭浦中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题 2025.11
(满分 150分, 时间120分钟)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1．已知集合，集合，则 .
2．若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数 .
3．已知函数，则 ．
4．正实数a、b，若a与b的几何平均值为2，那么a与4b的算术平均值的最小值为 ．
5．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，
则的取值集合为 .
6．设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为 .
7．将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为 .
8．设曲线的斜率为3的切线为，则的方程为 ．
9．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 .
10．已知下列两个命题：，不等式恒成立；，有最小值；
11．公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，
游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ．
平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，
则的取值范围是 .
选择题(本大题共有4题, 13-14每题4分, 15-16每题5分, 满分18分)
13．已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
15．已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数
在区间内有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．关于函数有下述四个结论：①是偶函数； ②的最大值为2；
③在有4个零点；④在区间单调递减.其中所有正确结论的编号是（ ）
①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分)
17．已知，. （1）若函数的最小正周期为，求的值；
（2）当时，求函数在上的值域.
18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.
（1）求证: //平面；（2）求三棱锥的体积.
19．某科研单位采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为吨，
最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为.
该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 （2）设每处理一吨二氧化碳得到可利用的
化工产品价值为元，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损
20．已知圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为.
（1）求的值和椭圆C的方程；（2）过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点.
①若，求直线的方程；②设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问：是否为定值？
如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.
21．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；
（3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
静安区彭浦中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题解析 2025.11
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）
1． 2 . 3. 4 4. 4 5. 6. 7.
8. 9. 10. 或 11. 12.
1．【解析】由题意可知集合A表示四个实数，而集合B表示非负实数，所以两个集合交集为.
2．【解析】先由复数乘法化为，再由纯虚数的概念得即
3．4【解析】因为，所以，则，所以，故答案为:4.
4．4【分析】根据几何平均数求出，再利用基本不等式“积定，和最小”求解．
【解析】因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故答案为：4．
【解析】因为幂函数为奇函数，
且在上递减，是奇数且，；故答案为：．
【解析】由，得，
所以，因为为奇函数，定义域为，
所以，所以，即，，满足；
所以，故答案为：.
【解析】因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以直角边长为，由题意可知所得几何体是圆锥，
其底面圆的半径，母线长，则其表面积为；故答案为：.
8．【解析】设切线与函数的切点为，又因为，所以，
在处的导数值为，所以，又因为切点在函数上，即，
所以切点为，所以切线方程，即，故答案为：.
9．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则 .
9．【解析】由题意可知，，，，则，解得，，
，故答案为：.
10．或【解析】，不等式恒成立，即恒成立；由于的最小值为2，故为真命题时，，有最小值，表示以为底的对数函数
为增函数，且恒成立，即，解得，故为真命题时，；两个命题中
有且只有一个是真命题，当真假时，或，，，或；当假真时，
这样的值不存在，故实数的取值范围是或；故答案为：或.
11．【解析】方法1：依题意，斜坡长度，因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力
，求导得，由，得，
当时，，当时，，于是函数在上单调递减，
在上单调递增，所以当时，人上坡消耗的总体力最小.
方法2：依题意，斜坡长度，因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力，
由，得，即，其中锐角由确定，
显然，而，则，当且仅当，即时取等号，此时
，即，所以当时，人上坡消耗的总体力最小；故答案为：
12．【解析】设O为的重心，则，
，因为，所以，设，则在以点O为圆心，为
半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，则，
当且仅当，，都在线段上时，等号成立，
又，
当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立，
综上所述，的取值范围是；故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）
13. C 14. C 15. D 16. C
13．C【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：利用作差法分析判断即可.
【解析】对于选项AD：例如，满足，但，故AD错误；
对于选项B：利用，满足，但，故B错误；对于选项C：因为，
且，、是非零实数，则，可得，即，故C正确；故选：C.
A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
14．C【解析】由为两条不同的直线，为两个不同的平面，
对于选项A，若，，，则与平行或异面，故选项A错误；
对于选项B，若，，，则或异面或相交，故选项B错误；
对于选项C，若，，，则 ，故选项C正确；
对于选项D，若，，，则或异面或相交，故选项D错误；故选：C.
15．A【分析】先根据零点的存在性定理分析充分性，然后再举例分析必要性，由此判断出属于何种条件.
【解析】由零点存在性定理，可知充分性成立；反之，若函数，则易知，
且在区间内有两个零点，故必要性不成立；故选：A.
16．A【分析】函数的奇偶性可根据定义判断，最值、零点、单调性等可将函数去绝对值进行分析.
【解析】的定义域为，因为，
故为偶函数，结论①正确，当，，
当，，
故当时，，
根据函数为偶函数，作出大致图象，如右图所示：
故函数的最大值为2，结论②正确，根据图象可得，在有3个零点，故结论③错误，
由图象可以看出，在区间单调递减，结论④正确；故选：A.
三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分)
17．（1）；（2）.
【解析】（1），
因为且函数的最小正周期为，故；
（2）当时，，若时，，
当时，函数取得最大值，即；
当时，函数取得最小值，即；
综上所述，函数在上的值域.
18．（1）见解析；（2）.【分析】（1）依据线面平行的判定定理，找出面内有一条直线平行于，
即可证出 //平面；（2）根据等积法，即可算出．
【解析】（1）连接与交于点，连接，因为为的中点，
为的中点，所以，又平面，平面，
所以//平面；
（2）正方体棱长为2，则点到平面的距离为
等于到平面的距离的一半，距离为1，根据等积法，，
所以 ，故三棱锥的体积为．
（1）该单位每月处理量为吨时，才能便每吨的平均处理成本最低；（2）国家每月至少补贴元，
才能不亏损.【解析】（1）二氧化碳的每吨平均处理成本为整理后利用基本不等式即可求解；
（2）设该单位每月获利为，，利用二次函数的基本性质求出的最大值，即可得出结论.
【解析】（1）由题意可得：二氧化碳的每吨平均处理成本为
，当且仅当，即时等号成立，
所以该单位每月处理量为吨时，才能便每吨的平均处理成本最低为元；
（2）设该单位每月获利为，则
，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以，函数在区间上单调递减，
当时，有最大值为，
故该单位需要国家每月至少补贴元，才能不亏损.
20．（1），；（2）①；②是定值，为.
【解析】（1）由圆与椭圆相交于点M得，又因为椭圆的离心率为和可得答案；
①设直线的方程为分别与圆、椭圆的方程联立，可求得坐标，由可得；
②利用①中坐标得，，化简可得答案.
【解析】（1）因为圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，
所以，又因为椭圆的离心率为，所以，所以，椭圆.
（2）①因为过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点，因为所以直线的斜率存在，
设直线的方程为， 由得，所以，
同理得，所以，因为，所以，
又，所以，即直线的方程为；
②是定值，理由如下，由①知，，
，，所以为定值.
21．（1）答案见详解；（2）或；（3）.
【分析】（1）先求导，对和进行分类讨论，结合二次函数性质，由导数正负确定原函数增减，即可求解；
由于与1，2的大小关系不确定，故需分为，，三类情况分类讨论，由导数正负确定原函数增减，进而确定在上，解出对应值；（3）采用分离参数法得，，
令，求得，再令，利用二阶导确定一阶导的单调性和正负，进而确定原函数的单调性和正负，进而得解.
【解析】（1）由得，当时，，故在上单增；
当时，令，解得，时，，单增；
时，，单减；时，，单增；综上所述，当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增；
（2）由（1）可知，
①当时，在上单增，故当时，，解得，故；
②当时，令，解得，和时，，单增；
时，，单减；
故最大值在或处取到，，解得（舍去），
，解得舍去；
③当，即时，时，，单增；时，，
单减，故，解得，故；
④当时，即时，时，，单减，故，
解得（舍去），综上所述，或；
（3）要使在区间上恒成立，即对于任意恒成立，
分离参数得，，令，则，
令，则，故在单增，，故，即在成立，故在单增，，所以.

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