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第十六章 整式的乘法
16.1.2幂的乘方与积的乘方
1．掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，知道其推导出来的过程．
2．能熟练地进行幂的乘方与积的乘方的运算．
3．会双向应用幂的乘方与积的乘方公式．
即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．
1．说一说同底数幂的乘法的运算法则？
2．填空：（1）am·an·ap＝_________（m，n，p都是正整数）．
（2） a＝_____．
am＋n＋p
a1
探究1：根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）(32)3=32×32×32=3( )
（2）(a2)3=___________=a( )
（3）(am)3=___________=a( )
6
a2×a2×a2
6
am×am×am
3m
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(am)n＝amn（m，n都是正整数）．
幂的乘方的运算法则
多重乘方可以重复运用上述法则：
[(am)n]p＝amnp（m，n，p都是正整数）．
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）． 　
例1：计算.
（1） ； （2）； （3）； （4）．
探究2：填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？
（1）(ab)2=(ab) (ab)=(a a) (b b)=a( )b( )
（2）(ab)3=_______________=_____________________=a( )b( )
一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，
2
2
(ab) (ab) (ab)
(a a a) (b b b)
3
3
即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
(ab)n＝anbn（n为正整数）．
积的乘方的运算法则
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质：
(abc)n＝anbncn（n为正整数）．
例2：计算.
（1）(2a)3; （2）(-5b)3; （3）(xy2)2; （4）(-2x3y)4.
解：（1）(2a)3=23·a3=8a3;
（2）(-5b)3=(-5)3 b3= -125b3;
（3）(xy2)2=x2 (y2)2=x2y4;
（4）(-2x3y)4=(-2)4 (x3)4 y4=16x12y4.
思考：幂的乘方与积的乘方的逆运算是怎样的呢？
amn＝(am)n＝(an)m （m，n都是正整数）．
anbn ＝(ab)n（n为正整数）．
例3：若x2n＝2，则x6n＝___；若ax＝2，ay＝7，则a2x＋y＝____．
8
28
例4：简便计算82×(0.125)2
解：82×(0.125)2
＝(8×0.125)2
＝12
＝1
【知识技能类练习】必做题：
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
2．已知，则的值为（ ）
A．17 B．24 C．36 D．72
D
【知识技能类练习】必做题：
3．填空：
（1） ； （2） ；
（3） ；（4） ．
【知识技能类练习】选做题：
4．计算：(1)
(2)若，请求出的值．
解：（1）
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【综合拓展类练习】
5．已知：，，，试比较a、b、c的大小．
解：，
，
，
∵，
∴，
∴．
逆运算
幂的乘方的运算法则
(am)n＝amn
（m，n都是正整数）
幂的乘方与积的乘方
积的乘方的运算法则
(ab)n＝anbn
（n为正整数）
【知识技能类作业】必做题：
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：
(1)； (2)；
(3)；(4)．
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【知识技能类作业】选做题：
4．计算 ．
解：原式
．
故答案为：．
【综合拓展类作业】
5．按要求计算下面各题：
(1)已知，，则的值．
(2)已知，求的值．
解：（1）∵，∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第二课时《16.1.2幂的乘方与积的乘方》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课选自人教版数学八年级上册第十六章“整式的乘法”第一节第二课时，是在学生已掌握“同底数幂的乘法”运算性质的基础上，对幂的运算体系的进一步拓展，也是后续学习整式乘法、因式分解、分式运算等内容的核心基础． 从知识逻辑来看，幂的运算是代数运算的“基石”——后续单项式乘以单项式需先运用积的乘方和幂的乘方化简，多项式乘以多项式也需以单项式乘法为前提；从能力培养来看，本节课通过“探究规律—抽象性质—应用性质”的学习过程，能帮助学生建立“从具体到抽象”“从特殊到一般”的数学思维，提升逻辑推理与代数运算能力，为后续更复杂的代数问题解决奠定思维基础．
学习者分析 学生此前已掌握乘方的意义和同底数幂的乘法性质，具备初步的代数运算与逻辑推理基础，能理解从具体实例推导数学规律的过程，适合通过“探究—抽象—应用”的模式学习．但学生易混淆相近运算性质，可能将幂的乘方与同底数幂乘法弄混；在积的乘方运算中，易遗漏负号或某一因式的乘方．此外，学生对字母表示任意数的抽象理解仍需加强，在处理含字母指数的运算时可能存在困难，教学中需通过对比辨析和分步拆解帮助突破．
教学目标 1．掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，知道其推导出来的． 2．能熟练地进行幂的乘方与积的乘方的运算． 3．会双向应用幂的乘方与积的乘方公式．
教学重点 幂的乘方与积的乘方的运算法则．
教学难点 幂的乘方与积的乘方的运算法则的探究和应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，知道其推导出来的． 2．能熟练地进行幂的乘方与积的乘方的运算． 3．会双向应用幂的乘方与积的乘方公式．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．说一说同底数幂的乘法的运算法则？ 答案：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）． 即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．填空：（1）am·an·ap＝_________（m，n，p都是正整数）． （2） a＝_____． 答案：am＋n＋p，a1学生活动2： 学生根据老师的提问，回答疸活动意图说明： 通过复习同底数幂的乘法法则，为探索幂的乘方与积的乘方的运算法则做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 探究1：根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）(32)3=32×32×32=3( ) （2）(a2)3=___________=a( ) （3）(am)3=___________=a( ) 答案：6，a2×a2×a2，6，am×am×am，3m 引导：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 归纳：幂的乘方的运算法则 (am)n＝amn（m，n都是正整数）． 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 推广：多重乘方可以重复运用上述法则： [(am)n]p＝amnp（m，n，p都是正整数）． 例1：计算. （1） ； （2）； （3）； （4）． 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 探究2：填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？ （1）(ab)2=(ab) (ab)=(a a) (b b)=a( )b( ) （2）(ab)3=_______=_________=a( )b( ) 答案：2，2，(ab) (ab) (ab)，(a a a) (b b b)，3，3 引导：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， 归纳：积的乘方的运算法则 (ab)n＝anbn（n为正整数）． 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 推广：三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质： (abc)n＝anbncn（n为正整数）． 例2：计算. （1）(2a)3; （2）(-5b)3; （3）(xy2)2; （4）(-2x3y)4. 解：（1）(2a)3=23·a3=8a3; （2）(-5b)3=(-5)3 b3= -125b3; （3）(xy2)2=x2 (y2)2=x2y4; （4）(-2x3y)4=(-2)4 (x3)4 y4=16x12y4. 思考：幂的乘方与积的乘方的逆运算是怎样的呢？ 预设：amn＝(am)n＝(an)m （m，n都是正整数）． anbn ＝(ab)n（n为正整数）． 例3：若x2n＝2，则x6n＝___；若ax＝2，ay＝7，则a2x＋y＝____． 答案：8，28 例4：简便计算82×(0.125)2 解：82×(0.125)2 ＝(8×0.125)2 ＝12 ＝1学生活动3： 学生自主探究，小组合作交流后，和老师一起完成幂的乘方与积的乘方法则的探索过程，并归纳法则并进一步探究其逆运算活动意图说明： 通过合作探究与提问的形式引导学生探究幂的乘方与积的乘方的运算法则及其逆运算．并通过例题巩固所学知识，提高学生对法则的应用能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：16.1.2幂的乘方与积的乘方一、 二、教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．已知，则的值为（ ） A．17 B．24 C．36 D．72 答案：D 3．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 答案： 选做题： 4．计算： (1) (2)若，请求出的值． 解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【综合拓展类练习】 5．已知：，，，试比较a、b、c的大小． 解：，，， ∵， ∴， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 选做题： 4．计算 ． 答案： 解：原式 ． 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．按要求计算下面各题： (1)已知，，则的值． (2)已知，求的值． 解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴．
教学反思 本课教学中，通过教材探究案例引导学生推导幂的乘方与积的乘方性质，多数学生能理解“从具体到一般”的推导逻辑，基本掌握公式应用．但存在不足：一是对幂的乘方与同底数幂乘法的辨析不够深入，部分学生仍混淆指数运算规则；二是处理积的乘方中负号、多因式问题时，未充分预设学生易错点，，部分学生因符号或因式遗漏出错．后续需增加对比练习，结合教材例题分步拆解难点，强化学生对运算细节的把控．
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同步探究学案
课题 16.1.2幂的乘方与积的乘方 单元 第十六章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，知道其推导出来的． 2．能熟练地进行幂的乘方与积的乘方的运算． 3．会双向应用幂的乘方与积的乘方公式．
重点 幂的乘方与积的乘方的运算法则．
难点 幂的乘方与积的乘方的运算法则的探究和应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．说一说同底数幂的乘法的运算法则？ 2．填空：（1）am·an·ap＝_________（m，n，p都是正整数）． （2） a＝_____．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助同底数幂的乘法，研究幂的乘方与积的乘方。 探究1：根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）(32)3=32×32×32=3( ) （2）(a2)3=___________=a( ) （3）(am)3=___________=a( ) 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 归纳：幂的乘方的运算法则 (am)n＝____（m，n都是正整数）． 即：幂的乘方，底数______，指数______． 推广：多重乘方可以重复运用上述法则： [(am)n]p＝________（m，n，p都是正整数）． 例1：计算. （1） ； （2）； （3）； （4）． 探究2：填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？ （1）(ab)2=(ab) (ab)=(a a) (b b)=a( )b( ) （2）(ab)3=_______=_________=a( )b( ) 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， 归纳：积的乘方的运算法则 (ab)n＝________（n为正整数）． 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别______，再把所得的幂______． 推广：三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质： (abc)n＝________（n为正整数）． 例2：计算. （1）(2a)3; （2）(-5b)3; （3）(xy2)2; （4）(-2x3y)4. 思考：幂的乘方与积的乘方的逆运算是怎样的呢？ amn＝(am)__＝(an)__ （m，n都是正整数）． anbn ＝______（n为正整数）． 例3：若x2n＝2，则x6n＝___；若ax＝2，ay＝7，则a2x＋y＝____． 例4：简便计算82×(0.125)2
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列计算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（ ） A．17 B．24 C．36 D．72 3．填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 选做题： 4．计算： (1) (2)若，请求出的值． 【综合拓展类练习】 5．已知：，，，试比较a、b、c的大小．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 选做题： 4．计算 ． 【综合拓展类作业】 5．按要求计算下面各题： (1)已知，，则的值． (2)已知，求的值．
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