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天津市宝坻区第一中学 2025-2026 学年高二上学期 11 月月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．经过 A 1, 2 3 ， B 2, 3 两点的直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°

2．设 x R ，向量 a (1, x,1)，b (2, 4, 2)， a / /b，则 x （ ）
A． 4 B． 3
C． 2 D． 1
3．已知空间向量 p

(1,0, 1),q (0,3,1) ，则 2p

3q （ ）
A． 5,9,1 B． 3,6,5 C． 2, 9,5 D． 2, 9, 5
4．平行六面体 ABCD A B C D 中， AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 ，
BAA DAA 60 ，则 AC 的长为（ ）
A．10 B． 85 C． 61 D． 70
5 1．当 0 k 时，两条直线 x y 2k、 x y 12 的交点在（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
6．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，则点C1到直线 AE的距
离为（ ）
A 2 5 B 2 30． ． C． 6 D． 2 6
5 5
7．已知直线mx y m 1 0与直线3x m 2 y 3 0平行，则m （ ）
A．1 B．3 C．1 或 3 D． 1或 3
8．已知点 A与点 B(2,1) 关于直线 x+y 2 0 对称，则点 A的坐标为（ ）
A． ( 1, 4) B． (4,5)
C． ( 3, 4) D． ( 4, 3)
9．已知点 A在直线 x 2y 1 0 上，点 B在直线 x 2y 3 0上，线段 AB的中点为 P x0 , y0 ，
试卷第 1页，共 4页
y0
且满足 y0 x0 2，则 x 的取值范围为0
1 , 1 1 1 1 A． B．2 5
, C． ,0 D． ,0
5 5 2
二、填空题

10．平面α的一个法向量 n 1,0,1 ，点 A 1,1,0 在 内，则平面外点 P 1,1,1 到平面 的
距离为 ．
11．已知两直线 l1 : 3x 4y 14 0， l2 : a x 1 2x 4y 0，若 l1∥l2 ，则 l1与 l2间的距离
为 ．
12．已知一束光线通过点 A 3,5 ，经直线 l : 3x 4y 4 0反射．如果反射光线通过点
B 2,15 ，则反射光线所在直线的方程是 ．
13．设直线 l的方程为 (a 1)x y 1 a 0，若直线 l在两坐标轴上的截距互为相反数，则
a=

14．已知空间三点 A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则 AB在 AC上的投影向量的
模是 .
15．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ，N分别是棱 A1B1 ， A1D1的中点，
点 E在 BD上，点 F 在B1C上，且 BE CF，点 P在线段CM上运动，给出下列四个结论:
①当点 E是 BD中点时，直线 EF // 平面DCC1D1；
2
②直线 B1D1到平面CMN的距离是 ；2
③存在点 P，使得 B1PD1 90 ；
④△PDD 5 51面积的最小值是 ．
6
其中所有正确结论的序号是 ．
试卷第 2页，共 4页
三、解答题
16．已知点 A(1,3) ， B(3,1) ，C( 1,0)，求：
(1) BC边上的高所在直线方程；
(2)VABC的外心坐标；
(3)VABC的面积．
17．已知直线 l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点 P(4,5)关于 l的对称点；
(2)直线 x－y－2＝0 关于直线 l对称的直线方程；
(3)直线 l关于(1,2)的对称直线．
18．三棱台 ABC A1B1C1中，若 AA1 平面 ABC，AB AC；AB AC AA1 2，A1C1 1，
M ， N分别是 BC，BA中点．
(1)求证：BB1 / / 平面C1MA；
(2)求直线 AC1与平面C1MN所成角的正弦值；
(3)求三棱锥 A1 C1MA的体积．
19．如图，四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD， PAD是以 AD为斜边的等腰直角
三角形，底面 ABCD为直角梯形，BC / /AD，CD AD，其中 2BC AD 4，CD 1，E是 PD
的中点，O是 AD的中点.
(1)求证：PO 平面 ABCD；
(2)求平面 PAB与平面 PBC 夹角的余弦值；
试卷第 3页，共 4页
(3)求点 E到平面 PAB的距离.
20．如图，在多面体 ABCDEF中，四边形 ABCD为正方形，DE 平面 ABCD，DE∥ BF，
1
AD DE 2， BF .
2
(1)求证： AC EF；
(2)求直线 EC与平面 ACF所成角的正弦值；
2
(3)在线段DE上是否存在点G，使得直线 BG与 AD所成角的余弦值为 ，若存在，求出点G
3
到平面 ACF的距离，若不存在，请说明理由.
试卷第 4页，共 4页
《天津市宝坻区第一中学 2025-2026 学年高二上学期 11 月月考数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B C D B C B C C A
1．B
【分析】先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角.
2 3 3
【详解】由斜率公式可得 kAB 3 ， 1 2
故经过 A 1, 2 3 ， B 2, 3 两点的直线的倾斜角为 60°.
故选：B.
2．C
【分析】利用向量共线的充要条件求解即可.

【详解】因为向量 a (1, x,1)，b (2, 4, 2)， a / /b，所以存在 R ，使得 a b，
1 2 1
即 , x 2
x
，解得 ，
4 2
故选：C.
3．D
【分析】利用空间向量坐标运算求得答案.

【详解】空间向量 p (1,0, 1),q (0,3,1)，
所以 2 p
3q (2,0, 2) (0,9,3) (2, 9, 5) .
故选：D
4．B

【分析】由 AC AB AD AA ，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．
【详解】如图，
2 2 2
由题知， AB 16,AD 9,AA 25 ,

AB AD 4 3 cos90 0 ， AB AA 4 5 cos 60 10，
答案第 1页，共 13页

AD AA 3 5 cos 60 15 .
2

AC AB AD AA ，
2 2
AC AB AD AA 2 2 2 AB AD AA 2AB AD 2AB AA 2AD AA
16 9 25 15 2 0 2 10 2 85 ，
2

AC 85 即 AC 的长为 85 .
故选：B
5．C
1
【分析】联立两直线的方程，得出两直线的交点坐标，然后由 0 k 2 得出交点横坐标和纵
坐标的符号，即可判断出两直线交点所在的象限.

x y 2k x
2k 1

2 1 2k 1 2k 1
【详解】联立 x ，解得 ，当
0 k 时， 0， 0，
y 1

2y 2k 1 2 2
2
因此，两条直线 x y 2k、 x y 1的交点在第三象限.
故选 C.
【点睛】本题考查两直线交点所在象限的判断，解题的关键就是联立两直线的方程，求出交
点坐标，考查运算求解能力，属于中等题.
6．B

【分析】建立以 A为原点，以 AB, AD, AA1 的方向为 x轴， y轴，z轴正方向的空间直角坐标

2

系 A xyz
2 AE AC
，根据点C1到直线 AE的距离为 d AC 1 1 计算即可解决. AE
【详解】由题知，棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为线段DD1的中点，

以 A为原点，分别以 AB, AD, AA1 的方向为 x轴， y轴， z轴正方向空建立空间直角坐标系
A xyz，所以 E(0, 2,1), A(0,0,0),C 1(2, 2, 2) ,

所以 AE (0,2,1), AC1 (2,2,2) ,
答案第 2页，共 13页

2
2
C 2AE d AC AE AC1 12 6 24 2 30所以点 1到直线 的距离为 1 ,
AE
5 5 5
故选：B
7．C
【分析】根据一般式方程两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再检验即可.
【详解】因为直线mx y m 1 0与直线3x m 2 y 3 0平行，
所以m m 2 3 0，解得m 1或m 3，
经检验，当m 1或m 3时，均满足两条直线平行.
故选：C
8．C
【分析】因点 A与点 B关于直线对称，则 AB中点在直线 x+y 2 0 上且直线 AB与直线
x+y 2 0 垂直.
【详解】设 A x, y ，因点 A与点 B关于直线对称，则 AB中点在直线 x+y 2 0 上且直线
AB与直线 x+y 2 0 垂直，
x 2 y 1
2 0 2 2 x 3
则
y 1
，y 4
1
x 2
即点 A坐标为 ( 3, 4) .
故选：C
9．A
【解析】设出点 A的坐标和 AB中点 P x0 , y0 ，用 A,P表示出 B坐标，将 A,B坐标代入对应
答案第 3页，共 13页
直线方程即可得到 x0 , y0 的表达式， 联立 y0 kx0 得到 x0 表达式代入 y0 x0 2求解即可.
y0
【详解】解：设 A x1, y1 ， kx ，则 y0 kx0 ，0
AB的中点为 P x0 , y0 ， B 2x0 x1, 2y0 y1)，
A,B分别在直线 x 2y 1 0和 x 2y 3 0，
x1 2y1 1 0， 2x0 x1 2 2y0 y1 3 0 ，
2x0 4y0 2 0，即 x0 2y0 1 0 .
y0 kx0 ， x
1
0 2kx0 1 0即 x0 ，1 2k
又 y0 x0 2， kx0 x0 2，即 (k 1)x0 2，
(k 1) 1 2 5k 1所以 ，即 0，
1 2k 2k 1
1 1
解得 k .
2 5
故选：A.
【点睛】平面解析几何问题中的设而不求方法注意事项：
（1）凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；
（2）“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.
10 2．
2
【分析】利用点到平面的距离公式即可求解.

【详解】因为 PA 0,0, 1 ， PA n 1， n 2 ，

PA n
所以点 P
1 2
1,1,1 到平面 的距离 d .
n 2 2
2
故答案为：
2
19
11．
5
【分析】根据直线平行求得 a 5，进而求两平行线间距离.
【详解】已知两直线 l1 : 3x 4y 14 0， l2 : a x 1 2x 4 y 0 a 2 x 4 y a 0，
3 4 4
l l a 2 ,若 1∥ 2 ，则 解得 a 5，则直线 l : 3x 4y 5 0，
4a 14 4
2
答案第 4页，共 13页
14 5
则 l l
19
1与 2间的距离为
32 42 5
．
19
故答案为： .
5
12．18x y 51 0
【分析】先求出 A 3,5 关于直线 l的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点 B 2,15 和
对称点，从而得到反射光线所在直线方程.
3 3 x0 4 5 y
0 4 0
A 3,5 A x , y 2 2【详解】设点 关于直线 l的对称点为 0 0 ，则
y0 5 4
，

x0 3 3
解得 x0 3, y0 3，故 A 3, 3 .
由于反射光线所在直线经过点 A 3, 3 和 B 2,15 ，
所以反射光线所在直线的方程为 y 15
3 15
x 2 ，即18x y 51 0 .
3 2
故答案为：18x y 51 0 .
13．1 或 2
【分析】分别求出直线在两坐标轴上的截距，由题意可列出方程，求解，即得答案.
【详解】由题意知直线 l的方程为 (a 1)x y 1 a 0，
当 a 1时，直线为 y 2 0，不符题意，故 a 1，
a 1
令 x 0，则 y a 1；令 y 0 ，则 x ；
a 1
a 1
由直线 l在两坐标轴上的截距互为相反数，则 a 1 0，
a 1
解得 a 1或 a 2，
a 1时，直线为 2x y 0 ，直线 l在两坐标轴上的截距均为 0，符合题意；
a 2时，直线为 x y 3 0，直线 l在 x, y轴上的截距分别为3, 3，符合题意；
故答案为：1 或 2 .
2
14．
3

【分析】先求得 AB, AC，再根据投影向量的模的公式求解即可
uuur uuur
【详解】由题， AB 2, 1,3 ,AC 1,2,2 ，故 AB在 AC上的投影向量的模
答案第 5页，共 13页
uuur uuur
uuur uuur uuur AB AC 2 2 6
AB cos AB, AC 2 uuur
AC 12 22 22 3
2
故答案为： .
3
15．①③
【分析】对①：由线面平行的判定定理进行判断即可；
对②：把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由等体积法列式即可求；

对③和④：都属动点问题，把几何问题转化为空间向量的问题，对于③，只需证明 PB1 PD1 0
有解即可；
对于④，只需求出点 P到直线DD1距离的最小值即可.
【详解】对①，如图所示:
因为 E是 BD中点，BE CF，
所以点 F是 B1C的中点，连接 BC1，显然 F 也是 BC1的交点，连接DC1，
所以 EF //C1D，而 EF 平面DCC1D1，DC1 平面DCC1D1，
所以直线 EF // 平面DCC1D1，①对；
以 A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则M 1,0,2 ，C 2,2,0 ，B1 2,0,2 ，D1 0,2,2 ，
对②，M ，N分别是棱 A1B1， A1D1的中点，
B1D1 //MN ， B1D1 平面CMN，MN 平CMN，故 B1D1 // 平面CMN，
故直线 B1D1到平面CMN的距离等于点D1 到平面CMN的距离，设为 h，
1 1 1
MN 2 ，CN CM 3，VC MND 1 1 2 ，1 3 2 3
答案第 6页，共 13页
2
1 S CMN 2 3
2 2 17 1 17 ，V2 2 2 D1 CMN
h，
3 2
V 2 17由 C MND V1 D1 CMN得 h ，②错；17

对③，设MP t MC (t, 2t, 2t)， t 0,1 ， P(t 1, 2t, 2t 2)，

则 PB1 (1 t, 2t, 2t)，PD1 ( t 1,2 2t, 2t)，

由 B1PD1 90 ，得 PB1 PD1 (1 t )( t 1) ( 2t )(2 2t ) 2t 2t 9t
2 4t 1 0 ，
t 2 13 t 2 13得 ，由 0,1 ，故存在点 P，使得 B1PD1 90 ，③对；
9 9
对④，由③得 P(t 1, 2t, 2t 2)到DD1的投影为 (0, 2, 2t 2) ，
2
P DD d (t 1)2 (2 2t)2 5 t 3 16故 到 1的距离 5
，
5
2
△PDD 1 3 161面积为 S 2 d 5 t ， t 0,1 ，2 5 5
t 3 4 5由二次函数性质，当 时，取得最小值为 ，④错．
5 5
故答案为：①③
16．(1) 4x y 7 0
(2) (
9 , 9 )
10 10
(3)5
【分析】（1）首先求出直线 BC的斜率，由互相垂直的直线间斜率关系得出 BC边上的高线
的斜率，由高线过 A(1,3) ，即可得出 BC边上的高所在直线方程；
（2）分别求出边 AB,BC的垂直平分线，联立即可得出VABC的外心坐标；
（3）先写出直线 BC的方程，由点到直线的距离公式得出点 A到直线 BC的距离，再由两点
之间的距离公式求出边 BC的长，由三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）由 B(3,1)
1
，C( 1,0) 得， kBC ，4
所以 BC边上的高线的斜率为 k 4 ，且高线过点 A(1,3) ，
所以 BC边上的高线的直线方程为： y 3 4(x 1) ，即 4x y 7 0．
1 3 3 1
（2）由 A(1,3) ， B(3,1) 得， kAB 1，边 AB的中点为 ( , ) ，即 (2, 2)，2 2
答案第 7页，共 13页
所以边 AB的垂直平分线的直线方程为： y 2 x 2，即 y x；
由 B(3,1) ，C( 1,0) k
1 1
，得 BC ，边 BC的中点为 (1, ) ，4 2
1 9
所以边 BC的垂直平分线的直线方程为： y 4(x 1)，即 y 4x ，
2 2
9
y x x 10
由 ，得 ，
y 4x
9
9
2 y 10
VABC ( 9 , 9所以 的外心坐标为 ) ．
10 10
1 1
（3）由（1）知， kBC ，则直线 BC的方程为： y (x 1) ，即 x 4y 1 0，4 4
1 4 3 1 10 17
边 BC上的高为：d ，
12 42 17
BC (3 1)2 (1 0)2 17 ，
1 1 10 17
所以 S ABC BC d 17 5．2 2 17
17．（1）(－2,7)；（2）7x＋y＋22＝0；（3）3x－y－5＝0.
【解析】(1)设 P(x，y)关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 P′(x′，y′)，由题得

x
4x 3y 9
(3)
5
，
y 3x 4y 3 (4)
5
把 x＝4，y＝5 代入（3）（4）即得解；（2）用（3）（4）分别代换 x－y－2＝0 中的 x，y即
得解；（3）在直线 l：3x－y＋3＝0 上取点 M(0,3)，求出其关于(1,2)的对称点 M′(x′，y′)，又
对称直线的斜率为 3，即得解.
【详解】(1)设 P(x，y)关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 P′(x′，y′)，
y y
因为 kPP′·kl＝－1，即 ×3＝－1.（1）x x
又 PP′的中点在直线 3x－y＋3＝0 上，
x x y y
所以 3× ＋3＝0. （2）
2 2
x 4x 3y 9 (3) 5
由（1）（2）得
y 3x 4y 3 (4)
5
把 x＝4，y＝5 代入（3）（4）得 x′＝－2，y′＝7，
答案第 8页，共 13页
所以点 P(4,5)关于直线 l的对称点 P′的坐标为(－2,7)．
(2)用（3）（4）分别代换 x－y－2＝0 中的 x，y，
4x 3y 9 3x 4y 3
得关于 l对称的直线方程为 2 0 ，
5 5
化简得 7x＋y＋22＝0.
(3)在直线 l：3x－y＋3＝0 上取点 M(0,3)，关于(1,2)的对称点 M′(x′，y′)，
x 0 y 1 3所以 ，x′＝2， 2，y′＝1，所以 M′(2,1)．
2 2
l关于(1,2)的对称直线平行于 l，所以 k＝3，
所以对称直线方程为 y－1＝3×(x－2)，
即 3x－y－5＝0.
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查点和直线的对称问题，意在考查学生对这些知
识的理解掌握水平和数形结合分析能力.
18．(1)证明见解析
2
(2)
5
1
(3)
3

【分析】（1）求出平面C1MA

的一个法向量为 n，再证明 BB n 1 即可；

（2）求出平面C1MN的一个法向量m，再利用线面角的公式 sin cos AC1,m 求解即可；
（3）利用空间向量求出点 A1到平面C1MA的距离为 d，再求出 C1MA的面积即可.
【详解】（1）以点 A为原点，直线 AB， AC， AA1分别为 x， y， z轴建立如图所示的空间
直角坐标系，
A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 0,2,0 ,B1 1,0,2 ,C1 0,1,2 , A1 0,0,2 ,M 1,1,0 ,N 1,0,0 ,

∴ BB1 1,0,2

，设平面C1MA的一个法向量为n x, y, z ，
答案第 9页，共 13页

n AM x y 0
∵ AM 1,1,0 ，AC 1 0,1,2 ， ，
n AC1 y 2z 0

令 z 1，∴n 2, 2,1 BB ，∵ 1 n 0，∴BB1 n，
又∵ BB1 平面C1MA，所以 B1B / / 平面C1MA .

（2）∵ AC1 0,1,2 ，C1M 1,0, 2 ，NM 0,1,0 ，

m NM b 0
设平面C1MN的一个法向量为m a,b,c ，则 ，
m

C1M a 2c 0
令 c 1， m

2,0,1 ，设直线 AC1与平面C1MN 所成角为θ，

sin cos AC ,m AC1 m 2 1 ，AC 51 m
2
所以直线 AC1与平面C1MN所成角的正弦值为 .5

（3） AA1 0,0,2

，平面C1MA的法向量为 n 2, 2,1 ，

AA1 n

2
设点 A1到平面C1MA的距离为 d， d
n
，
3
又 AM 2，AC1 5,C1M 5 ，
2
1 2 1 1 S C MA 2 5 2 3 ， V A C MA S C MA d .1 2 2 2 1 1 3 1 3
19．(1)证明见解析
(2) 30
6
(3) 6
3
【分析】（1）根据平面 PAD 平面 ABCD，利用面面垂直的性质定理即可得证；
（2）建立空间直坐标系 Oxyz，分别求出平面 PAB和平面 PBC的法向量，利用向量法求解
即可；

（3）求出 PE 0，1， 1 ，利用向量法求解即可．
【详解】（1）证明：由于△PAD是以 AD为斜边的等腰直角三角形，
O是 AD的中点，故OP AD，
答案第 10页，共 13页
由于平面 PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面 ABCD AD，OP 平面 PAD，
故OP 平面 ABCD；
（2）连结 OB，由于 O是 AD的中点，且2CB AD 4，故CB OD，
由于 BC / /AD，CD AD，故四边形 OBCD为矩形，
所以OB AD，故有 OB、OD、OP两两垂直，
以 O为坐标原点，OB、OD、OP所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直
坐标系 Oxyz，
则O(0,0,0), A(0, 2,0), B(1,0,0), C(1, 2,0), D(0, 2,0), P(0,0, 2), E(0,1,1) ,

设平面 PAB的法向量为m x，y，z ，AP 0，2，2 ，PB 1，0， 2 ，
m AP 2y 2z 0
则 ，
m

PB x 2z 0
令 x 2，则 y 1，z 1，

故平面 PAB的一个法向量为m 2， 1，1 ，

设平面 PBC的法向量为 n x，y，z ，BC 0，2，0 ，PB 1，0， 2 ，

n BC 2y 0
则
n PB x 2z 0
令 x 2，则 y 0，z 1，
故平面 PBC的一个法向量为 n

2，0，1 ，
设平面 PAB与平面 PBC的夹角为 ，
m n
cos cos m , n 5 30
m
，
n 6 5 6
故平面 PAB 30与平面 PBC的夹角余弦值为 ；
6
答案第 11页，共 13页

（3） PE 0，1， 1 ，由（2）知，平面 PAB的一个法向量为m 2， 1，1 ，

PE m 2 6
所以点 E到平面 PAB的距离为 d
m
.
6 3
20．(1)证明见解析；
5
(2)
6
(3) 2
【分析】(1)建立适当的空间直角坐标系，利用向量垂直证明线段垂直.

(2)求出平面 ACF的法向量，以及 EC的坐标，即可求解.
(3)假设线段 DE上存在一点G 0,0,h ，再根据条件求出 h，再利用向量的投影即可求出点G
到平面 ACF的距离.

【详解】（1）依题意，以 D为原点，分别以DA,DC，DE的方向为 x轴，y轴，z轴的正方向
建立空间直角坐标系，可得D 0,0,0 , A 2,0,0 , B 2,2,0 ,C 0,2,0 ,E 0,0,2 ,
F 2, 2, 1 .
2

依题意， AC 2,2,0 , EF 3 2,2, ,
2

从而 AC EF 2 2 2 2 0 0 ,

所以 AC EF，即 AC EF
1
（2）依题意， AC 2,2,0 , AF 0,2, ,
2

设 n x, y, z 为平面 ACF的法向量，
2x 2y 0

则 ，
2y
1
z 0
2
r
不妨设 x 1.可得 n 1,1, 4 ，
答案第 12页，共 13页

因为 EC 0, 2, 2 ,
设直线 EC与平面 ACF所成角为 ，则

sin cos EC,n 10 5 ，
2 2 3 2 6
5
所以直线 EC与平面 ACF所成角的正弦值为 .
6
（3）假设线段 DE上存在一点G 0,0,h 2，使得直线 BG与 AD所成角的余弦值为 ，则
3
BG 2, 2,h .

依题意 AD 2,0,0 则，

cos BG, AD 4 2 ，解得 h 1 .
8 h2 2 3
所有存在点G 0,0,1 满足条件，

所以可得 AG 2,0,1 ,
r
由（2）可知平面 ACF的一个法向量为 n 1,1, 4 ，
所以点 G到平面 ACF的距离为

AG n 2,0,1 1,1, 4
2
n 3 2
答案第 13页，共 13页

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