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甘肃省白银市第一中学 2026届高三上学期 11月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知 为△ 所在平面外一点，平面 //平面 ，且 交线段 , , 于点 ′, ′, ′，若 ′: ′ =
2: 3，则 ′ ′ ′: =( )
A. 2 ∶ 3 B. 2 ∶ 5 C. 4 ∶ 9 D. 4 ∶ 25
√ 3
2.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < )的图象的相邻两对称轴间的距离为 ， (0) = ，则 ( )的
2 4 2
一个单调递增区间为( )
5 5
A. [ , ] B. [ , ] C. [ , ] D. [ , ]
4 24 6 24 24 24 24 4
3.直线 : √ 3 = 0被圆 : ( 1)2 + 2 = 1所截得的弦长为( )
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2

4.若 ∈ [0, ]，cos2 + sin = 0，则sin ( + ) =( )
2 3
√ 3 √ 3 1 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
5π
5.把 化成角度是( )
4
A. 45° B. 225° C. 300° D. 135°
6.如图，在正方体 1 1 1 1中，已知点 为底面 的中心， 为棱 1的中点，则下列结论中
错误的是( )
A. 1 //平面 1 1
B. ⊥平面 1 1
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C. 异面直线 1与 所成的角等于60

D. 直线 与平面 所成的角等于45
1
7.“ < 0”是“ < 1”的

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件
8.某地气象部门统计了当地2024年3月前8天每天的最高气温 (单位： C)，数据如下：
时间 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
( C) 8 12 8 14 16 11 18 21
则这8天的气温数据的极差为( )
A. 10 B. 12 C. 13 D. 14
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.根据《中华人民共和国噪声污染防治法》，城市噪音分为工业生产噪音，建筑施工噪音、交通运输噪音
和生活环境噪音等四大类.根据不同类型的噪音，又进一步细化了限制标准.通常我们以分贝( )为单位来
表示声音大小的等级，30～40分贝为安静环境，超过50分贝将对人体有影响，90分贝以上的环境会严重
影响听力且会引起神经衰弱等疾病.如果强度为 的声音对应的分贝数为 ( )( )，那么满足： ( ) = 10 ×

lg 12.对几项生活环境的分贝数要求如下，城市道路交通主干道：60～70 ，商业、工业混合区：1×10
50～60 ，安静住宅区、疗养院：30～40 .已知在某城市道路交通主干道、工商业混合区、安静住宅区
测得声音的实际强度分别为 1， 2， 3，则( )
A. 1 ≥ 2
B. 2 > 100 3
1
C. 若声音强度由 1降到 3，需降为原来的 10
D. 若要使分贝数由40提高到60，则声音强度需变为原来的100倍
10.已知10个互不相同的样本数据 1， 2， ， 10的平均值为 ，则关于新样本数据 1， 2， ， 10， 下
列说法正确的是( )
A. 极差不变 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 中位数变小
11.设点 是 所在平面内一点， 是平面上一个定点，则下列说法正确的有( )
A. 若
2
=
1
+ ，则 是 边上靠近 的三等分点
3 3

B. 若

= ( + )，( ∈ R且 ≠ 0)，则直线 经过 的垂心
| |cos | |cos
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1
C. 若 = + ，且 ， ∈ R， + = ，则 是 面积的一半
2

D. 若平面内一动点 满足 = + ( + )，( ∈ R且 ≠ 0)，则动点 的轨迹一定通过 的外
| | | |
心
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
3 + 1, < 2 2
12.(1)已知函数 ( ) = { 2 ，若 ( ( )) = 6，则实数 = ， (2) = ；(2)已知函数 + , ≥ 2 3
1
( ) , ≥ 3
( ) = { 3 ，则 (2 + log32)的值为 ．
( + 1), < 3
π π π
13.设函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | ≤ )，若 = 是函数 ( )的零点， = 是函数 ( )的一条对
2 8 8
π π
称轴， ( )在区间( , )上单调，则 的最大值是 ．
5 4
√ 2
14.已知直线 满足：原点到它的距离为 ，点(3,0)到它的距离为2√ 2，请写出满足条件的直线 的一个方
2
程： ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2 2 √ 2设椭圆 : 2 + = 1( > 1)， 的离心率是短轴长的 倍，直线 交 于 、 两点， 是 上异于 、 的一 4
点， 是坐标原点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 过 的右焦点 ，且 = ， = 0，求 的值；
(3)设直线 的方程为 = + ( , ∈ R)，且 + = ，求| |的取值范围．
16.(本小题15分)
2+4
已知正项数列{ }的前 项和为 ，且满足

= ． 2
(1)求数列{ }的通项公式；
36 45
(2)若 = 2， 为数列{ }的前 项和，证明， < ． 2
( 2 6)
17.(本小题15分)
1
已知公比不为1的等比数列{ }的首项 1 = ，前 项和为 ，且 4 + 4, 5 + 5, 6 + 6成等差数列． 2
(1)求等比数列{ }的通项公式；
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(2)对 ∈ +，在 与 +1之间插入3
个数，使这3 + 2个数成等差数列，记插入的这3 个数的和为 ，
求数列{ }的前 项和 ．
18.(本小题17分)
如图，已知矩形 ，过 作 ⊥平面 ，再过 作 ⊥ 于点 ，过 作 ⊥ 于点 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若平面 交 于点 ，求证： ⊥ ．
19.(本小题17分)
设 ， ， 为正实数，且 + + = 1．
1
(1)证明： + + ≤ ．
3
(2)证明：( 2 + 2 + 2
1
) ( + + ) ≥
+ + + 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
1
12. 5 ； 6；
54
13.14
14. + 1 = 0(答案不唯一， + + 1 = 0)
√ 2
15.【详解】(1)由 的离心率是短轴的长的 倍，得
4
√ 2 1 √ 2
= ，即√ 2( 2 1) = ，
2
又 > 1，则 = √ 2，
2
故椭圆 的方程为 + 2 = 1．
2
(2)设 的左焦点为 1，连接 1，
因为 = ，所以点 、 关于点 对称，
又 = 0，则 ⊥ ，
由椭圆 的对称性可得，
⊥ 1，且三角形 1与三角形 全等，
1
则 = = | | | |， 1 2 1
| 1| + | | = 2√ 2又{ ，化简整理得，
| |21 + | |
2 = | 1 |
2 = 4
| 1| | | = 2，则 = 1．
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(3)设 ( 1, 1)， ( 1, 1)， ( 0, 0)，
又 + = ，则 0 = ( 1 + 2)， 0 = ( 1 + 2)，
2
+ 2 = 1
由{ 2 得，(1 + 2 2) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
= +
= 16 2 2 8(1 + 2 2)( 2 1) = 8(2 2 2 + 1)，
4 2 2 2
由韦达定理得， 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
1+2 1+2
2
又 1 + 2 = ( 1 + 2) + 2 = 2，
1+2
4 2
则 0 = 2， 0 = 2，
1+2 1+2
4 2
因为点 在椭圆 上，所以( )22 + 2( 2)
2 = 2，
1+2 1+2
化简整理得，4 2 = 1 + 2 2，
2
2 2 +1此时， = 8(2 2 + 1) = 8(2 2 + 1 ) = 6(2 2 + 1) > 0，
4
则| | = √ ( )2 + ( )2 = √ (1 + 2)( )22 1 2 1 2 1
4 2 2 2
= √ 1 + 2 √ ( )2 4( )
1 + 2 2 1 + 2 2
√ 6(2 2 + 1)
= √ 1 + 2
1 + 2 2
2
√ 6+6 = 2，
1+2
令 = 1 + 2 2，即 ≥ 1，
2
6+6 3 +3 3
则 2 = = 3 + ∈ (3,6],
1+2
则| |的取值范围是(√ 3,√ 6]．
2+4
16.【详解】(1)因为 =
，则2 =
2
+ 4，且 > 0, > 0， 2
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令 = 1，则2 2 2 21 = 1 + 4，可得 1 = 4；
又因为2 = 2 2 +1 +1 +1 + 4，则2( +1 ) +1 = ( +1 ) + 4，
整理得 2 +1
2
= 4，
可知数列{ 2 }是以首项为4，公差为4的等差数列，则
2
= 4 + 4( 1) = 4 ，
且 > 0，可得 = 2√ ，
当 = 1时， 1 = 2；
当 ≥ 2时， = 1 = 2(√ √ 1)；
可知 1 = 2符合上式，所以 = 2(√ √ 1)．
36 36 9
(2)由(1)可得： = 2 = 2 = 2，
2( (4 6) (2 3) 6)
9 9 9 1 1
当 ≥ 3时， = 2 < = ( )，
(2 3) (2 3)(2 5) 2 2 5 2 3
9 1 1 1 1 1 9 1 9 45
可得 = 9 + 9 + (1 + + + ) = 18 + (1 ) < 18 + = ； 2 3 3 5 2 5 2 3 2 2 3 2 2
45 45
且 1 = 9 < , 2 = 9 + 9 = 18 < ， 2 2
45
综上所述： < ． 2
17.【详解】(1) ∵ 4 + 4， 5 + 5， 6 + 6成等差数列，
∴ 2( 5 + 5) = 4 + 4 + 6 + 6，
∴ 2 5 + 5 4 = 4 + 6 + 6 5
∴ 2 5 + 5 = 4 + 6 + 6
∴ 2 6 3 5 + 4 = 0，
∴ 2 2 3 + 1 = 0，
1
解得 = 1(舍去)或 = ，
2
1
∴ = ( ) ； 2
3 ( + ) 3 3
(2)由(1)得 = +1 = ( )
，
2 4 2
∴数列{ }是一个等比数列，
3 3 +1
3 ( )
= 2 2
9 3
3 = [( ) 1]． 4 1 4 2
2
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18.【详解】(1) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ，
∵四边形 为矩形，∴ ⊥ ，∵ ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，而 平面 ，∴ ⊥ ．
又 ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，因 平面 ．
∴ ⊥ .又 ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，因 平面 ．
∴ ⊥ ．
(2) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ．
又 ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，因 平面 ．
∴ ⊥ .又由(1)有 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，因 ∩ = ，∴ ⊥平面 ，而 平面 ，∴ ⊥ ．
19.【详解】(1) + + = 1两边平方得 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1，
故2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 (4 + 4 + 4 )，
其中2 2 + 2 2 + 2 2 = ( 2 + 2) + ( 2 + 2) + ( 2 + 2) ≥ 2 + 2 + 2 ，
1
当且仅当 = = = 时，等号成立，
3
1
故2 (4 + 4 + 4 ) ≥ 2 + 2 + 2 ，解得 + + ≤ ；
3
(2)由(1)得2( 2 + 2 + 2) ≥ 2 + 2 + 2 = ( + ) + ( + ) + ( + )，
1
当且仅当 = = = 时，等号成立，
3

故由柯西不等式得2( 2 + 2 + 2) ( + + )
+ + +

≥ [ ( + ) + ( + ) + ( + )] ( + + )
+ + +
2

≥ (√ ( + ) √ + √ ( + ) √ + √ ( + ) √ )
+ + +
= ( + + )2 = 1，
( + ) ( + ) ( + ) 1
当且仅当 = = ，即 = = = 时，等号成立， 3
+ + +
1
故( 2 + 2 + 2) ( + + ) ≥ ．
+ + + 2
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