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湖北省荆州中学 2026届高三上学期 10月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.在复平面内，复数 = i(1 i)的共轭复数 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.“实数集合 , 满足： ∩ = ”的一个充要条件是( )
A. B. ( ∩ ) C. ∪ = D. ( R ) ∩ =
2π
3.点 从(1,0)出发，沿单位圆 2 + 2 = 1顺时针方向运动 弧长到达 点，则 的坐标为( )
3
1 √ 3 √ 3 1 1 √ 3 √ 3 1
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 2 2 2 2 2 2 2
4.若 为第四象限角，则( )
A. cos > 0 B. cos < 0 C. sin > 0 D. sin < 0
+ 1 2
5.若 ( ) = ( > 0, > 0)为奇函数，则 + 的最小值为( )
1
A. 2√ 2 3 B. 2√ 2 + 3 C. √ 2 + 3 D. √ 2 3

6.在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，已知2 cos2 = (1 cos ) + ，则 的形状是( )
2
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
7.已知函数 ( ) = e |e | 2 2，若 > ln2时， ( ) > 0恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. [ 2,1] C. [ 1,2] D. [ 1, +∞)
8.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + ) + ( ) + ( ) ( ) = 0， (1) = 1，则下列说法错误的是
( )
3
A. ( )为周期函数 B. ( )为偶函数 C. ( ) = 0 D. ∑2026
2 =1
( ) = 1
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
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A. 若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”(如图所示)，则样本数据的平均
数大于中位数
B. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
C. 若随机变量 ∽ ( , 4)，则不论 取何值， ( 4 < < + 6)为定值
D. 在回归分析中，决定系数 2越大，说明回归效果越好
π √ 3 π
10.已知函数 ( ) = tan( + ) ( > 0, | | < ) , (0) = ，且 ( )在区间(0, )上单调递增.记 的最大
2 3 6

值为 0，设 ( ) = tan( 0 + )，且在 中， ( ) = √ 3, = 2，其内切圆的半径为 ，则下列说2
法正确的是( )
π
A. ( ) = tan (2 + )
6
4π
B. 的外接圆的面积为
3
C. 的最大值为3√ 3 √ 2
D. 若平面内一动点 满足 ⊥ ，则当 取得最大值时， 的取值范围为[1 + √ 3, 3 + √ 3]
11.已知函数 ( ) = ， ( ) = ln ，则下列说法正确的是( )
A. ( )在(0, +∞)上是增函数
2
B. > 1，不等式 ( ) ≥ (ln 2)恒成立，则正实数 的最小值为

C. 若 ( ) = 有两个零点 1， 2，则 1 + 2 > 0
ln 1
D. 若 ( 1) = ( 2) = ( > 2)，且 2 > 1 > 0，则 的最大值为 2 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.log23 × log34 = ．
13.sin220° + cos250° + sin20°cos50° = ．
14.如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练．已知点 到墙面的距离为 ，某目
标点 沿墙面上的射线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小．若
= 15 , = 25 , ∠ = 30 ，则tan 的最大值是 . (仰角 为直线 与平面 所成角)
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 cos + √ 3 sin = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 2， 的面积为√ 3，求 ， 的值．
16.(本小题15分)

把函数 ( ) = 2 的图象向左平移 (0 < < )个单位，得到函数 = ( )的图象，函数 = ( )的图
2

象关于直线 = 对称，记函数 ( ) = ( ) · ( )．
6
(1)求函数 = ( )的最小正周期和单调增区间；

(2)画出函数 = ( )在区间[ , ]上的大致图象．
2 2
17.(本小题15分)
设 ( ) = sin + cos , ∈ { | = 2 , ∈ +}．
(1)当 = 2,4时，分别求 ( )的值域；
(2)求 ( )的值域(用 表示)．
18.(本小题17分)
某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战
1 2
终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为 ，派出专识题的概率为 .已知某
3 3
3 1
选手答对通识题与专识题的概率分别为 , ，且各轮答题正确与否相互独立．
5 5
(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；
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(2)记该选手在第 轮答题结束时挑战依然未终止的概率为 ，
( )求 3, 4；
( )是否存在实数 ，使得数列{ +1 }为等比数列？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
记∏ =1 = 1 2 .已知函数 ( )和 ( )的定义域都为 ，若存在 1, 2, , ∈ ，使得[ ( ) ( )]
∏ =1( ) ≤ 0，当且仅当 = , = 1,2, , 时等号成立，则称 ( )和 ( )在 上“ 次缠绕”．
(1)判断 ( ) = sin 和 ( ) = cos 在(0,2π)上“几次缠绕”，并说明理由；
1
(2)设 ( ) = ln + 2，若 ( )和 ( )在(0, +∞)上“3次缠绕”，求 的取值范围；
(3)记所有定义在区间( , )上的函数组成集合 ，证明：给定 ∈ N ，对任意 ( ) ∈ ，都存在
( ), ( ) ∈ ，使得 ( ) = ( ) + ( )，且 ( )和 ( )在( , )上“ 次缠绕”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
3
13.
4
5√ 3
14.
9
15.【详解】(1)由 cos + √ 3 sin = 0及正弦定理得
sin cos + √ 3sin sin sin sin = 0．
因为sin = sin( ) = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
所以√ 3sin sin cos sin sin = 0．
由于sin ≠ 0，∴ √ 3sin cos 1 = 0
1
所以sin ( ) = ．
6 2

又0 < < ，故 = ．
3
1
(2)由题得 的面积 = sin = √ 3，故 = 4①.
2
而 2 = 2 + 2 2 cos ，且 = 2，故 2 + 2 = 8②，
由①②得 = = 2．

16.解：(1)把函数 ( ) = 2 的图象向左平移 (0 < < )个单位，
2
得到函数 ( ) = 2 ( + )的图象．
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根据 = ( )的图象关于直线 = 对称，
6

得 + = + ( ∈ )，
6 2

即 = + ( ∈ )，
3

又0 < < ，
2

所以 = ，则 ( ) = 2 ( + )．
3 3
1 √ 3
则 ( ) = ( ) ( ) = 4 sin( + ) = 4 ( + )
3 2 2

= 2 2 + 2√ 3 = 1 2 + √ 3 2 = 2 (2 ) + 1，
6
2
则函数 = ( )的最小正周期 = = ，
2

令 + 2 ≤ 2 ≤ + 2 ( ∈ )，
2 6 2

得 + ≤ ≤ + ( ∈ )，
6 3

故函数 = ( )的单调增区间是[ + , + ]( ∈ )．
6 3
7 5
(2)在区间[ , ]上，2 ∈ [ , ]
2 2 6 6 6
列表如下：
7
2 5 0 6 6 2 2 6
5
2 12 6 12 3 2
( ) 2 1 1 1 3 2

故 = ( )在区间[ , ]上的大致图象是：
2 2
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17.【详解】(1)当 = 2时， ( ) = sin2 + cos2 = 1； ( )的值域为{1}
1
当 = 4时， ( ) = sin4 + cos4 = (sin2 + cos2 )2 2sin2 cos2 = 1 sin22 ，
2
1 1
0 ≤ sin22 ≤ 1，则 ≤ ( ) ≤ 1；所以 ( )的值域为[ , 1]
2 2
1
(2)猜想 ( )的值域为{ |
2 1
≤ ≤ 1}( ∈ +)．
证明：由(1)知，当 = 1时，结论成立；
当 > 1时， ( ) = [sin2 ] + [cos2 ] ，
2 1 1 1
1
令sin = , cos2 = + ( ) = ( ) + ( + ) ，
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
其中 ∈ [ , ]，则 ′( ) = [( + ) ( ) ]．
2 2 2 2
′ ′ 1 1 由 ( ) = 0，得 = 0，又 ( )在[ , ]上单调递增，
2 2
1
所以 ∈ ( , 0)时， ′( ) < ′(0) = 0， ( )单调递减；
2
1
∈ (0, )时， ′( ) > ′(0) = 0， ( )单调递增．
2
1 1 1
因此 ( )min = (0) = 1 , ( )max = ( ) = ( ) = 1． 2 2 2
1
所以 ( )的值域为{ | 1 ≤ ≤ 1} ( ∈ +)， 2
1
综上， ( )的值域为{ |
2 1
≤ ≤ 1}( ∈ +)．
18.【详解】(1)设事件 =“一轮答题中系统派出通识题”，事件 =“该选手在一轮答题中答对”，
1 2 3 1
依题意， ( ) = , ( ) = ， ( | ) = , ( | ) = ，
3 3 5 5
1 3 2 1 1
因此 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = × + × = ，
3 5 3 5 3
1
所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为 ．
3
(2)( )设事件 =“该选手在第 轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立，
1 2
由(1)知， ( ) = , ( ) = ， 3 3
当 = 1时，挑战显然不会终止，即 1 = 1，
5
当 = 2时，则第1、2轮至少答对一轮， 2 = 1 ( 1 2) = 1 ( 1) ( 2) = ， 9
由概率加法公式得
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1 5 1 2 11
3 = ( 1) 2 + ( 1 2) 1 = ( 1) 2 + ( 1) ( 2) 1 = × + × × 1 = ； 3 9 3 3 27
1 11 1 2 5 7
同理 4 = ( 1) 3 + ( 1 2) 2 = ( 1) 3 + ( 1) ( 2) 2 = × + × × = ． 3 27 3 3 9 27
( )设事件 =“第 轮答题结束时挑战未终止”，
当 ≥ 3时，第 轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：
①第1轮答对，且第2轮到 轮结束时挑战未终止；
②第1轮答错，且第2轮答对，第3轮到 轮结束时挑战未终止，
因此第 轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为 = 1 1 ∪ 1 2 2，
而各轮答题正确与否相互独立，
1 2
因此 ( ) = ( 1) ( 1) + ( 1 2) ( 2) = ( 3 1
) + (
9 2
)，
1 2
所以 ≥ 3时， = + 3 1 9 2，
设存在实数 ，使得数列{ +1 }为等比数列，
当 ≥ 2时， +1 = ( 1)，整理得 +1 = ( + ) 1，
1
1 2 + = 1 2 2 1
而 +1 = + ，则{
3
1 ，解得 = , = 或 = , = ， 3 9 2 = 3 3 3 3
9
1 8 2 1
当 = 1时， 2 + 1 = , = ， 3 9 2 3 1 9
1 1 8 2
因此当 = 时，数列{
3 +1
+
3
}是首项为 ，公比为 的等比数列；
9 3
2 2 1 1
当 = 时，数列{
3 +1
}是首项为 ，公比为 的等比数列， 3 9 3
1 2
所以存在实数 = 或 = ，使得数列{ +1 }为等比数列． 3 3
19.【详解】(1)函数 ( ) = sin , ∈ (0,2 )和 ( ) = cos , ∈ (0,2 )＂2次缠绕＂，
5
理由如下： ∈ (0,2 )，当 = 和 = 时，sin = cos ，
4 4
5
则对任意 ∈ (0,2 ), ( ) ( ) (sin cos ) ≤ 0，
4 4
5
当且仅当 = 和 = 时，等号成立，
4 4
所以由＂ 次缠绕＂定义可知 ( )和 ( )在(0,2 )上＂2次缠绕＂．
1
(2)设 ( ) = ( ) ( ) = 2ln + 2
2，

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1
因为 ( )和 ( )在(0, +∞)上＂3次缠绕＂，

所以存在互异的三个正数 1, 2,
3
3，使得 ( ) ∏ =1( ) ≤ 0，
当且仅当 = , = 1,2,3时等号成立，
所以 1, 2, 3是 ( )的三个零点．
注意到 (1) = 0，所以1是 ( )的一个零点．
′ 2(
4 2+ )
( ) = 3 ，
①当 ≤ 0时， ′( ) ≥ 0, ( )在(0, +∞)上单调递增，
1是 ( )的唯一零点，不合题意．
1
②当 ≥ 时， ′( ) ≤ 0, ( )在(0, +∞)上单调递减，
2
1是 ( )的唯一零点，不合题意．
1
③当0 < < 时，令 ′( ) = 0, 4 2 + = 0，存在两根0 < 1 < 1 < 2， 2
当 ∈ (0, ′1)时， ( ) < 0, ( )单调递减；
当 ∈ ( 1, 2)时，
′( ) > 0, ( )单调递增，
当 ∈ ( 2, +∞)时，
′( ) < 0, ( )单调递减，
1 1
所以 ( 1) < (1) = 0，因为 ( ) = 2ln +
3 > 2ln + ，

2
1 ( 1)
设 ( ) = 2ln + , 0 < < 1，因为 ′( ) =
2
< 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，所以 ( ) > (1) = 0，即 ( ) > 0，
所以存在 1 ∈ (0,1), ( 1) = 0．
1
又 ( 2) > (1) = 0, ( ) = ( ) < 0，
所以存在 2 ∈ ( 2, +∞), ( 2) = 0．
1
所以( 1)( 1)( 2) [ ( ) ( )] ≤ 0恒成立，
1 1
即0 < < 时， ( )和 ( )在(0, +∞)上＂3次缠绕＂，
2
1
综上， 的取值范围是(0, )．
2
(3)方法一：取 < 1 < 2 < < < ，
设 ( ) = ( 1)( 2) ( )，
1 1
令 ( ) = [ ( ) ( )], ( ) = [ ( ) + ( )], ∈ ( , )，
2 2
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显然 ( ) = ( ) + ( )，且[ ( ) ( )] ∏ =1( ) = ∏ =1( )
2 ≤ 0，
当且仅当 = , = 1,2, , 时，等号成立．
所以对任意 ( ) ∈ ，
1 1
存在 ( ) = [ ( ) ( )], ( ) = [ ( ) + ( )], ∈ ( , )，
2 2
其中 ( ) = ( 1)( 2) ( )，
使得 ( ) = ( ) + ( )，且 ( )和 ( )在( , )上＂ 次缠绕＂．

方法二：记 = 0, = +1，取 = 0 +
+1 0 , = 1,2, , ，
+1
+1
设 ( ) = sin ( 0)，其中 = ，则 ( ) = sin = 0， +1 0
且当 ∈ ( , +1)时， = 0,1,2, , ，
因为 < ( 0) < ( + 1) ，
所以 ( )与( 1) 同号，(＊)
1 1
为奇数时，设 ( ) = [ ( ) + ( )], ( ) = [ ( ) ( )], ∈ ( , )，
2 2
显然 ( ) = ( ) + ( )，且 ( ) ( ) = ( )，
当 ∈ ( , +1)时， = 0,1,2, , , ∏

=1( )与( 1)

同号，
由(＊)，(＊＊)式知，对给定 ∈ N ，任意 ∈ ( , +1), = 0,1,2, , ，[ ( ) ( )] ∏

=1( ) =
( ) ∏ =1( )与( 1)
同号；
所以[ ( ) ( )] ∏ =1( ) ≤ 0．
1 1
为偶数时，设 ( ) = [ ( ) ( )], ( ) = [ ( ) + ( )], ∈ ( , )，
2 2
同理可知， ( ) = ( ) + ( )，且 ( )和 ( )“ 次缠绕”．
综上，存在 ( ), ( ) ∈ ，使得 ( ) = ( ) + ( )，
且 ( )和 ( )在( , )上“ 次缠绕”
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