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2024-2025学年甘肃省张掖四中九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025的相反数的倒数是（　　）
A. 2025 B. C. -2025 D.
2.2025年2月，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会.下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.5G是第五代移动通信技术，5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上.用科学记数法表示1300000是（　　）
A. 13×105 B. 1.3×105 C. 1.3×106 D. 1.3×107
4.已知a=，b=，用含a、b的代数式表示（　　）
A. a+b B. 2a C. 2b D. ab
5.如果关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是( )
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 0或﹣3
6.下列说法正确的是（　　）
A. 一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3
B. “打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件
C. 了解酒泉市中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查）
D. 甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
7.往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB=24cm，则水的最大深度为（　　）
A. 4cm
B. 5cm
C. 8cm
D. 10cm
8.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　）
A. y=-2x-1 B. y=x+2 C. D. y=x2-2
9.如图，在 ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC=4：5，AE交BD于F，则BF：FD等于（　　）

A. 4：5
B. 3：5
C. 4：9
D. 3：8
10.如图1,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,P,Q两点同时从点O出发,以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.P,Q的运动路线:点P为O-A-D-O,点Q为O-C-B-O.设运动的时间为x秒,P,Q间的距离为y厘米,y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则菱形ABCD的面积为( ).
A. 2 B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：2a2-8= ．
12.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则该三角形的周长为______．
13.抛物线y=x2-2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______．
14.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，已知AB=1，则该矩形的面积是 .
15.根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直上抛（如图所示），那么物体离地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）的函数关系为：h=-5t2+10t.根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间t为 秒.
16.一个吊灯的外罩呈圆锥形（如图1），如图2是这个吊灯的外罩的主视图，则该吊灯外罩的侧面积是 cm2（结果保留π）.
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
解不等式组：，并写出它的所有整数解.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中x=4.
20.(本小题8分)
阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：∠ACB是△ABC的一个内角.
求作：∠APB=∠ACB.
小芸同学的作法如下：
如图，①作线段AB的垂直平分线m；
②作线段BC的垂直平分线n,与直线m交于点O；
③以点O为圆心，OA为半径作圆；
④则⊙O为△ABC的外接圆；
⑤在优弧ACB上取一点P，连结AP，BP，则可得∠APB=∠ACB.
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，完成上面的作图过程；（不写画法，保留作图痕迹）
（2）完成下面证明：
证明：连接OA，OB，OC.
由作图可知OA=OB，OB=OC（______）（填推理的依据）.
∴OA=OB=OC
∴⊙O为△ABC的外接圆
∵点C，P在⊙O上，弧AB=弧AB
∴∠APB=∠ACB（______）（填推理的依据）.
21.(本小题10分)
近日，国产AI大模型DeepSeek的爆火引发了全球科技界的广泛关注.人工智能（AI）是一种模拟人类智能行为的科学和技术.它通过计算机系统模拟、延伸和扩展人类的感知、推理、学习和决策等智能能力，使机器能够像人一样进行思考和处理问题.现有四场网络直播，这四场直播分别以A.机器人技术，B.计算机视觉，C.自然语言处理，D.专家系统为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始.晓玲和梅梅准备各自听一场网络直播然后两人互相分享，晓玲先从这四类中随机选择一类进直播间听讲解，然后梅梅从剩下的三类中随机选择一类进直播间听讲解.
（1）晓玲选择机器人技术的概率是______；
（2）请用画树状图或列表法，求晓玲和梅梅中有一人选择自然语言处理的概率.
22.(本小题10分)
西固金城公园9D玻璃栈桥是我省最长的9D特效玻璃桥，数学实践小组在研学时提出问题：玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？
实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下：
问题 玻璃栈桥正下方地面某一标志物到桥面的距离约为多少？
工具 皮尺、测倾器等测量工具
图形
说明 根据实际问题画出示意图（如图），为测得玻璃栈桥MN正下方地面某一标志物C到桥面的距离，小组成员首先借助测倾器在桥面上寻得一观测点A，使得∠NAC=45°，然后利用皮尺在桥面上寻得离A点200m的另一观测点B，利用测倾器测量∠ABC的度数，最后求得标志物C到桥面MN的距离.
数据 AB=200m,∠BAC=45°，∠ABC=54°.
根据上述信息，请你帮助实践小组求出标志物C到桥面MN的距离.（结果精确到1m）（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4）
23.(本小题8分)
某学校初一、初二年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况，学校从初一、初二年级中各随机抽取20名学生进行消防安全知识测试，满分100分，成绩整理分析过程如下，请补充完整.
【收集数据】
初一年级20名学生测试成绩统计如下：
78 56 74 81 95 75 87 70 75 90 75 79 86 60 54 80 66 69 83 97.
初二年级20名学生测试成绩，不低于80分但低于90分的成绩如下：
83 86 81 87 80 81 82
【整理数据】按照如表分数段整理、描述两组样本数据：
成绩 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
初一 2 3 7 5 3
初二 0 4 5 7 4
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
初一 76.5 76.5 b
初二 79.2 a 74
（1）由上表填空a= ______，b= ______；
（2）根据抽样调查数据，估计初一年级的消防安全知识测试成绩在70分及其以上的有多少人.
（3）通过以上分析，你认为哪个年级对消防安全知识掌握得更好？请说明理由.
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n（m≠0）的图象与y轴交于点C，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限，纵坐标为4，点B在第三象限，BM⊥x轴，垂足为点M，BM=OM=2．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
（2）连接OB，MC，求四边形MBOC的面积．
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与BC交于点M，与AB的另一个交点为E，过M作MN⊥AB，垂足为N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，sinB=，求ED的长．
26.(本小题10分)
【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角.如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，并延长CB到点G，使BG=DF，连接AG.若∠EAF=45°，则BE，EF，DF之间的数量关系为 ；
【类比探究】（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，且∠EAF=45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，∠DAE=45°，若△ABC的面积为12，BD CE=4，请直接写出△ADE的面积.
27.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是点C关于x轴的对称点.
（1）求抛物线y=ax2+bx+1的表达式；
（2）P为直线BC上方抛物线上一动点，求△BPC的面积最大值及△BPC的面积最大时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上有一动点M，在线段BD上有一动点N，且MN⊥BD，求PM+MN的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】2（a+2）（a-2）
12.【答案】12
13.【答案】（3，5）
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】240π
17.【答案】--．
18.【答案】解：解不等式①，得：x＜2，
解不等式②，得：x≥-1．
∴不等式组的解集为：-1≤x＜2，
∴不等式组的所有整数解为-1，0，1．
19.【答案】解：原式=
=
=．
当x=4时，原式=．
20.【答案】如图，⊙O即为所求．
线段的垂直平分线的性质，同弧所对的圆周角相等
21.【答案】
22.【答案】117m．
23.【答案】（1）80.5，75；
（2）500×=375（人）．
即估计初一年级消防安全知识测试成绩在70分及其以上的大约有375人；
（3）初二年级对消防安全知识掌握得更好．理由如下：
∵初二年级成绩的平均数、中位数都高于初一年级，且方差小于初一年级成绩的方差，说明初二年级学生的成绩更加稳定，
∴初二年级对消防安全知识掌握得更好．
24.【答案】解：（1）∵BM=OM=2，
∴点B的坐标为（-2，-2）.
∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点B，
则-2=，得k=4，
∴反比例函数的解析式为y=.
∵点A的纵坐标是4，
∴4=，得x=1.
∴点A的坐标为（1，4）.
∵一次函数y=mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（-2，-2），
∴解得
即一次函数的解析式为y=2x+2；
（2）∵y=2x+2与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2）.
∵点B（-2，-2），点M（-2，0），
∴OC=MB=2.
∵BM⊥x轴，
∴MB∥OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，
∴四边形MBOC的面积是：OM×OC=2×2=4.
25.【答案】（1）证明：连接OM，如图1，
∵OC=OM，
∴∠OCM=∠OMC，
在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AB=BD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠OMC=∠DBC，
∴OM∥BD，
∵MN⊥BD，
∴OM⊥MN，
∵OM是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）解：连接DM，CE，

∵CD是⊙O的直径，
∴∠CED=90°，∠DMC=90°，
即DM⊥BC，CE⊥AB，
由（1）知：BD=CD=5，
∴M为BC的中点，
∵sinB=，
∴cosB=，
在Rt△BMD中，BM=BD cosB=4，
∴BC=2BM=8，
在Rt△CEB中，BE=BC cosB=，
∴ED=BE-BD=-5=．
26.【答案】【观察猜想】（1）EF=BE+DF；
【类比探究】（2）EF=BE-DF，理由如下：
如图2，在BC上截取BG=DF，连接AG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠ABG=∠ADF=90°，
∵BG=DF，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAE+∠DAF=45°，
∴∠BAG+∠+∠DAF=45°，
∴∠GAE=∠EAF=45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE=EF，
∵GE=BE-BG=BE-DF，
∴EF=BE-DF；
【拓展应用】（3）5．
27.【答案】y=-x2+x+1；
点P的坐标为（，），面积最大为；
PM+MN的最小值为
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