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2025-2026学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学模拟试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、为上的两点，若的半径为，则的长不可能是（ ）
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程，则方程可化为（　　）
A. B. C. D.
3.方程的根的情况是（）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
4.若在一组数据，，，中，再添加一个数据，则这组新数据与原数据相比发生变化的统计量是（ ）
A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
5.如图，四边形内接于，为的直径，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 2.5
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.一元二次方程的解为： ．
8.每年的4月23日是“世界读书日”，某校开展了“书香浸润心灵阅读点亮人生”读书系列活动，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如下：
甲组
乙组
两组数据的方差分别为，，则 （填“”，“”或“”）
9.学校的劳动实践基地是一块长、宽的矩形土地．为便于学生参与劳动，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道（如图所示），使种植面积达到，若设小道的宽为，则根据题意，列方程，并化为一般形式是 ．
10.工人师傅用一张半径为24，圆心角为的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ．
11.如图，在，点，分别是和上的点，，，连接．现假设可以在图中随意取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
12.如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D是量角器上刻度线的外端点，连接交于点E，则的度数为 ．
13.如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为4的正六边形的顶点处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟一次跳正六边形的1个边长，黑跳棋按逆时针方向3秒钟一次跳正六边形的1个边长，经过2022秒钟后停止跳动，此时两枚跳棋之间的距离是 ．
14.已知实数m，n满足，，且，若，则代数式的最小值是 ．
15.如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，与x轴相切，点P在y轴正半轴上，与相切于点B．若，则点P的坐标为 ．
16.如图，是正方形的外接圆，点是劣弧上的任意一点，连接，作于点，连接则当点从点出发按顺时针方向运动到点时，长的取值范围为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
(1)
(2)
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
咸阳市博物馆是国家二级博物馆，属国家级旅游景区．如图是该博物馆附近某停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放．
(1) 甲停放在位置的概率为 ；
(2) 请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率．
19.(本小题8分)
已知：．
(1) 尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
(2) 如果的周长为14，内切圆的半径为1.3，求的面积．
20.(本小题8分)
某学校调查九年级学生对“二十大”知识的了解情况，进行了“二十大”知识竞赛测试，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：成绩得分用x表示，共分成四组：，，，
九年级（1）班10名学生的成绩是：
，，，，，，，，，．
九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是：
，，
通过数据分析，列表如下：
九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
九年级（1）班 b c
九年级（2）班
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 直接写出上述a、b、c的值： ， ， ；
(2) 学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由．
(3) 九年级两个班共人参加了此次调查活动，估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是多少？
21.(本小题8分)
某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，设的长为x米．
(1) 米；（用含x的代数式表示）
(2) 若围成的篮球场的面积为1200平方米，求的长；（围网及墙体所占面积忽略不计）
22.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．
(1) 求证：AE=AB；
(2) 若AB=10，BC=6，求CD的长．
23.(本小题8分)
已知关于的方程有两个实数根．
(1) 求的取值范围；
(2) 当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值；
(3) 若方程的两个根均为正整数，直接写出的值．
24.(本小题8分)
如图，为的直径，射线交于点 F，点C为劣弧的中点，过点 C作，垂足为 E，连接．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，求阴影部分的面积．
25.(本小题8分)
如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称∠CPD是的“相望角”，如图，
(1) 如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：∠CPD是的“相望角”；
(2) 如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长．
26.(本小题8分)
为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．
(1) 【特殊情形】
如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：．
(2) 【一般情形】
如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证：．
(3) 【经验迁移】
如图③，，， F为上的一点，，若M为DF的中点，连接AM，则AM长的最小值为 ．
27.(本小题8分)
如图①，矩形中，，，半径为的与线段相切于点M，圆心P与点C在直线的同侧，沿线段从点B向点D滚动．
(1) ；的度数为 ；
(2) ①当切点与点重合时，求与矩形重叠部分的面积
②求的最小值．
(3) ①若与矩形的两条对角线都相切，求此时线段的长；②如图③，是上任意一点，直接写出的最小值．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】，
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】10
11.【答案】
12.【答案】 /73度
13.【答案】
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解∶，
，
或，
∴，；
【小题2】
解∶，
，
或，
∴，．

18.【答案】【小题1】

【小题2】
解：画树状图如下所示：
由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种，
∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为．

19.【答案】【小题1】
解：如下图所示，O为所求作点，
【小题2】
解：如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵内切圆的半径为1.3，
∴OD=OF=OE=1.3，
∵三角形ABC的周长为14，
∴AB+BC+AC=14，
则
故三角形ABC的面积为9.1．

20.【答案】【小题1】
40
94
96
【小题2】
解：这次比赛中，学校会选派九年级（2）班，
理由：九年级（2）班的方差小于九年级（1）班的方差，
九年级（2）班成绩更稳定，
学校会选派九年级（2）班；
【小题3】
解：（人），
答：估计两班参加此次调查活动成绩优秀的学生总人数是人．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
解：由题意可得，，
解得，，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，故舍去，
答：篮球场的宽的长为40米．

22.【答案】【小题1】

证明：连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB＝∠E
∵OC=OB
∴∠ABE＝∠OCB
∴∠ABE＝∠E
∴AE=AB
【小题2】
连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB＝90°
∴
∵AB=AE，AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC＝∠CEA, ∠ EDC＝∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴．

23.【答案】【小题1】
解：∵关于的方程有两个实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得．
【小题2】
解：当取最大整数值时，则，
∴方程为，
解得，
∵方程与有一个相同的根，
∴，
解得．
【小题3】
解：设关于的方程的两个根为，
∴，，
∵这个方程的两个根均为正整数，
∴①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
⑤当时，，
综上，的值为5或8或9．

24.【答案】【小题1】
连接，

是的直径，
，即，
，
连接，
∵点C为劣弧的中点，
，
∵，
∵OC是的半径，
∴CE是的切线；
【小题2】
连接
，，
∵点C为劣弧的中点，
，
，
，
，
∴S扇形FOC=，
即阴影部分的面积为：．

25.【答案】【小题1】
证明：直径，弦，
垂直平分弦，
，
，
，
是的“相望角”；
【小题2】
解：由题意知，是的“相望角”，，
，
直径，弦，
，，
，，
如图3，连接，，则，
，
，
由勾股定理得，，
的长为．

26.【答案】【小题1】
在⊙O中，，
OF是△ADB的中位线，
∵BD为⊙O的直径，，

【小题2】
作直径DG，连接AG．
在⊙O中，


OF是△ADG的中位线，


DG是⊙O的直径，
，

．
【小题3】


27.【答案】【小题1】
16
30°
【小题2】
解：①如图，连接，过点P作于E，
∵P与线段相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴P与矩形重叠部分的面积为；
②如图，当时，有最小值，
∵，，
∴，
∴的最小值为；
【小题3】
解：①如图③，当点在内时，
与相切，
，
，
；
如图④，当点在内时，
与相切，
，
，
，
综上，线段的长为7或11；
②如解图⑤，的最小值为．

过P作直线，作B关于直线l的对称点，过，P作直线交于K，交于N，则此时的值最小，且，连接，
∴，
由题意可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值．

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