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2025-2026学年江苏省南通市张謇第一初级中学八年级（上）数学期中试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（　　）
A. 4 B. 3 C. 5 D. 1.5
5.如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A. 等边对等角 B. 等角对等边
C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一”
6.如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　）
A. 18° B. 20° C. 30° D. 36°
7.如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①是的平分线；②；③点D在的垂直平分线上；④．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（ ）
A. B. C. 或2 D. 或
9.如图，已知，平分，，若，，则的长是( )
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
10.如图，已知等边的边长为，中线，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是 ．
12.计算： ．
13.已知等腰三角形的两边长分别是和，则此三角形的周长是 ．
14.如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为 ．
15.如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是
16.如图，中，，，，在外侧作等边，过点D作于E，则的长为 ．
17.如图，在中，，以为边，作，满足，点为边上一点，连接，，连接．下列结论正确的是 （填序号）①；②；③若，则；④．
18.如图，已知在中，，，D，E分别为，上的点，°，，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.计算：
(1)
(2) 利用简便方法计算：
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．
(1) 画出关于轴对称的图形并写出顶点的坐标；
(2) 求的面积；
(3) 在轴上找一点，使得的周长最小（保留作图痕迹）．
21.
(1) 已知，，求的值；
(2) 先化简，再求值：，其中．
22.(本小题8分)
已知：如图，．
(1) 求证：；
(2) 判断与的位置关系，并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，在中，，点D是的中点，点E在上，求证：．
24.(本小题8分)
求证：如果三角形一边上的中线等于这边长的一半，那么这个三角形是直角三角形.
已知：
求证：
作图：
证明：
25.(本小题8分)
如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1) （用t的代数式表示）．
(2) 当点Q在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形．
(3) 当点Q在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？
26.(本小题8分)
已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接．
(1) 如图1，当点E在线段上，时，求证：；
(2) 当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线同侧，求证：；
(3) 连接，当点P运动t秒（）时，线段长度取到最小值，请直接写出t和的值．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】（1，-3）
12.【答案】
13.【答案】或
14.【答案】 /100度
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】②③④
18.【答案】
19.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

20.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；顶点的坐标为；
【小题2】
解：；
【小题3】
解：如图，点即为所作．

21.【答案】【小题1】
∵，，
∴
n
；
【小题2】
解：原式
，
当时，
原式
．

22.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴．
即，
在和中，
，
∴；
【小题2】
，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

23.【答案】证明：，点是的中点，
，
，，
∴，
．

24.【答案】已知：在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=.
求证：△ABC是直角三角形.
作图：
证明：∵CD是AB边上的中线，
∴，
∵CD=，
∴，
∴∠1=∠A，∠2=∠B，
∵∠1+∠A+∠2+∠B=180°，
∴，
∴，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形.

25.【答案】【小题1】

【小题2】
当点在边上运动，为等腰三角形时，则有，
即，解得，
出发秒后，能形成等腰三角形；
【小题3】
①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，

则，
，
．
，
，
，
，
，
；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，

则，
，
综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．

26.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
，
，，
∴，
，
；
【小题2】
证明：如图2，在上取一点使得，连接，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
【小题3】
解：①当点与点在直线同侧时，如图3，

由（2）中有：是等边三角形，即，
，
则根据可知：，
，，
，
，
，
，
②当点与点在直线两侧时，如图4，
在上截取，
，
结合对顶角相等，可得，
，
，，
，
，
，
，
即运动过程中，所在的直线平分，
则有点在的角平分线上运动，
当时，最短，如图5，

此时，
点与点在直线同侧时，
在中，，
，
中，，
，
，
，
运动时间为秒时，线段长度取到最小值．

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