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2025-2026学年甘肃省兰州交大附中九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道.地球到月球的距离约为384400000米，数据384400000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.3844×109 B. 3.844×108 C. 38.44×107 D. 384.4×106
2.将方程3x2+1=5x化成ax2+bx+c=0的形式，则a,b,c的值分别为（　　）
A. 3，5，1 B. 3，5，-1 C. 3，-5，-1 D. 3，-5，1
3.若，则的值为（　　）
A. B. 5 C. D.
4.如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，若△ADE的面积为1，则四边形BCED的面积为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.若关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A. k＜1 B. k≤1 C. k＜1且k≠0 D. k≤1且k≠0
6.一次函数y=2x-3的图象不经过的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　）
A. =
B. ∠B=∠D
C. =
D. ∠C=∠AED
8.2024年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动.活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出132份礼物，则参加此次活动的同学人数为（　　）
A. 10人 B. 11人 C. 12人 D. 14人
9.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　　）

A. （1）处可填∠A=90° B. （2）处可填AD=AB
C. （3）处可填DC=CB D. （4）处可填∠B=∠D
10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则CD的长为（　　）
A. 6
B. 5
C.
D.
11.如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，，则下列结论错误的是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
12.分解因式：x2-4= ．
13.如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO=5，OF=1，FD=4，则的值为 .
14.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE=3，OB=4，则CE的长为 .
15.做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如表所示：
抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000
“正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598
“正面向上”的频率 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次.其中合理推断的序号是 .
三、解答题：本题共11小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：.
17.(本小题5分)
解分式方程：.
18.(本小题6分)
先化简，再求值：（+x-2）÷，其中|x|=2．
19.(本小题6分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）.已知点A和A1的坐标分别为（-1，-3）和（2，6）.
（1）在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1.
20.(本小题6分)
如图1，直线l1∥l2，直线l3分别交直线l1，l2于点A，B.嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2.
（1）直接写出AB与BC的数量关系，∠ABD与∠CBD的数量关系；
（2）猜想四边形ABCD的形状，并证明自己的猜想.
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E.
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）AC=4，AB=5且AD=3，求AE的长.

22.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），B（0，6），点P从点O出发，沿OA方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点B出发，沿BO方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点A的位置时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，△POQ的面积为9；
（2）当t为何值时，△POQ与△AOB相似.
23.(本小题7分)
每年5月15日国际家庭日所在周为全国家庭教育宣传周.某校为发展家校教育合力，帮助家长掌握科学育子方法，利用周末时间邀请学生家长进行培训学习，并在培训结束后组织测试.现从七、八年级中各随机抽取15名学生家长的测试成绩（单位：分.成绩分为4组：A.60≤x＜70；B.70≤x＜80；C.80≤x＜90；D.90≤x≤100）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a.七年级学生家长的测试成绩：
89，70，78，84，98，84，98，89，77，89，89，91，78，94，97.
八年级学生家长的测试成绩：
67，74，89，80，86，87，87，97，87，88，89，87，94，96，97.
b.七、八年级学生家长测试成绩的条形统计图：
c.七、八年级学生家长测试成绩的众数、中位数（单位：分）如下：
年级 众数 中位数
七 89 89
八 a b
根据以上信息，解决下列问题.
（1）表格中，a=______，b=______.
（2）请补全条形统计图.
（3）为加大家庭教育宣传力度，学校计划将以下四张海报随机张贴在两个活动教室内，每个教室张贴两张海报，请用列表或画树状图的方法求①②两张海报张贴在同一个活动教室内的概率.
24.(本小题7分)
利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度.某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.
活动课题 测量学校旗杆的高度
活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题
活动工具 皮尺、镜子、标杆等
测量方案 方案A：利用影子 方案B：利用镜子 方案C：利用标杆
测量示意图
测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为1.6米的小乐的影长EF为2.4米，同时测得旗杆的影长BC为22.5米. 小慧在她脚下放置镜子C，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部A.小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度DE为1.5米，小慧到镜子的距离EC为2.1米，旗杆到镜子的距离BC为21米. 小智在他前面立一根标杆EF，当小智的眼睛C、标杆顶部E、旗杆顶部A在同一直线上时，小组同学测得标杆EF高为2米，小智的眼睛距离地面的高度CD为1.55米，小智与旗杆AB之间的距离DB为40.35米.
计算结果 … … …
活动反思 …
根据上面活动报告，解答下列问题：
（1）利用方案A测得旗杆AB的高度为______米；
（2）请将方案B的测量示意图补充完整，并求出旗杆AB的高度；
（3）小智在利用方案C计算旗杆AB的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆AB的高度.（不需写出计算过程）
25.(本小题9分)
△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）探究猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______；
②BC、CD、CF之间的数量关系为：______；
（2）深入思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O．若已知AB=2，CD=BC，请求出OC的长．
26.(本小题8分)
对于平面直角坐标系xOy中的点P（x,y）和图形W，给出如下定义：
若图形W中的任意一点Q（a、b）满足a≤x且b≤y,则称点P为图形W的一个覆盖特征点.例如：已知A（1，2），B（3，1），则点P（5，4）为线段AB的一个段盖特征点.
（1）已知点C（2，3），
①在P1（1，3），P2（3，3），P3（4，4）中，是三角形ABC的覆盖特征点的为______；
②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形ABC的覆盖特征点组成的图形.
（2）点N是坐标轴上的动点.若点R（x,y）是三角形ABN的覆盖特征点，且x+y的最小值为6，请求出点N的坐标.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】D
12.【答案】(x+2)(x-2)
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】②③
16.【答案】2-4．
17.【答案】x=3．
18.【答案】解：原式=÷
=
=，
∵|x|=2时，
∴x=±2，
由分式有意义的条件可知：x=2，
∴原式=3．
19.【答案】解：（1）如图，点D即为所求．
由图可得，点D的坐标为（-2，-1）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求．

20.【答案】AB=BC，∠ABD=∠CBD；
四边形ABCD是菱形，证明如下：
∵l1∥l2，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形
21.【答案】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，∠C=90°，
∴∠AED=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ABC，
∴=，
∵AC=4，AB=5，AD=3，
∴=，
∴AE=．
22.【答案】解：（1）∵A（10，0），B（0，6），
∴OA=10，OB=6，
由题意知：OP=2t,OQ=6-t,
∵△POQ的面积为9，
∴，
解得：t=3，
即当t=3时，△POQ的面积为9；
（2）∵∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ与△AOB相似时，有和两种情况，
①当时，，
解得：，
②当时，时，
解得：，
当或时，△POQ与△AOB相似．
23.【答案】87，87；
补全条形统计图如图所示．

24.【答案】15；
补全测量示意图如下所示，
AB=15m；
还需要测出线段DF（或线段FB）的长度
25.【答案】解：（1）①垂直；
②BC=CF+CD；
（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．
（3）过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=4，
∴CD=BC=1，
∴BD=5，
由（2）同理可证得△DAB≌△FAC，
∴BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴OD=OF，
∵∠DCF=90°，
∴DF==，
∴OC=．
26.【答案】①P2，P3；
②覆盖特征点的图形如图中阴影部分；
（0，3）或（4，0）
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