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2025—2026学年度初三综合素质展示
数学科试卷
总分120分 考试时间120分钟
一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0
C．3x2﹣2025＝0 D．
2．一元二次方程3x2﹣2x﹣7＝0的一次项系数是（　　）
A．3 B．﹣2 C．2 D．﹣7
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣6）2＝﹣5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝13
4．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　）
B． C． D．
5．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≤1且k≠0 C．k≤1 D．k＜1
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．16 C．48 D．20
（第6题图） （第7题图）
如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的
度数为（　　）
A．10° B．15° C．30° D．22.5°
8．新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．1210（1﹣x）2＝1000 B．1000（1+x）2＝1210
C．1000（1+2x）＝1210 D．1210（1﹣2x）＝1000
9．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（2，4），则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
…
（第9题图） （第10题图）
10．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程x2﹣1＝0的两根分别为和，用+的值为 　 　 ．
12．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，则对角线AC的长为 　 　 ．
（第12题图） （第15题图）
13．若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 　 　 ．
14．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2+2m+n+2023的值是　 　 ．
15．如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若AB＝4，BC＝6，则CF＝　 　 ．
三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．解方程：
（1）2x2+4x＝0； （2）x2﹣6x+5＝0．
已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣3＝0，若此方程的一个根为2，求另一个根及m的值．
18．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，求证：DE＝DF．
四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．茂名市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某品牌头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
20．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD边上，CF＝AE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，DF＝5，
求四边形BFDE的面积．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）当∠ABC＝　 　 时，四边形ADCE是正方形，
请说明理由．
五．解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第24题14分，共27分）
22．在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒
（t＞0）．
（1）当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2？
若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
23．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．
（1）在图2中，∠GAF的度数是 　 　 （直接写答案）．
参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，
E是CD上一点，若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长度．
（3）如图4，△ABC中，AC＝4，BC＝6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．
当∠ACB＝　 　 时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．2025—2026学年度初三综合素质展示
数学科答案
一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C B A D B D C
二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11． 　0　 ． 12． 　2　 ． 13．10　 ． 14．　2025　 ． 15． ．
三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16．（1）解：2x（x+2）＝0， ………………………………1分
∴x＝0或x+2＝0， ………………………………2分
解得＝0， ………………………………3分
（2）解：（x﹣5）（x﹣1）＝0， ………………………………5分
∴x﹣5＝0或x﹣1＝0， ………………………………6分
解得＝5，＝1． ………………………………7分
解：把x＝2代入方程得4﹣2m+m﹣3＝0，………………………1分
解得m＝1， ………………………3分
方程化为x2﹣x﹣2＝0， ………………………4分
设方程的另一根为t，
则2+t＝1，解得t＝﹣1， ………………………6分
即方程的另一个根为﹣1，m的值为1；………………………7分
18．证明：∵四边形ABCD是菱形，
(
（第
18
题图）
)∴AB＝BC＝AD＝CD，∠A＝∠C，………………………2分
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE，
∴AE＝CF， ………………………4分
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（SAS）， ………………………6分
∴DE＝DF． ………………………7分
四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．解：设该品牌头盔每个售价为y元， ………………………1分
依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000，………………………4分
整理，得y2﹣120y+3500＝0，
解得y1＝50，y2＝70， ………………………7分
因要尽可能让顾客得到实惠，
所以y＝50． ………………………8分
答：该品牌头盔每个售价应定为50元； ………………………9分
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
(
（第
20
题图）
)∴DF∥EB， ………………………1分
又∵CF＝AE，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF
∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形， ………………………3分
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴ BFDE是矩形． ………………………4分
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠FAB， ………………………5分
又∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠FAB， ………………………6分
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝FD＝5， ………………………7分
∵AE＝CF＝3，
， ……………8分
∴矩形BFDE的面积是：DF DE＝5×4＝20． ……………………9分
（1）证明：∵CE∥AB，
∴CE∥AD
又∵AE∥CD，
(
（第
21
题图）
)∴四边形ADCE是平行四边形， ……………………2分
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴，
∴ ADCE为菱形； ……………………5分
（2）解：当∠ABC＝45°时，理由如下： ……………………6分
∵，
∴∠ABC＝∠DCB＝45°， ……………………7分
∴∠ADC＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴菱形ADCE是正方形，即：四边形ADCE是正方形. ……………………9分
五．解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第24题14分，共27分）
22．解：（1）由题意得：AP＝2t cm，BQ＝4t cm，则BP＝AB﹣AP＝（10﹣2t）cm，………2分
当BP＝BQ时，点B在PQ的垂直平分线上，
∴10﹣2t＝4t，
解得t＝，
∴当t的值为时，点B在PQ的垂直平分线上；……………4分
（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理得：BP2+BQ2＝PQ2，
即（10﹣2t）2+（4t）2＝102， ……………………6分
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t1＝2，t2＝0（不合题意，舍去），……………………7分
∴当t＝2时，PQ的长度等于10cm； ……………………8分
（3）存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，理由如下：
由题意得：S长方形ABCD＝10×12＝120（cm2），
S△PBQ＝PB BP＝×（10﹣2t）×4t＝﹣4t2+20t，
∴S五边形APQCD＝S长方形ABCD﹣S△PBQ＝120﹣（﹣4t2+20t）＝104， ……………10分
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝4，t2＝1， ……………11分
当t＝4时，BQ＝16cm＞12cm，不合题意，舍去；
当t＝1时，BQ＝4cm＜12cm，符合题意； ……………12分
∴存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于104cm2，此时t的值为1．……………13分
23．解：（1）∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAE＝90°，∠GAB＝∠DAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BAG+∠BAF＝45°，
∴∠GAF＝45°． 故答案为：45°； ……………………2分
（2）如图，过点A作AH⊥BC，交CB延长线于H，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△AGF，
∴∠FAE＝90°，AE＝AF，∠AGF＝∠D＝90°，FG＝DE＝4，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，
∴∠AHC＝∠D＝∠C＝90°，
∴四边形AHCD是正方形，AD＝AH＝CH，∠DAH＝90°， ……………………4分
∴点H与G重合，F、H、B三点共线，
∵∠BAE＝45°，
∴由（1）可知∠FAB＝∠EAB＝45°，
在△AFB和△AEB中，
∴△AFB≌△AEB（SAS），
∴BF＝BE， ……………………6分
∴BH＝BF﹣FH＝BE﹣4，
∴BC＝CH﹣BH＝10﹣（BE﹣4）＝14﹣BE，
∵AD＝CD＝10，DE＝4，
∴CE＝CD﹣DE＝6，
∵在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，
∴BE2＝（14﹣BE）2+62，
解得：． ……………………8分
（3）当∠ACB＝135°时，线段CD有最大值 ……………………9分
如图，将AC绕点A逆时针旋转90°得线段AF，连接BF、CF，
∴△CAF是等腰直角三角形，∠ACF＝45°，
∵AC＝4，
∴， ……………………10分
∵四边形ADEB是正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB，
∴∠FAC+∠BAC＝∠DAB+∠BAC，即∠FAB＝∠CAD，
在△FAB和△CAD中，，
∴△CAD≌△FAB（SAS），
∴CD＝BF， ……………………12分
∴当BF有最大值时，CD有最大值，
∵BC+CF≥BF，BC＝6，
∴当B、C、F三点共线时，BF有最大值，，
∵∠ACF＝45°，
∴此时∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
∴当∠ACB＝135°时，线段CD有最大值，最大值为． …………………14分2025一2026学年度初三综合素质展示
数学科试卷
总分120分考试时间120分钟
一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1.下列方程中，属于一元二次方程的是()
A.3x+5y=0
B.5x+2=0
C.3x2-2025=0
D.2x-1=0
2.一元二次方程3x2-2x-7=0的一次项系数是()
A.3
B.-2
C.2
D.-7
3.用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0,变形后的结果正确的是()
A.(x-6)2=-5
B.(x-6)2=5
C.(x-3)2=5
D.(x-3)2=13
4.依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是()
5
女70°
10
A.
B.
C.
D.
5.关于x的一元二次方程2-4x+4=0有实数根，则k的取值范围是()
A.k<1且0
B.k1且0
C.k<1
D.k<1
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若AC=6,BD=8,则菱形ABCD
的面积为()
A.24
B.16
C.48
D.20
0
(第6题图)
(第7题图)》
7.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE=BD,连接DE,则∠EDA的
度数为()
A.10°
B.15o
C.30°
D.22.5°
8.新能源汽车己逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，
该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆.设月平均增长率为x,根据
题意，下列方程正确的是()
A.1210(1-x)2=1000
B.1000(1+x)2=1210
C.1000(1+2x)=1210
D.1210(1-2x)=1000
9.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(2,4)，则AC的长是()
A.2
B.4
C.2W3
D.2W5
(第9题图)
(第10题图)
10.将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1,A2,.,Am分别是正方形
的中心，则个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为(
)
A.cm
B.
n+1
4-cm2
C.n-1
cm2
D.(y"cm'
4
4
二，填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）
11.一元二次方程x2-1=0的两根分别为x和x2,用x+x,的值为
12.如图，己知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，则对角线AC的长为
第
1
题图
(第15题图)
13.若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2-6+8=0的两根，则这个等腰三
角形的周长是
14.已知m,n是方程x2+x-3=0的两个实数根，则m2+2m+n+2023的值是
15.如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处.若AB=4,BC=6,
则CF=

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