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江苏省常州第一中学2026届高三上学期10月质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量的夹角为锐角，且满足，则向量的模长可以为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，，图中水面高度恰好为棱台高度的，图中水面高度为棱台高度的，若图和图中纯净水的体积分别为，，则( )
A. B. C. D.
6.在锐角中，内角、、的对边分别为、、，且，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知实数满足，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数和的定义域均为若是奇函数，是偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，为坐标原点，点对应的复数分别为，则( )
A. B.
C. D.
10.声音也包含着正弦函数我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来例如，某一个复合音的函数为，关于，下列说法正确的是( )
A. 是函数的一个周期 B. 关于点中心对称
C. 在区间上为增函数 D. 函数的值域为
11.如图所示，已知正方体的棱长为，分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形
B. 一定是锐角三角形
C. 当与点重合时，取为正方形内含边界一点满足平面平面，则的最小值
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 ．
13.已知都是锐角，且，则的最大值为
14.设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校有名教师含优秀的“王老师”组成校本课程讲师团．其中人有校本课程开发经验，人没有校本课程经验开发．学校先从名教师中随机抽取名教师开设校本课程，一期校本课程结束后，再从这名教师中随机抽取名教师开设下一期校本课程，一共开发期．
求名教师中优秀的“王老师”，在这期校本活动中恰有两次被抽选到的概率；
求第一次抽取到有校本课程开发经验的教师人数的分布列和期望．
16.本小题分
已知向量，记函数．
求函数在上的取值范围；
若为偶函数，求的最小值；
若在区间上单调递增，求的取值范围．
17.本小题分
已知中，角的对边分别为，且
若角，求的值；
若点在边上满足和，求．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，为矩形，且，，．
求证：平面
若在的左侧，设三棱锥体积为，四棱锥体积为，且．
Ⅰ求点到平面的距离
Ⅱ求平面与平面所成夹角的正弦值．
19.本小题分
已知，函数．
求函数在处的切线方程；
若和有公共点，
当时，求的取值范围；
求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：设“王老师”在此校本课程活动中被抽中为事件，
则，
则这期校本活动中恰有两次被抽选到的概率．
的可能取值为：，，，
，，，
所以随机变量的分布列为：
其数学期望为．

16.解：
，
，，
，
的取值范围为．
因为为偶函数，
所以，，
因此当时．
，
因为，所以，
根据正弦函数单调递增区间可得
得，所以，
即的取值范围为．

17.解：由余弦定理可得，故，
进而可得，结合，故为等边三角形，
故
因为，如图，在中，，
在中，
由得，整理得．
又因为，所以，解得或，
当时，舍去．
当时，．
所以．

18.解：证明：在中，，，，
由余弦定理得，
解得，
因为，
所以，
在矩形中，，
因为，且，平面，
所以平面；
由知，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，故，
在直角三角形中，求得，
又，
又，
所以，
又，所以；
Ⅰ取中点为，
过点作的平行线，交于点，
因为平面，所以平面，
又，平面，
所以，，
又，中点为，
所以，
所以，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，，
所以，，
设平面的法向量，
则，所以，
取，得，，
故平面的一个法向量为，
又，
所以到平面的距离，
Ⅱ，，，，
设平面的法向量，
所以，所以，
取，得，
故平面的一个法向量为，
设平面与平面所夹角为，
所以，
因为，所以，
所以平面与平面所成夹角的正弦值为．
19.解：，故，而，
曲线在点处的切线方程为即．
当时，
因为曲线和有公共点，故有解，
设，故，故在上有解，
设，故在上有零点，
而，
若，则恒成立，此时在上无零点，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，
而，，故在上无零点，
故，
设，则，
故在上为增函数，
而，，
故在上存在唯一零点，
且时，；时，；
故时，；时，；
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为在上有零点，故，故，
而，故即，
设，则，
故在上为增函数，
而，故，
即的取值范围为；
因为曲线和有公共点，
所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故．
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
故，所以，
下证：对任意，总有，
证明：当时，有，故成立．
当时，即证，
设，则不恒为零，
故在上为减函数，故即成立．
综上，成立．
下证：当时，恒成立，
，则，
故在上为增函数，故即恒成立．
下证：在上恒成立，即证：，
即证：，即证：，
而，故成立．
故，即成立．

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